Свойства трапеции

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
лицей №180 «Полифорум»
Сборник задач по теме
«Трапеция. Свойства трапеции»
для подготовки учащихся 9 – 11 классов
к итоговой аттестации по математике
Екатеринбург 2013
Дорогие ребята!
Предлагаем вашему вниманию подборку задач по теме «Трапеция и ее
свойства».
С каждым годом требования к подготовке выпускников
возрастают,
растет конкуренция между учениками. И от того, как ученик сдаст экзамены
по математике, может зависть его будущее ( идет борьба за каждый балл).
Поэтому, чем лучше ученик будет подготовлен, тем увереннее он будет себя
чувствовать. Чувство уверенности возникает, если знания базируются не
только на школьной программе, но и за ее пределами. В данной работе мы
постарались обобщить свойства трапеции,
которых эти свойства применяются.
и сделать подборку задач, в
1. Справочные сведения по теме
« Трапеция и ее свойства»
формулировка
рисунок
свойство
1.Сумма внутренних углов трапеции равна 360
градусов.
2.Сумма углов при боковых сторонах трапеции
равна 180 градусов.
3.Биссектрисы, проведенные из вершин
односторонних углов А и В, пересекаются под
углом в 90 градусов.
4.Средняя линия MN трапеции параллельна
основаниям BC и AD равна их полу сумме
1. ∠𝐴 + ∠𝐵 +
+∠𝐶 + ∠𝐷 = 3600
2.∠𝐴 + ∠𝐵 = 1800
3.∠𝐴𝐾𝐵 = 900 .
4.𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶
𝐴𝐷 + 𝐵𝐶
𝑀𝑁 =
2
5.Биссектриса, проведенная из вершины угла
трапеции , отсекает равнобедренный
треугольник
АВ = В𝑁
6.В равнобедренной трапеции длины
диагоналей равны
BD =AC
7.В равнобедренной трапеции углы при
любом основании равны
B
A
8.В трапецию можно вписать окружность, если
сумма оснований трапеции равна сумме её
боковых сторон
9.Отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции, равен полуразности
оснований
10.Отрезок, параллельный основаниям
трапеции, проходящий через точку
пересечения диагоналей и соединяющий
две точки на боковых сторонах, делится
точкой пересечения диагоналей пополам.
Его длина есть среднее гармоническое
оснований трапеции.
11.Отрезок, разбивающий трапецию на две
подобные трапеции, имеет длину равную
среднему геометрическому длин
оснований.
∠𝐴 = ∠𝐷
∠𝐵 = ∠𝐶
C
D
BC+AD=BA+CD
MN =
PK 
𝐴𝐷−𝐵𝐶
2
2ab
ab
𝐿𝐹 = √𝑎𝑏
12.Диагонали трапеции разбивают ее на
четыре треугольника, причем
треугольники, прилежащие к основаниям,
подобны, а треугольники, прилежащие к
боковым сторонам, равновелики.
∆BOC ~∆AOD,
S ∆ABO=
=S ∆COD
13.Высота
равнобедренной трапеции,
проведенная из вершины тупого угла,
делит большее основание на два отрезка,
меньший, из которых равен полуразности
оснований, а больший – полусумме
оснований (длине средней линии
трапеции).
14.Если в равнобедренную трапецию
вписана окружность, то ее боковая сторона
равна средней линии.
(𝑏−𝑎)
АТ =
,
TD =
2
(𝑏+𝑎)
2
АВ = m
15.Если диагонали равнобедренной трапеции
взаимно перпендикулярны, то длина высоты
трапеции равна длине средней линии, а
площадь равна высоте в квадрате.
EF =
BC+AD
2
,
S = EF 2
16.Если в равнобедренную трапецию
можно вписать окружность, то высота есть
среднее геометрическое оснований.
h=√𝑎𝑏
17. Боковая сторона описанной трапеции
видна из центра вписанной окружности
под прямым углом.
N
В
С
∠СОD= 900
K
O
А
18.В равнобедренной трапеции проекция
диагонали на большее основание равна
средней линии трапеции.
L
D
АE=
(𝐴𝐷+𝐵𝐶)
2
2. Приведем примеры решения задач:
Задача №1
Найдите радиус окружности, если основания
описанной около неё равнобедренной трапеции
равны 4 см и 16 см.
Н
1 способ:
Т.к. трапеция описана около окружности,
то
АВ +DС=2АВ=AD+DC =4+16=20.
AD−BC
АК = HD=
=6cм.
2 способ:
По свойству трапеции ℎ2 = 𝑎𝑏.
Отсюда ℎ = √16 ∙ 4 = 8 .
h=2r, отсюда r=4cм.
2
ВК=√AB2 − AK 2 = √100 − 36 = 8.
h=2r, отсюда r=4cм.
Ответ: 4 см.
Примечание: решение задачи вторым способом позволяет не доказывать равенство
треугольников АВК и CDH.
Задача № 2
N
В
Равнобедренная трапеция описана около круга.
Боковая сторона трапеции делится точкой касания на
отрезки длиной 18 и 32. Найдите площадь трапеции.
С
K
O
А
H
L
D
1 способ:
Т.К. СК=18 см, а КD= 32 см, то
СD=AB=50 .
По свойству описанной трапеции,
2AB=AD+BC=100см.
По свойству отрезков касательной
СК=СN=NB=18см. Тогда ВС=36 см.
KD=DL =LA=32см. Тогда AD=64 см.
AD−BC
Аналогично задаче № 1, АН= 2 . Тогда
АН=14см.
По теореме Пифагора ,
ВН= √AB2 − ВН2 = √2500 − 196 ==
48 см.
S=0.5(AD+BC)∙BH= 0.5∙100∙48=2400 см2
2 способ:
По свойству трапеции, ∠СО𝐷 = 900 .
Рассмотрим прямоугольный треугольник
⊿COD: ОК⊥ 𝐶𝐷.
Тогда по свойству пропорциональных
отрезков
r=√𝐶𝐾 ∙ 𝐾𝐷 = √32 ∙ 18 = 24 см.
По свойству равнобедренной трапеции, ее
боковая сторона равна средней линии,
тогда S=50∙NL=50∙48=2400 см2.
Ответ: 2400 см2
Задача № 3 (ЕГЭ-2007, В11)
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её
диагональ, равная 10, образует с основанием угол,
√2
10
косинус которого равен
.
Н
1 способ:
АС=10, сos∠𝐶𝐴𝐷 =
√2
10
√2
10
. Тогда АЕ=
АС∙сos∠𝐶𝐴𝐷 = 10 ∙ = √2 .
По основному тригонометрическому
тождеству sin∠𝐶𝐴𝐷 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ∠𝐶𝐴𝐷 =
√1 −
2
100
=
7√2
10
2 способ:
По свойству трапеции АЕ=m.
√2
АЕ= АС∙сos∠𝐶𝐴𝐷 = 10 ∙ 10 = √2 =m
По основному тригонометрическому
тождеству sin∠𝐶𝐴𝐷 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ∠𝐶𝐴𝐷 =
√1 −
.
2
100
=
7√2
10
.
СЕ= АС∙ sin∠𝐶𝐴𝐷 = 10 ∙
7√2
СЕ= АС∙ sin∠𝐶𝐴𝐷 = 10 ∙ 10 = 7√2.
Пусть АН = ЕD = x, тогда
BC  AD
AD  2 x  AD
m
, m
2
2
2 AD  2 x
 AD  x  HD  2

2
S=CE∙m=√2 ∙ 7√2=14 см2
7√2
10
= 7√2.
S=CE∙m=√2 ∙ 7√2=14 см
2
Ответ : 14 см2
Примечание : в задаче можно применить свойство : «В равнобедренной
трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии
трапеции.»
Задача № 4 (в
демонстрационном варианте ГИА по геометрии 2009 г.)
Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции
, если ее основание равны 9 и 19, а высота равна 12.
1 способ:
1.ВС= 𝑇𝐾 = 9 т.к это прямоугольник.
⊿ 𝐴𝐵𝑇 = ⊿ 𝐾𝐶𝐷 (по гипотенузе и катету) т.
к 𝐵𝐴 = 𝐶𝐷 и 𝐶𝐾 = 𝐵𝑇 (по условию),
𝐴𝐷−𝑇𝐾
19−9
отсюда 𝐴𝑇 = 𝐾𝐷 = 2 = 2 = 5
2.Пот теореме Пифагора:
𝐵𝑇 2 + 𝐴𝑇 2 = 𝐴𝐵 2
52 + 122 = 𝐴𝐵 2
169 = 𝐴𝐵 2
13 = 𝐴𝐵
Ответ: 13 см.
2
способ:
Рассмотрим ⊿𝐴𝐵𝐻:
𝐴𝐷−𝑇𝐾
19−9
𝐴𝑇 =
=
= 5 (по свойству № 13)
2
2
Пот теореме Пифагора:
𝐵𝑇 2 + 𝐴𝑇 2 = 𝐴𝐵 2
52 + 122 = 𝐴𝐵 2
169 = 𝐴𝐵 2
АВ=13
3. Решите задачи:
1.Одно из оснований трапеции равно 24, а расстояние между
серединами диагоналей равно 4. Найдите другое основание.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 9.
Ответ: 16
2. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее большее
основание, диагональ и боковая сторона равны 4, 3 и 2 см соответственно.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 13.
Ответ:
𝟔𝟑
𝟔𝟒
√𝟏𝟓
3. Около трапеции ABCD описана окружность, диаметром которой
является основание AD, равное а. Диагональ трапеции АС равна l. Найти
площадь трапеции.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 13.
Ответ: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
𝑙2
𝑎
∙
𝑙√𝑎2 −𝑙 2
𝑎
=
𝑙 3 √𝑎2 −𝑙 2
𝑎2
.
4. Найти площадь S трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если
площади треугольников AOD и ВОС, где О - точка пересечения диагоналей
АС и BD, равны соответственно 𝑆1 , и S2.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 12.
Ответ: 𝑆 = (√𝑆1 + √𝑆2 )2
5. Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с
острым углом 30°. Найти длину средней линии трапеции.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 14.
Ответ: 8 см
6.Около окружности радиусом 5 см описана равнобедренная трапеция.
Расстояние между точками касания боковых сторон равно 8. Найти площадь
трапеции.
Примечание : воспользуйтесь свойством № 16
Ответ: 125 см
4.Задачи для самоподготовки по теме «Трапеция и ее свойства »
Решите задачи, используя следующие свойства:
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней
линии.
свойство
Условие
1.Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная
трапеция с острым углом 30°. Найти длину средней
линии трапеции.
Найти боковую сторону равнобокой трапеции,
описанной около круга, если острый угол при
основании трапеции равен
ответ
8
24

, а площадь трапеции 288.
6
Около окружности описана равнобочная трапеция,
средняя линия которой равна 5, а синус острого угла
при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.
Около окружности описана трапеция, площадь которой
равна 20, а синусы углов при основании равны 0,8.
Найти длину средней линии трапеции.
Равнобедренная трапеция описана около окружности
радиуса 5. Боковая сторона равна 12. Чему равна
площадь трапеции?
Равнобочная трапеция с площадью 40 и боковым
ребром 8 такова, что в неё можно вписать окружность.
Найти радиус окружности.
Около окружности радиуса 2,5 описана равнобедренная
трапеция. Площадь этой трапеции равна 40 . Чему
равна боковая сторона трапеции?
Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
окружности, равна 8. Найдите среднюю линию
трапеции, если острый угол при её основании равен
30°.
В равнобедренную трапецию вписана окружность
радиуса 4. Боковая сторона равна 9. Найти площадь
трапеции.
В равнобедренной трапеции боковая сторона равна
средней линии, а периметр равен 48. Найдите длину
боковой стороны.
В равнобедренную трапецию, один из углов которой
равен 60, а площадь равна 24 3 , вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности.
20
5
120
2,5
8
4
72
12
3
средним геометрическим её оснований: h2 = a ∙ b.
Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является
В равнобедренную трапецию вписана окружность
радиуса 10. Верхнее основание трапеции в два раза
меньше её высоты. Найдите площадь трапеции.
Около круга радиуса 2 описана равнобедренная
трапеция, периметр которой равен 20. Найти площадь
этой трапеции.
Основания описанной около окружности
равнобедренной трапеции равны 2 и 18. Найдите
площадь трапеции.
Основания равнобедренной трапеции относятся как 1 :
5, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию,
равен 7,5 см. Найдите стороны трапеции
Около окружности с диаметром 15 описана
равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной
17. Найдите основания трапеции.
В равнобокую трапецию с верхним основанием,
равным 1, вписана окружность единичного радиуса.
Найти нижнее основание трапеции.
В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 6
см, точка касания делит боковую сторону на отрезки,
разность между которыми равна 5 см. Найти среднюю
линию трапеции.
Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5 см.
Известно, что средняя линия делит площадь трапеции
на две части, площади которых относятся как 7:13.
Найти высоту трапеции, если известно, что в неё
можно вписать окружность.
В равнобедренную трапецию вписан круг. Боковая
сторона делится точкой касания на отрезки длиной 9 и
16. Определить площадь трапеции.
Около окружности, радиус которой равен 10, описана
равнобедренная трапеция. Расстояния между точками
касания окружности с боковыми сторонами
трапеции12. Найдите боковую сторону трапеции.
Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около
круга, равна 68. Найти радиус этого круга, если нижнее
основание трапеции больше верхнего на 64.
В равнобедренную трапецию, большее основание
которой равно 36, вписана окружность радиуса 12.
Найдите наименьшее основание трапеции
500
20
60
9 5
25 и 9
4
13
4
600
100
3
30
13
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.
Найти диагональ равнобедренной трапеции, если её
площадь равна 8 2 , а средняя линия равна 2
Найти площадь равнобедренной трапеции, если её
высота равна 4, а тангенс угла между диагональю и
основанием равен
6
96
1
.
6
Найти площадь равнобедренной трапеции, если её
диагональ, равная 13, образует с основанием угол,
косинус которого равен
2
13
78
.
Большее основание равнобедренной трапеции равно 8,
боковая сторона 9, а диагональ 11. Найти меньшее
основание.
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно
10, боковая сторона 18, а диагональ 22. Найти большее
основание трапеции.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её
средняя линия равна 6, а тангенс угла между
диагональю и основанием равен 1,5.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её
диагональ равна 2 13 , а средняя линия равна 4
Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4.
Площадь трапеции равна 8. Найти тангенс угла между
диагональю и основанием трапеции
В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см,
составляет с основанием угол 60°. Найдите среднюю
линию трапеции.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 11 ,
а основания равны 4 и 5. Найдите её диагональ
В равнобокой трапеции основания 6 и 10. Диагональ
равна 10. Найти площадь трапеции
Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, если
диагональ составляет угол 30° с основанием, а высота
равна 2.
Площадь равнобедренной трапеции равна 32.
Котангенс угла между диагоналями трапеции и её
основанием равен 2. Найдите высоту трапеции.
В равнобедренной трапеции диагональ равна 13 см, а
средняя линия – 12 см. Найдите высоту трапеции
5
16
54
24
0,5
2
14
48
2 3
4
5
равна квадрату её высоты: S = h2.
Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны,
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно
перпендикулярны, а длина её средней линии равна 9.
Найдите длину отрезка, соединяющего середины
оснований трапеции.
9
В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь
этой трапеции
Найти площадь равнобедренной трапеции, основания
которой 12 и 34, а диагонали перпендикулярны
В равнобедренной трапеции диагонали взаимно
перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции,
если её площадь равна 36.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно
перпендикулярны, а её площадь равна 4. Найти высоту
трапеции.
Найти периметр равнобедренной трапеции, боковая
сторона которой 13, высота 12, а диагонали взаимно
перпендикулярны.
Площадь равнобедренной трапеции равна 256, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю
линию трапеции.
25
529
6
2
50
18
В равнобедренной трапеции ABCD (BC || AD) диагонали
AC и BD взаимно перпендикулярны, ВС = 6 см, AD = 20
см. Найти длину отрезка, соединяющего середины
оснований трапеции.
15
В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC)
Диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции
равна 12 см. Расстояние от вершины А до прямой CD в
три раза больше, чем расстояние от вершины В до этой
прямой. Найдите основания трапеции.
18 см и
6 см
Приложение
Свойство 1
Отрезок,
соединяющий
середины
диагоналей
трапеции,
равен
полуразности оснований.
Дано: АВСD - трапеция,
АС и ВD - диагонали,
M - середина АС,
N - середина BD
Доказать: MN =
𝐴𝐷−𝐵𝐶
2
.
Доказательство:
KM – средняя линия треугольник ABC и равна
KN – средняя линия треугольника ABD и равна
следовательно, MN =
𝐴𝐷
2
-
𝐵𝐶
2
=
𝐴𝐷−𝐵𝐶
2
1
2
1
2
𝐵𝐶.
𝐴𝐷. Тогда, MN= KN - KM
.
Теорема доказана.
Свойство 2
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого
угла, делит большее основание на два отрезка, меньший, из которых равен
полуразности оснований, а больший – полусумме оснований (длине средней
линии трапеции).
Дано: АВСD - трапеция, ВС=a
и АD=b
Доказать: АТ =
(𝑏+𝑎)
2
Доказательство.
Построим высоты ВТ и СК.
(𝑏−𝑎)
2
, TD =
Рассмотрим ⊿ АВТ и ⊿ СКD. Так как АВ=СD по условию, ∠А=∠D по
свойству равнобедренной трапеции, то ⊿ АВТ= ⊿ СКD (по гипотенузе и
острому углу).
Четырехугольник ТВСК - прямоугольник, следовательно ВС = ТК = а.
Тогда АТ = КD =
(𝐴𝐷−𝑇𝐾)
2
=
TD = AD – AT = b -
𝑏−𝑎
2
𝑏−𝑎
2
.
=
(2𝑏−𝑏+𝑎)
2
=
(𝑏+𝑎)
2
.
Теорема доказана.
Свойство 3
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку
пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах,
делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее
гармоническое оснований трапеции.
Дано: АВСD- трапеция, BD
∩AC=O, ВС=a и АD=b
Доказать:
PK 
PO
=
OK
,
2ab
ab
Доказательство.
Рассмотрим подобные треугольники AOD и BOC ( они подобны по 1
признаку, так как ∠АОD= ∠ВОС как вертикальные и ∠САD= ∠ВСА как
накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АD и секущей АС. )
AO AD b


Из подобия следует, что OC BC a .
Рассмотрим подобные треугольники AOP и ACB (они подобны по 1
признаку, так как ∠ВАС -общий и ∠АРО= ∠СВА как соответственные углы
при параллельных прямых ВС и РО и секущей РВ). Из подобия следует, что
AO PO
b


AC BC a  b .
Отсюда
PO 
b
ab
 BC 
ab
ab .
Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что
OK 
2ab
ab
PK 
a  b . Отсюда PO  OK и
ab .
Теорема доказана.
Примечание
Многоугольники подобны, если:
1) равны все углы при соответственных вершинах
2) соответственные стороны пропорциональны
Свойство 4
Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет
длину равную среднему геометрическому длин оснований.
Дано: ABCD- трапеция
LBCF ~ ALFD , BC = a,
AD = b
Доказать: 𝐿𝐹 = √𝑎𝑏
Доказательство.
LBCF ~ ALFD (по условию), тогда,
пропорцию)
𝐿𝐹 2 = 𝑎𝑏 , 𝐿𝐹 = √𝑎𝑏
Теорема доказана.
𝐵𝐶
𝐿𝐹
=
𝐿𝐹
𝐴𝐷
,
𝑎
𝐿𝐹
=
𝐿𝐹
𝑏
(решим
Свойство 5
Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем
треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники,
прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Дано:
ABCD
-
трапеция,
AD и BD - диагонали
Доказать: ∆BOC ~∆AOD,
S ∆ABO=S ∆COD
Доказательство.
1)
Рассмотрим ∆BOC и ∆ AOD
∆BOC = ∆AOD (как вертикальные углы)
∆CBO = ∆ODA (как накрест лежащие углы, при параллельных
прямых BC и AD и секущей BD)
∆BOC ~ ∆AOD, отсюда
2)
𝐵𝐶
𝑂𝐷
=
𝐶𝑂
𝑂𝐴
=
𝐵𝐶
𝐴𝐷
Рассмотри ∆𝐵𝑂𝐶 и ∆𝐶𝑂𝐷
Проведем высоту CH, примем за основания треугольников отрезки
BO и OD, тогда
𝑆𝐵𝑂𝐶
𝑆𝐶𝑂𝐷
=
𝐵𝐶
𝑂𝐷
1
= 𝑘, следовательно 𝑆𝐶𝑂𝐷 = × 𝑆𝐵𝑂𝐶 .
𝑘
Аналогично ∆𝐵𝑂𝐶 и ∆𝐴𝑂𝐵 имеют общую проведенную высоту BN, и
основания CO и OA, тогда
𝑆𝐵𝑂𝐶
𝑆𝐴𝑂𝐵
=
𝐶𝑂
𝐴𝑂
1
Следовательно 𝑆𝐶𝑂𝐷 = 𝑆𝐴𝑂𝐵 = × 𝑆𝐵𝑂𝐶
𝑘
Теорема доказана
1
= 𝑘 и 𝑆𝐴𝑂𝐵 = × 𝑆𝐵𝑂𝐶 .
𝑘
Свойство 6
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то ее боковая
сторона равна средней линии.
Дано: АВСD - равнобедренная
трапеция, окружность, вписанная в
трапецию, m - средняя линия.
Доказать: АВ = m
Доказательство:
Так как в четырехугольник вписана окружность,
то AD + BC = AB + CD.
2AB = AD + BC
AB=
𝐴𝐷 + 𝐵𝐶
= 𝑚.
2
Теорема доказана.
Свойство 7
Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны,
то длина высоты трапеции равна длине средней линии, а площадь равна
высоте в квадрате.
Дано: АВСD - трапеция,
СD=AB,
AB⊥CD
Доказать: 𝐄𝐅 =
𝐄𝐅 𝟐
𝐁𝐂+𝐀𝐃
𝟐
,𝐒=
Доказательство.
1)
BO=OC (по свойству равнобедренной трапеции), AO=OD .
Отсюда ∆ 𝐴𝑂𝐷 и ∆𝐵𝑂𝐶 равнобедренные.
Поскольку
AC ⊥ BD, то OF=
1
1
2
2
EF=OF+OE = AD+
2)
BC=
1
2
1
2
𝐴𝐷 и OE=
1
2
BC следовательно,
(AD+BC)
S=𝐸𝐹 2 , т.к EF является средней линией и высотой.
Теорема доказана.
Свойство 8
Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной
окружности под прямым углом.
N
В
Дано:
С
АВСD
K
O
А
-
равнобедренная
трапеция,
L
D
вписанная окружность (О, ОК )
Доказать:∠СОD= 900
Доказательство.
Так как в трапецию вписана окружность, то О- точка
пересечения биссектрис. ∠С + ∠𝐷 = 1800 ( по свойству трапеции).
∠С = 2∠DCO, ∠D = 2∠KDO.
Тогда ∠С + ∠𝐷 = 2∠DCO + 2∠KDO = 2( ∠DCO + ∠KDO) = 1800 .
Отсюда ∠DCO + ∠KDO = 1800: 2 = 900.
Рассмотрим ⊿СОК. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠DCO + ∠KDO + ∠СО𝐷 = 1800 .
∠СО𝐷 = 1800 – ( ∠DCO + ∠KDO). Отсюда ∠СО𝐷 = 900.
Теорема доказана.
Свойство 9
Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то
высота есть среднее геометрическое оснований.
Дано:
трапеция,
ABCD-
AB=CD, B𝐾 ⊥ AD,
AD=a, BC=b, BK=h.
Доказать: h=√𝑎𝑏
Доказательство.
𝑎+𝑏
(по свойству №3) , AE=
𝑎−𝑏
(по свойству №4 )
1)
AB=
2)
Рассмотрим ∆ ABE , 𝐵𝐸 = √𝐴𝐵2 − 𝐴𝐸 2
ℎ=√
(𝑎+𝑏)2
4
2
−
(𝑎−𝑏)2
4
2
=√𝑎𝑏 , ℎ = √𝑎𝑏.
Теорема доказана.
Свойство 10.
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание
равна средней линии трапеции.
Дано: АВСD - трапеция, ВС=a
и АD=b, АС-диагональ
Доказать: АК=
(𝑏+𝑎)
2
.
Доказательство
Рассмотрим
равные треугольники АВТ и КСД (они равны по
гипотенузе и катету: ВТ=СК,АВ=СД). Из равенства треугольников следует,
что АТ=КВ= (АД-ВС): 2 =
(𝑏−𝑎)
2
Тогда АК=АD- DK = bТеорема доказана.
( так как ВС=ТК = а).
(𝑏−𝑎)
2
=
2𝑏−𝑏+𝑎
2
=
(𝑏+𝑎)
2
.