Домашнюю работу: Теорема Менелая

Теорема Менелая.
1. AD – медиана треугольника АВС. На AD взята точка К так, что
АК:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь
треугольника АВС?
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС даны соответственно
точки M и N такие, что АМ:МВ=CN:NA=1:2. В каком
отношении точка S пересечения отрезков BN и СМ делит
каждый из этих отрезков?
3. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении
2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису?
4. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка D, а на стороне
ВС точки Е и F так, что AD:DB=3:2, ВЕ:ЕС=1:3 и BF:FC=4:1. В
каком отношении прямая АЕ делит отрезок DF?
5. В правильном треугольнике АВС со стороной a точка Е –
середина ВС, В – середина АС, F принадлежит DC, BF
пересекается с DE в точке М. Площадь четырехугольника
ABMD составляет 85 от площади треугольника АВС. Найти MF,
6. Дан параллелограмм ABCD. Точка М делит отрезок AD в
отношении p , а точка N делит DC в отношении q . Прямые
ВМ и AN пересекаются в точке S. Найти отношение AS:SN.
7. Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD,
площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая,
пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь
четырехугольника QMCD.
8. Стороны треугольника АВС разделены точками М, N, Р так,
что АМ:МВ=ВN:NC=CP:PA=1:4. Найдите отношение площади
треугольника, ограниченного прямыми AN, BP, CM, к площади
треугольника АВС.
9. В трапеции АВСD точки М и N – середины оснований ВС и
AD. Точка К лежит на стороне АС. P, Q – точки пересечения
КМ и КN с боковыми сторонами соответственно. Доказать, что
PQ параллельно основаниям. (Рассмотреть 2 случая: К – на
диагонали, К – на ее продолжении).
10. В параллелограмме АВСD на сторонах ВС и AD отмечены
точки К и М, на сторонах АВ и CD – точки L и N так, что КМ
параллельна АВ, LN – параллельна ВС. Доказать, что либо KL,
АС и MN пересекаются в одной точке, либо они параллельны.
Теорема Менелая.
1. AD – медиана треугольника АВС. На AD взята точка К так, что
АК:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь
треугольника АВС?
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС даны соответственно
точки M и N такие, что АМ:МВ=CN:NA=1:2. В каком
отношении точка S пересечения отрезков BN и СМ делит
каждый из этих отрезков?
3. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении
2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису?
4. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка D, а на стороне
ВС точки Е и F так, что AD:DB=3:2, ВЕ:ЕС=1:3 и BF:FC=4:1. В
каком отношении прямая АЕ делит отрезок DF?
5. В правильном треугольнике АВС со стороной a точка Е –
середина ВС, В – середина АС, F принадлежит DC, BF
пересекается с DE в точке М. Площадь четырехугольника
ABMD составляет 85 от площади треугольника АВС. Найти MF,
6. Дан параллелограмм ABCD. Точка М делит отрезок AD в
отношении p , а точка N делит DC в отношении q . Прямые
ВМ и AN пересекаются в точке S. Найти отношение AS:SN.
7. Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD,
площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая,
пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь
четырехугольника QMCD.
8. Стороны треугольника АВС разделены точками М, N, Р так,
что АМ:МВ=ВN:NC=CP:PA=1:4. Найдите отношение площади
треугольника, ограниченного прямыми AN, BP, CM, к площади
треугольника АВС.
9. В трапеции АВСD точки М и N – середины оснований ВС и
AD. Точка К лежит на стороне АС. P, Q – точки пересечения
КМ и КN с боковыми сторонами соответственно. Доказать, что
PQ параллельно основаниям. (Рассмотреть 2 случая: К – на
диагонали, К – на ее продолжении).
10. В параллелограмме АВСD на сторонах ВС и AD отмечены
точки К и М, на сторонах АВ и CD – точки L и N так, что КМ
параллельна АВ, LN – параллельна ВС. Доказать, что либо KL,
АС и MN пересекаются в одной точке, либо они параллельны.