Применение теоремы Пифагора - Сайт учителя математики

advertisement
Выполнил: Алтухов Сергей
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 6»
9 «А» класс
Руководитель: Андреева Елена Ивановна, учитель математики.
г. Курчатов 2011
Оглавление
1. Введение
2. Пифагор и его теорема
3. Теорема Пифагора: из древности в современность:
а) Древние и современные задачи:
 Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»;
 Задача арабского математика ХI века;
 Древнеиндийская задача о лотосе;
 Задача из первого русского учебника «Арифметика»
Л.
Магницкого;
 Задача индийского математика ХIIвека Бхаскары;
 Задача из рассказа Л.Толстого Много ли человеку земли нужно»;
 Задача о мобильной связи;
 Задача о экономном столяре;
 Задача о туннеле;
 Задача о современном телевизоре.
б) Практическое применение теоремы:
 В школьном курсе;
 В строительстве и архитектуре;
 При изготовлении мебели.
в) Теорема Пифагора в искусстве:
 Картинная галерея;
 Фотовыставка;
 Архитектурные композиции.
 Театральная афиша
6. Заключение
7. Используемая Литература.
Введение
В 8 классе, на уроках геометрии, я познакомился с биографией Пифагора
Самосского и его теоремой. Она поразила меня своей простотой и красотой. Мне
захотелось подробнее узнать о жизни ученого и выяснить, где в современной жизни
применяется теорема Пифагора.
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития
многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений
математики. Важным условием повышения эффективности производства является
широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что
позволяет создать новые, эффективные методы исследования, которые помогают
решать задачи, выдвигаемые практикой.
В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только
математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы
Пифагора не рассматривается. В связи с этим, целью моей работы было выяснить
области применения теоремы Пифагора.
Рассмотрю примеры практического применения теоремы Пифагора. Не буду
пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы
возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и не может быть
рассмотрена полностью в рамках одной реферативно-исследовательской работы.
Цели:
1. Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в
различных источниках и определить области применения теоремы.
2. Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.
3. Показать применение теоремы в различных темах школьного курса, при
решении исторических задач.
4. Составить и решить задачи, встречающиеся в жизни современного человека.
5. Изучить принцип действия и технические характеристики лазерной рулетки и
лазерного дальномера.
6. Собрать информацию о теореме в современном искусстве.
Задачи:
1. Провести расчёты, показывающие эффективность покупки углового стеллажа
по сравнению с двумя обычными.
2. Обработать собранные данные по теме.
3. Запечатлеть прямоугольный треугольник и представить свою минифотовыставку.
Решению названных задач было посвящено мое исследование, которым я
занимался почти год. Я занимался поиском и сбором информации – изучал
печатный материал, работал с материалом в интернете, обработкой собранными
данными.
Для своего исследования я вначале изучил вопрос о теореме Пифагора по
школьным учебникам «Геометрия 7-9» под редакцией Атанасяна Л.С.[1], а также по
учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11» [2]. Рассмотрел в данных учебниках
задачи по теореме Пифагора. В Интернете я ознакомился с практическим
применением теоремы и историческими задачами. Вопрос о практическом
применении теоремы Пифагора и о самом Пифагоре в школьном учебнике
геометрии Л.С. Атанасяна, по которому занимаюсь я, не освещен. Упоминается
лишь немного о биографии Пифагора и о том, как древние египтяне строили
прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей. Это же
упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. Вопрос о некоторых
исторических сведениях, о Пифагоре и его теореме я доработал по книгам
Волошинова А.В. «Пифагор: союз истины добра и красоты» [6] и «Математика и
искусство»[7]. В книге Лицмана В. «Теорема Пифагора»[8] рассматриваются
способы доказательства теоремы.
Исследовав литературные источники, я нашёл недостаточно информации о
практическом применении теоремы Пифагора. Поэтому самостоятельно изучить
этот вопрос мне удалось только в интернете, где я и выявил некоторые области ее
применения.
Пифагор и его теорема.
Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не
хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не
только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова
легенда. Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик. Вся его жизнь –
легенда, точнее наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос, у берега
Малой Азии. Всего 5 километров водной глади отделяло этот остров от большой
земли. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12
лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним тайны
астрономии и астрологии, затем несколько лет – в Италии. Уже в зрелом возрасте
Пифагор переселяется в Сицилию и там, в Кротоне, создает удивительную школу,
которую назовут пифагорейской. Они были трудолюбивы и аскетичны – Пифагор и
его ученики. Вот заповеди пифагорейцев.
 Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
 Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать.
 Не пренебрегай здоровьем своего тела.
 Приучайся жить просто и без роскоши.
 Прежде чем лечь спать, проанализируй свой поступки за день.
Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие –
его воспитанникам. Но рассказывают, что Пифагор, доказав свою знаменитую
теорему, отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков.
Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и
Платона. Греческий ученый Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех
современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа
для пифагорейцев были наполнены магическим содержанием, они преклонялись
перед гармонией чисел.
Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало
великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а
среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, - ему
выпало счастье победить не только соперника, но и время.
Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились
десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных.
С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно,
теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. Причина такой популярности
теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле,
теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых
начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме
того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии
буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных
доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.),
свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы
Пифагором окружено ореолом красивых легенд.
В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта
Пифагором. Она была известна еще до него. Ее знали в Китае, Вавилоне, Египте.
Вернее, не ее, а частные случаи. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее
полноценное доказательство, другие отказывают ему и в этой заслуге. Зато не
найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных
сравнений. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему
Пифагора называли "мостом ослов", так как слабые ученики, заучивающие теоремы
наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии
преодолеть теорему Пифагора, служившую для них непреодолимым мостом.
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным
и называли его «бегство убогих», потому что некоторые «убогие» ученики, не
имеющие достаточной подготовки, не могли разобраться в доказательстве и бежали
из школ. У математиков арабского востока эта теорема получила название "теоремы
невесты". Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема
называлась "теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что погречески называлась нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых
богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого
арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как
"невеста", а не "бабочка". Так появилось ласковое название знаменитой теоремы "теорема
невесты".
Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и
чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета
первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя
Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом
трактате VII —V вв. до н.э. “Сульва сутра” (“Правила веревки”). В древнейшем
китайском трактате “Чжоу-би суань цзинь”, время создания которого точно не
известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского
треугольника, а к VI в. до н.э.— и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя
Пифагора столь прочно срослось с теоремой Пифагора, что сейчас просто
невозможно представить, что это словосочетание распадется. Сегодня принято
считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от
этого доказательства также не сохранилось никаких следов, но это не даёт право
потомкам считать её менее гениальной.
Древние и современные задачи
Предлагаю несколько старинных задач, найденных в различных источниках.
Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"
Имеется бамбук высотой в 1 чжан.
Вершину его согнули так, что она
касается земли на расстоянии 3 чи от
корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота
бамбука после сгибания?
Решение:
1) Обозначим высоту бамбука после сгибания ВС= х чи. Тогда ВD = АВ = 10-х (чи).
Из  АВС по теореме Пифагора имеем АВ2=АС2+ВС2
(10-х)2 = х2+32 ,
100-20х + х2 = х2 + 9,
-20х = 9-100,
-20х = -91,
х = 4,55
2) 10-4,55=5,45.
Таким образом, высота бамбука после сгибания равна 5,45 чи.
Задача арабского математика XI в.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей,
другой - 20 локтей. Расстояние между их основаниями - 50 локтей. На верхушке каждой
пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности
воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На
каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение.
Пусть АD = х, тогда АЕ= 50- х
Итак, в  АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 = 302 + х2 = 900 + х2;
в  АЕС: АС2 = СЕ2 + АЕ2 = 202 + (50 - х)2 = 400 + 2500 – 100х+х2 = 2900 – 100х + х2.
Но АВ = АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.
Поэтому АВ2 =АС2 ,
900 + х2 =2900 – 100х + х2,
100х = 2000,
х = 20,
АD = 20.
Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.
Ответ: 20 локтей.
Древнеиндийская задача о лотосе
В древней Индии был обычай составлять задачи в стихах. Одна из таких задач о
лотосе.
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”
Решение.
Обозначим глубину озера АС = х, тогда AD = AB = х + 0,5 .
Из  ACB по теореме Пифагора получим AB2 – AC2 = BC2,
(х + 0,5 )2 – х2 = 22,
х2 + х + 0,25 – х2 = 4,
х = 3,75.
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
Ответ: 3,75 фута.
Задача из первого русского учебника «Арифметика» Леонтия
Магницкого
Случится некоему человеку к стене лестницу приставить, стены же той высота 117
стоп. А лестница долготою 125 стоп. И ведать хочется, сколько стоп нижний конец этой
лестницы от стены отстоять может.
Задача индийского математика ХII века Бхаскары
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?
Задача из рассказа Л.Толстого «Много ли человеку земли нужно.
Читая рассказ Л.Толстого «Много ли человеку земли нужно», я задумался:
Участок, какой площади отмерил жадный Пахом? «…Пошел Пахом ни тихо, ни
скоро. Отошел с версту; остановился, вырыл ямку, чтоб приметней было. Пошел
дальше. Отошел еще, вырыл еще другую ямку. Угадывает Пахом, что верст пять
прошел. Пошел дальше. Отошел еще верст пять. Пошел дальше. Думает: «Дай
пройду еще верст пяток, тогда влево загибать стану. Пошел еще напрямик.
Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто влево. Остановился Пахом.
Посидел немного, пошел дальше. Прошел еще и по этой стороне много, выкопал
ямку, загнул второй угол. Оглянулся Пахом, чуть виднеются люди — верст
пятнадцать до них будет. «Ну,— думает Пахом,— длинны стороны взял, надо эту
покороче взять». Пошел третью сторону. Посмотрел, а по третьей стороне всего
версты две прошел. И до места все те же верст пятнадцать. «Нет, думает, хоть кривая
дача будет, а надо прямиком поспевать. Не забрать бы лишнего. А земли и так уж
много». Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану…»
Решение.
Из  АВС по теореме Пифагора: АС² = АВ² - ВС², АС = х
x  152  82  161  13 (вёрст)
S участка = 0,5·13·10 + 13·2 = 91 (кв. верста)
1 верста = 1,0668 км, 1 кв. верста = 1,138 кв. км
91 кв. вёрст 104 кв. км = 10400 га.
Изучив задачи, которые решали ученики в древности, я обратил внимание на то,
что все они имеют практическое содержание. Я решил определить в каких реальных
жизненных ситуациях теорема Пифагора может помочь современному человеку,
составить и решить несколько таких задач.
Задача о мобильной связи
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы
передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB = x, BC =R=200 км, OC = r
=6380 км.
OB=OA+AB
OB=r + x.
Используя теорему Пифагора,
получим
(r + x)² = r ² + R²
х = 2,3 км
Ответ: 2,3 км.
Экономный столяр
Из круглого бревна столяру нужно вырезать брус с поперечным сечением 5см
на 12 см. Какой наименьший диаметр должно иметь бревно?
Решение.
1)d = АВ
2)Из  АВС по теореме Пифагора:
АВ² = АС²+ВС²
АВ² = 25 +144
АВ² = 169
АВ = 13
Ответ: 13 см.
Задача о туннеле
Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты должна
быть машина шириной 2 м, чтобы она могла проехать по этому туннелю? В ответе
укажите приближенное значение в метрах с точностью до одного знака после
запятой.
Задача о телевизоре
Отношение высоты к ширине экрана современного телевизора равно 0,75. Диагональ
равна 60 см. Найдите размеры экрана.
Пусть к – коэффициент пропорциональности, тогда АС
=3к, ВС =4к.
Из  АВС по теореме Пифагора:
АВ²=АС²+ВС²;
АВ²=9к² +16к²;
3600 = 25к²;
к = 12
АС = 36 см, ВС = 48 см
Ответ: 36 см, 48 см
Примеры практического применения
Применение теоремы Пифагора.
В школьном курсе
Рассмотрев задачи из древних учебников, я задумался: При изучении, каких тем
математики современным школьникам может помочь теорема Пифагора? Выводы по
этому вопросу приведу ниже.
Диагональ d квадрата со стороной а можно
рассматривать как гипотенузу прямоугольного
равнобедренного треугольника с катетом а. Таким
образом,
d²=2a²,
откуда:
d =a 2 .
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b
вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза
прямоугольного треугольника с катетами a и b. Таким
образом,
d²=a²+b²
d  a 2  b2
Высота h равностороннего треугольника со стороной а
может рассматриваться как катет прямоугольного
треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет
Таким образом, имеем
2
a
a² = h² +   ,
2
или
h=
a 3
.
2
a
.
2
Диагональ d куба, является одновременно гипотенузой
прямоугольного треугольника, заштрихованного на
рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и
диагональ квадрата, лежащего в основании .Отсюда
имеем
d² = a²+2a², d² =3a², d =a 3 .
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для
прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и
получить для диагонали выражение
d² = a² + b² + c².
Длина l бокового ребра правильной четырехугольной
пирамиды. Пусть сторона квадрата - а, и высота
пирамиды - h.
Ребра будут гипотенузами прямоугольных
треугольников, у которых один из катетов - высота h, а
другой - половина диагонали квадрата. Вследствие этого
имеем:
a2
l = h²+ .
2
2
l  h2 
a2
2
Высота h 1 боковых граней.
h1  h 2 
a2
.
4
В строительстве и архитектуре
Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка.
Если, например, рассматривать четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в
первом нашем случае речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы
при данной площади чердака была выдержана нужная высота крыши, а вопрос о
величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при
подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно
заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым
во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый
уклон. Оно гласит:
"Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно
умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить
полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние
части окон расчленяются каменными ребрами, которые
не только играют роль орнамента, но и способствуют
прочности окон. На рисунке представлен простой
пример такого окна в готическом стиле. Способ
построения его очень прост: Из рисунка легко найти
центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
1. ширине окна ( b ) для наружных дуг
b
2
2. половине ширины, ( ) для внутренних дуг
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех
дуг.
Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен
расстоянию между этими окружностями, т. е.
b
b
и, следовательно, радиус равен . А тогда
2
4
становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились
без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления;
покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив,
представленный на рисунке. Если b по-прежнему
обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей
будут равны R =
b
b
и r = . Радиус p внутренней
2
4
окружности можно вычислить из прямоугольного
треугольника, изображенного на рис. пунктиром.
Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку
b
b
+ p, один катет равен , а
4
4
касания окружностей, равна
другой
b
-p. По теореме Пифагора имеем:
2
b
4
( + p)² =(
b
b
)²+( -p)²
4
2
откуда
p=
b
.
6
Архитектура неразрывно связана с понятиями: гармония и красота. Это
подтверждено многовековым опытом. Все древние постройки выдерживались в
пропорциях «золотого сечения» и были гармоничны и прекрасны. Геометрически
“золотое сечение” строится из целочисленных величин. Рассмотрим, например,
простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2.
В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого – 2. По теореме
Пифагора длина гипотенузы в нем равна
. Соотношения сторон а, b, с данного
треугольника очень простые:
;
;
. Однако из этих величин
следует и еще одно отношение
. Это и есть «золотая
пропорция», которую обычно обозначают буквой Ф (число Фидия). Таким образом,
хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением
катетов 1:2 мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции
и несоизмеримых величин – великих открытий Пифагора.
Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без
особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские
архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ
геометрии древних храмов. Для соблюдения этих пропорций, создания соразмерных,
гармоничных композиций необходимы определенные меры длины.
Основной строительной единицей длины Древней Руси была сажень. Слово
«сажень» происходит от слова «досягать» и определяется «досяганием» рук человека.
Казалось бы, должен существовать один эталон длины, одна сажень и ее производные,
части сажени: локти, вершки, пяди и т.д. Однако известно, что на Руси было несколько
саженей, значительно отличающихся по размерам.
Б.А. Рыбаков с 1949 года изучал метрику русской архитектуры средних веков,
пытался обосновать математически существовавшие в те времена системы мер,
используемые при создании архитектурных сооружений. По его мнению, в Древней Руси
в период с XI по XVII в. существовало семь видов саженей, применявшихся
одновременно: простая, или прямая – 152,76 см; мерная, или маховая – 176,4 см; морская
– 183 см; Трубная – 187 см; Сажень без чети – 197,2 см; Косая, казенная – 216 см;
Великая, косая – 249,46 см.
Используя знания о соотношении диагонали прямоугольника и его сторон, Б.А.
Рыбаков «вывел» все виды древнерусских саженей.
Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора,
приведшая его к великим математическим открытиям неизвестна. Легче прийти к
теореме квадратов исходя из рассмотрения прямоугольного треугольника со сторонами
3:4:5, который был известен с давних времен и назывался «совершенным», «священным
египетским», «треугольником Пифагора». Иранские архитекторы времен применяли
этот треугольник при вычерчивании профиля своих эллиптических куполов.
Удобный и очень точный способ,
употребляемый землемерами для
проведения на местности перпендикулярных
линий, был известен с древних времён. Этот
способ, по-видимому, применявшийся ещё
тысячелетия назад строителями египетских
пирамид, основан на том, что каждый
треугольник, стороны которого относятся
как 3:4:5, согласно теореме Пифагора прямоугольный, так как 32 + 42 = 52.
Любой вид современных строительных работ тоже требует планового обмера и
нивелировки. Поэтому в настоящее время на практике прямые углы (например, для
отрыва котлована) определяют, так же применяя теорему Пифагора. Сбивают три тонкие
доски в прямоугольный треугольник, длины сторон которого кратны 3, 4 и 5 м. С его
помощью можно произвести разбивку прямого угла на местности.
Конечно, в промышленных масштабах этот способ изжил себя, но при возведении
небольших построек всё ещё используется.
Профессионалы же используют оборудование, которое помогает не только ускорить
сроки сдачи объекта, но и повысить качество выполняемых работ. Сегодня строитель
может забыть про рулетки и линейки, так как они безнадежно устарели. Вместо них
гораздо эффективнее использовать лазерный дальномер или лазерную рулетку.
Погрешность 1,5 мм; макс. дальность: 60
м, косвенные измерения и измерения по
теореме Пифагора, память на 10
измерений
Область применения
измерение расстояний, вычисление
площадей и объемов, проверка площадей,
предварительный подсчет материала,
измерений от угла или края, разбивка
равных расстояний, определение
недоступных расстояний
Лазерная рулетка Leica D2
Лазерный дальномер - электронно-оптический прибор, используемый для определения
дальности между различными предметами, может работать, как в помещениях, так и на
открытом пространстве. Погрешность измерений лазерной рулетки колеблется от 3 до 1
мм на 10 м. Некоторые модели могут производить вычисления объемов и площадей
помещений, вычислять длину недостающего катета (по теореме Пифагора) и т.д.
Принцип действия дальномеров основан на измерении промежутка времени между
посылкой лазерного импульса и приемом отраженного от предмета сигнала.
Электронные лазерные дальномеры помогают производить замеры в неудобных местах и
из углов помещений. Максимальная дальность определения расстояния может составлять
до 150 м и более.
Лазерный дальномер Combat
Profi 2000
Измеряемое расстояние от 20 м.
Диапазон скорости 0-300 Км/ч.
Безопасность класса 1. Размер линзы
объекта 25 мм. Увеличение 8x. Рабочие
температуры от -20 до + 50 С. Время
измерения меньше чем 4 сек. Точность
измерения расстояния +/-1 м. Время
измерения скорости меньше чем 3 сек.
Вес 472 г
Представим, что нужно измерить расстояние от гвоздя в стене до пола. Так как
дальномер работает по принципу отражения луча, то потребуется попасть в шуруп или
гвоздь в стене, чтобы луч отразился от него. Хорошо, если гвоздь находится всего в
нескольких сантиметрах от пола, но если речь идет о паре метров или даже больше, тогда
такое измерение выполнить достаточно проблематично.
Измерение расстояний по методу Пифагора
На самом деле все куда проще, в дальномере есть функция измерения расстояний
косвенным методом по теореме Пифагора. Так как стена и пол, по сути, образуют прямой
угол, то можно положить дальномер на полу на определенном расстоянии от стены
измерить расстояние до стены, а затем до точки, в которую вбит гвоздь. Две измеренные
стороны будут являться гипотенузой и катетом одного прямоугольного треугольника.
Дальномеру с функцией Пифагора не составит труда рассчитать третий катет на основе
полученных данных. Это расстояние и будет являться высотой от пола до отверстия в
стене.
При изготовлении мебели
Сейчас стало модно, при строительстве домов и коттеджей, устраивать гардеробные
комнаты. Классические гардеробные комнаты представляют собой конструкции
корпусной мебели, объединяющие несколько модулей в единую систему. Практически
все современные мебельные гарнитуры оснащены угловыми шкафами. Я решил
выяснить, это дань моде лил реальная экономия полезной площади.
Я выяснил, что при расстановке мебели возникает "проблема углов", которая бывает
при совмещении двух гардеробных шкафов под прямым углом. Что же плохого в углах?
Попробую пояснить наглядно. Если установить два шкафа глубиной 50 см и длиной 2м,
то в углу мы получим пространство 50х50 см, которое с трех сторон закрыто для доступа,
с двух сторон стеной, а с третьей стороны боковой стенкой соседнего стеллажа. Доступ
возможен столько изнутри первого стеллажа сквозь одежду, которая там уже находится.
Одежда, находящаяся в таком углу закрыта от обзора, что противоречит главному
преимуществу гардеробной перед обычным шкафом - открытость и доступность. В таком
месте невозможно разместить выдвигающиеся ящики, обувные полки чрезвычайно
неудобны, на антресольной полке, чтобы что то достать необходимо вынуть, то что
находится рядом (если конструкция до потолка).
0,5
2
2
Рассчитаем, какова доступная полезная
площадь при такой расстановке.
S = S1 + S2
S1 = 2· 0,5 = 1(м²)
S2 = 0,5·1,5 = 0,75 (м²)
S = 1,75 м²
0,25 м² потеряно!
0,5
Для решения данной проблемы был придуман вариант, который позволяет решить ее.
Применив теорему Пифагора для нахождения диагонали квадрата, получим d = a 2 .
Так возникла идея конструкции угловых шкафов.
А
С
В
Рассчитаем, какова доступная полезная
площадь в этом случае.
Искомая площадь будет состоять из
площади двух стеллажей размером 2 м на
50 см и площади  АВС.
S = S1 + S2
S1 = 2·2· 0,5 = 2(м²)
S2 = 0,5·0,25·0,25 = 0,03125 (м²)
S = 2,03125 м²
2, 03125 > 1,75
В настоящее время современенную кухню невозможно представить без встраиваемой
техники. Я решил рассчитать размеры столешницы для угловой тумбы. Размеры нижней
части уже известны
Столешница выступает сзади короба на 100мм, и спереди на 40мм. Столешница состоит
из двух частей. Первая часть - это часть столешницы в стандартную ширину 600мм, а
вторая часть - это "довесок" к первой.
Так как бок короба накрывается "заподлицо" столешницей, угловой срез нижнего
горизонта имеет размер 481мм, а столешница выступает вперед короба на 40мм, то
фронтальный размер самой столешницы будет 425мм (481-28-28= 425мм, учитывая, что
40²≈28,28²+28,28²). Получим данные для просчета столешницы.
.
Расчет очень прост. Отмерив на столешнице 425мм, мы знаем, что размер под стык
столешниц - 600мм .В данном случае, везде получаются равносторонние прямоугольные
треугольники, а значит, стороны, которые выходят из прямого угла - равны. Вот и
получается, что если на стыке столешниц размер 600мм (Это в данном случае
гипотенуза), то стороны (катеты) равны 424мм. И если это цельный кусок столешницы,
то он шириной 600мм, следовательно, 600-424=176мм. Это катеты другого треугольника.
Они нам нужны, чтобы высчитать длину стыка этой столешницы со второй частью.
Общая длинна столешницы для первой части получается: 424+425+424=1273(мм). А
стык этой столешницы со второй частью будет: 1273-176-176=921(мм). Размер второй
части считается еще проще. 921мм - это гипотенуза, значит, катеты равны 651мм
каждый.
Вот и все. Этим методом, можно рассчитать угловую тумбу любых размеров, т.е.
можно ее подгонять в нужный размер. Главное помнить, что прежде чем все это
считать, нужно посмотреть на размеры самого короба, а точнее на ширину проема
под фасад, либо под встраиваемое оборудование. И конечно, теорему Пифагора
мебельщик должен знать. Без нее проектировать угловые модули очень неудобно.
Теорема Пифагора в искусстве
Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее
“ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны
равны”, рисовали карикатуры.
Рисунок из учебника ХVI века
Ученический шарж XIX века
Современные художники тоже не остались равнодушны к этой замечательной
теореме. Изучив различную литературу и используя информацию, найденную в
интернете, хочу предложить небольшую выставку работ, посвящённых теореме
Пифагора. Все они выполнены разными авторами и в различных техниках
«Несуществующая теорема Пифагора»
Висенте Меавилья Сеги
«Теорема Пифагора»
Плавинский Дмитрий ( Холст, масло)
«Теорема Пифагора
(уголок старого города)»
Александр Щербин
Здесь действительно теорема
Пифагора. Как нетрудно заметить в
большом квадрате три меньших
квадрата. Так вот, площадь
наклоненного квадрата равна сумме
площадей двух других. Т.е. а²=b²+с². Но
при при самоподобном (фрактальном)
продолжении этого шага выявляется
эффект спирали как дорога в
бесконечность. Получается некая
модель вселенной подобно индийской
философии. Поэтому она способствует
медитации. В Ставропольском краевом
музее изобразительных искусств
открыта для посещения выставка
проблемной графики известного
ставропольского художника Евгения
Александровича Синчинова.
«Теорема Пифагора»
Актуальность экспозиции определяется
Чернов Владимир.
темой – трагедия современного
общества: массовое распространение и
массовое распространение и употребление наркотиков и алкоголя, особенно среди
молодежи. Одна из работ художника «Теорема Пифагора»: перед стаканом сидит
человек, у которого вместо головы кубик Рубика.
«Человеком, мозг которого отравлен ядом
алкоголя, можно вертеть как угодно, и
вероятность достижения цельного цветового
(смыслового) поля у такой личности равна нулю.
Да и личность ли уже он?» Таково было
объяснение автора.
«Теорема Пифагора» Е. Синчиков
Теорема и её доказательство занимали
умы не только математиков
Чертеж Л.Толстого к доказательству
теоремы Пифагора
Фотовыставка
Увидев работы талантливых людей, мне захотелось взглянуть на окружающую
действительность по-новому. Своими работами мне тоже хотелось прикоснуться к
знаменитой теореме.
«Во дворе»
«Надпись на стене»
«Пернатый»
«Утро понедельника»
Архитектурные композиции
Около входа в библиотеку штата
Виктория находится фрагмент здания,
которое как будто находится под
землей. Памятник был создан в 1992
году викторианским архитектором
Петрусом Спронком (Petrus Spronk) и
назван «Архитектурный фрагмент».
Публика увидела сооружение в 1993
году и на сегодня оно является одним
из наиболее узнаваемых в Мельбурне.
Построение памятника было
выполнено с использованием теоремы
Пифагора и отношение его сторон
составляет 3:4:5.
Памятник Пифагору.
Самос. (Греция) скульптор Н. Икарис
Театральная афиша
«ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ИЛИ ДЕВУШКА ЦЕНОЙ В ЧЕТЫРЕ ВОЛА»
В Московском областном камерном театре по пьесе Я. Костюковского и
М.
Слободского состоялся спектакль «Теорема Пифагора или девушка ценою в четыре
вола».
Как известно, в Греции есть всё. А в Древней Греции ещё и Олимпийские игры.
И живёт на острове Самос философ и учёный Пифагор, известный сложным
характером, строгостью к ученикам и презрением к женщинам. Пифагора
приглашают в дом многомудрого Эпихарма и любвеобильной Аристомахи для
обучения их здоровенного, но туповатого сына Эпея. Пифагор встречает юную
спартанку Клео, которая не только прекрасна, но и умна. Амур не дремлет, его
стрелы попадают в цель. Клео, переодевшись мужчиной, под именем Клеона
поступает в знаменитую школу Пифагора, который не может забыть прекрасную
спартанку.
Пифагору и Эпею предстоит сражаться за честь Самоса на Олимпийских
играх, где женщинам запрещено присутствовать под страхом смерти. Коварная
Аристомаха затевает сложную и коварную интригу против Пифагора, чтобы
обеспечить победу в Олимпийских играх своему сыну Эпею. Однако, после многих
испытаний, побеждает Любовь!
Это очень яркий, зрелищный, весёлый и озорной спектакль поставлен
заслуженным деятелем искусств Валерием Якуниным. В главных ролях
заслуженные артисты России А.Захарова, М.Рогов, заслуженные артисты М.О.
С.Вершинин, М.Бояринова, артисты Н.Кукушкина, В.Шевяков, О.Курлов,
Ю.Новикова, А.Попов и др.
«ОШИБКА ПИФАГОРА»
В Курском Драматическом
театре в этом году состоялась
премьере спектакля «Ошибка
Пифагора». Постановка
режиссера из Рязани Марины
Есениной, которая работает с
курскими актерами уже не
первый раз. Новая пьеса- это
юмор, любовь, яркие декорации
и костюмы.
«Ошибка Пифагора», лирическая комедия в 2-х действиях. Название спектакля уже
скажет зрителю о многом и заставит задуматься: в чем и почему ошибся Пифагор,
всем известный ученый и философ, какое убеждение перестает считать единственно
верным. Эта история с большой выдумкой. Сказка для взрослых. И Пифагор здесь
не такой, как описан в книгах - теорем не доказывает, уравнений не решает.
В этой комедии Пифагора постигли настоящие чувства. Прагматичный философ,
черствый сухарь, который считал, что любовь - это сплошная бессмыслица, теряет
голову от красавицы спартанки по имени Клео и меняет взгляды на жизнь. Мол,
простите, ошибался.
Этот спектакль для тех, кто любит посмеяться и обладает чувством юмора. Кто-то,
посмотрев комедию «Ошибка Пифагора» от души посмеется, кто-то, возможно,
задумается о существовании настоящей любви.
Художественный руководитель театра – народный артист России, лауреат
Государственно премии России Юрий Бурэ.
Заключение
В результате проведённого исследования я выяснил некоторые области
применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из
литературных источников и интернета по данной теме. Я изучил некоторые
исторические сведения о Пифагоре и его теореме, решил ряд исторических задач на
применение теоремы Пифагора. Я выяснил, что действительно, с помощью теоремы
Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора
нашла своё применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, искусстве
и повседневной жизни. А также практическое применение теорема найдёт и при
решении тех проблем, которые я обозначил в своей работе.
Результатом моей работы является:
1. приобретение навыка работы с литературными источниками;
2. приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете;
3. научился работать с большим объёмом информации, отбирать нужную
информацию;
4. это моя первая работа по математике, в результате которой я составил и
решил задачи современного характера на применение теоремы Пифагора.
5. расчеты позволили убедиться, что теорема Пифагора применяется при
изготовлении мебели.
Было интересно почувствовать себя исследователем, но главное меня заинтересовал
процесс познания. Эта работа помогла мне реально применить полученные на
уроках знания, навыки, опыт в практической деятельности, в соответствии с моими
интересами.
Я планирую продолжить работу над этой темой и изучить хотябы часть
различных доказательств этой теоремы.
Я предложил Андреевой Елене Ивановне, моему учителю математики,
провести ряд мероприятий в рамках очередной недели математики, посвящённых
Пифагору и его теореме. Думаю, что большинство ребят, с удовольствием примет
участие в создании настоящей фотовыставки. А для ребят 5 - 6 классов я уже
составил викторину.
Используемая литература
1. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», 2002.
2. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений – 5-е
изд,2000, 384 с.
3 Скопец З.А. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.-3-е
изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.
4.Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Главный редактор М.Д. Аксенова. –
М.: «Аванта+»,изд 2-е перераб, 2007, 624 с.
5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика: Котова А.Ю. Савин А.П.
Станцо В.В. - М., АСТ Ермак Астрель, 2004.
6. Волошинов А. В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М: Просвещение,
1993, 224 с.
7.Волошинов А .В. Математика и искусство. – М: Просвещение, 2000, 399 с.
8. Лицман В. Теорема Пифагора. М. ГИФМЛ, 1960, 116 с.
9. http://fractalworld.xaoc.ru/
10. http://news.cosmoport.com/2005/01/28/3.htm
11. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/7AE32CB9-0A01-01B2-01D648E24F6A7B4D/
12. www.culture-people.com – C.А. Волков – «Золотое сечение» в архитектуре
Скачать