Тема: Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства
При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать
монотонность логарифмической функции
:
При
при
эта функция убывает,
– возрастает.
1. Решим неравенство:
Решение
Пояснения
Т.к.
=3, то запишем данное
неравенство в виде
Т.к. основание логарифмов 2 больше
единицы ,то логарифмическая функция
возрастающая и аргументы связаны
неравенством того же знака
а ОДЗ неравенства задается условием
Учитывая эти два условия, получаем
систему двух неравенств
Эти числа, также являются
решениями данного логарифмического
уравнения.
Решим эту систему:
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
13
Ответ:
x
21
.
2. Решим неравенство:
Решение
Пояснения
ОДЗ неравенства определяется
условием
Так как основания логарифмов меньше
единицы, то логарифмическая функция
убывающая и аргументы связаны
неравенством противоположного
знака
Учитывая эти два условия, получаем
систему двух неравенств
Так как второе неравенство более
жесткое, чем первое, то полученная
система равносильна второму
неравенству
Ответ:
Такие же соображения используются и при решении более сложных
неравенств.
3. Решить неравенство:
Решение
Пояснения
ОДЗ неравенства определяется
условием
Учтем, что
Так как основания логарифмов меньше
единицы, то логарифмическая функция
убывающая и аргументы связаны
неравенством противоположного
знака
Учитывая эти два условия, получаем
систему двух неравенств
Решаем эту систему:
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
-
+
-
-1
x
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
-
+
-
-1
x
Найдем общие решения этих неравенств:
-1
Ответ:
x
.
4.
Решить
неравенство:
Решение
Пояснения
Прологарифмируем обе части
неравенства по основанию 10:
Воспользуемся свойством логарифма
, получим:
Введем замену переменной y=lgx и
приведем к неравенству третьей
степени:
Разложим его на множители:
Т.к.
при любых значениях y,
то
Получаем простейшее
логарифмическое неравенство:
откуда
Ответ:
В случае если в основании показательной или логарифмической
функции входит неизвестная величина х, то необходимо
рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит
промежутку
и когда принадлежит промежутку
.
5.
Решить
неравенство:
.
Решение:
ОДЗ неравенства определяется условиями:
, откуда
а) При
, т.е.
, имеем:
, откуда
,
так как при таком основании функция убывающая)
Решим это неравенство:
IIIIIIIIIIIIII
-1
IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
x
3
,
учитывая ограничения на x (
, имеем:
б) При
, т.е.
с учетом ОДЗ:
, имеем:
, откуда
,
(так как при основании большем 1 логарифмическая функция
возрастающая).
Решим это неравенство:
-1
IIIIIIIIIII
x
3
,
С учетом ограничений на x (
,получаем:
.
Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем решение
неравенства:
.
Задания для самостоятельного решения.
Решите неравенства:
1. log 1 3 12  x 2  2


2.9 log9  x  4   3
3. log 1 3 log 3 (1  x)  0
log
4.0,1
2
lg1 x 
1
5.5  0,2 lg x  0,2 2 lg 2
6.x log 2 x 
4
0
log x 2
7. log 1 5 x  5  2
x  1  log 2 x  1  2
9. log log 2 2 x  3  0
10. log x  2  x  2   1
8. log 1
2
3
Найдите целые числа х, при которых
выполняется неравенство:
11. log 1 2 2 x  1  log 1 2 12  log 1 2 10  log 1 2 6
Найдите наименьшее целое х,
удовлетворяющее неравенству:
12.2 x  log 1 2 5  log 1 2 5  0
13. lg 3 x 1  lg 32 x  4  lg 3
Найдите наибольшее целое х,
Удовлетворяющее неравенству:
14. log 3,1 2 x  8  log 3,1 6  0