Document 3762973

ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДЫ LABVIEW ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
А.О. Севостьянов, В.В. Каратаев
Московский Энергетический Институт (ТУ), 111250 Москва, Красноказарменная,14,
6730919, KaratayevVV@mpei.ru
Огромные математические возможности среды LabVIEW в сочетании с простотой
моделирования делают ее исключительно полезной для численного исследования и
моделирования нелинейных электрических цепей [1]. Среди многих возможных подходов к
анализу переходных процессов в нелинейных цепях с использованием LabVIEW весьма
привлекательным представляется применение кусочно-линейных операторов [2] или
секционных кусочно-линейных функций [3]. Такая методика не только позволяет компактно
записать расчетные уравнения, но и обеспечивает выполнение определенных требований,
которые накладываются на разностные уравнения по условиям устойчивости [2].
Исследование проводилось на примере анализа переходных процессов в цепи
переменного тока с двумя нелинейными индуктивными элементами, а также на примере
анализа возбуждения релаксационных колебаний в цепи с нелинейным резистивным
элементом, имеющим неоднозначную вольт-амперную характеристику. Вебер-амперные
характеристики нелинейных катушек индуктивности и вольт-амперная характеристика
резистора представлены в виде секционных кусочно-линейных функций [2] и в нашем
случае, с учетом принятых в расчете параметров элементов, имеют вид
(1)
i1 ( 1 )  500 1  225 1  0,02  225 1  0,02 ;
i2 ( 2 )  125 2  187 2  0,002  187 2  0,002 ;
(2)
(3)
u(i)  11000i  11250 i  0,001  2250 i  0,005 .
(Здесь ток в амперах, напряжение в вольтах, потокосцепление в веберах).
Для анализа процессов составлены уравнения состояния и разработаны блок-схемы для их
решения в среде LabVIEW.
В качестве первого примера рассматривается определение токов в нелинейной
электрической цепи, представляющей собой цепочку из параллельно соединенных RLветвей, в которых нелинейными элементами являются катушки индуктивности L1 и L2,
линеаризованные характеристики которых представлены кусочно-линейными операторами
(1), (2), а сопротивления резистивных элементов равны R1 = 3 Ом и R2 = 2 Ом. Эта цепочка
подключается через линейный резистор R = 5 Ом к источнику синусоидальной ЭДС
e(t )  100 sin( 100t ) . Предполагаются нулевые начальные условия.
Вначале записывается разностное уравнение явного вида для расчета
потокосцеплений в нелинейных катушках индуктивности в матричной форме:
(4)
k  k 1  h   E  R  I k 1  ,
где
 k - вектор-столбец значений потокосцепления на k-ой итерации;
I k 1 - вектор-столбец значений тока в RL-ветвях на (k-1)-ой итерации;
E - вектор-столбец, значения которого одинаковы и равны ЭДС источника;
h - шаг интегрирования; R - квадратная матрица сопротивлений. Алгоритм (4) с
добавлением выбора шага по правилу Рунге реализован в среде LabVIEW.
После
определения потокосцеплений токи рассчитываются по (1), (2). Блок-схема вычислений
представлена на рис. 1.
2000
0
0
Рис. 1
В результате анализа на LabVIEW получены временные характеристики переходного
процесса в цепи переменного тока с нелинейными катушками индуктивности при различных
значениях ЭДС источника и фаз включения.
В качестве второго примера рассматривается процесс возбуждения релаксационных
колебаний в автономной цепи с неоднозначной характеристикой нелинейного резистивного
элемента. Обратимся к простейшей схеме, состоящей из параллельно соединенных
конденсатора емкостью С и нелинейного резистора с N-образной вольт-амперной
характеристикой, подключенных к источнику постоянного тока J. В схеме С=1 мкФ, J=3 мА.
Аппроксимация вольт-амперной характеристики представлена формулой (3). Требуется
определить напряжение и ток нелинейного элемента. По существу задача сводится к
решению нелинейного уравнения состояния, в нашем случае
du/dt = (J – i(u))/C
(5)
или
di/dt = (J – i)/C( u/ i).
(6)
И то и другое уравнение можно представить в векторной форме
dx/dt = f(x).
(7)
Функция f(x) в уравнении (3) неоднозначная, ее производная разрывная, обращающаяся в
бесконечность в точках перелома нелинейной характеристики. Таким образом, не
соблюдаются условия существования и единственности решения [4]. Следовательно,
непосредственное решение уравнений состояния не может дать верного результата.
Применение высокоэффективных численно-аналитических методов решения уравнений
состояния [5] наталкивается на те же трудности. Задача – разработать
методику
составления
схемы в программе LabVIEW,
позволяющую провести эффективный
расчет процессов в цепи. Очевидно, при составлении такой схемы следует учитывать не
только уравнения состояния, но и результаты предварительного качественного анализа
процесса. Качественный анализ позволяет ввести требуемые дополнительные условия.
Рассмотрим нашу задачу. Уравнение состояния (6) с учетом характеристики нелинейного
элемента (3) принимает вид
di/dt=(0,003 – i) / (0,011 – 0,01125sign(i – 0,001) + 0,00225sign(i – 0,005),
(8)
Проводится численное решение уравнения (7) с шагом t = 0,0001 с. При расчете приняты
дополнительные условия, полученные путем предварительного качественного анализа:
1) Если i > 0,001 A и i > 0, то ток должен скачкообразно увеличиться до 0,01 А;
2) Если i < 0,005 A и i < 0, то ток должен скачкообразно уменьшиться до 0,0005 А.
Процедура численного интегрирования представлена в системе LabVIEW циклом (рис 2),
дополнительные условия учтены логическими операторами в пределах цикла.
Рис. 2
В результате анализа получены зависимости тока и напряжения нелинейного элемента от
времени в процессе возникновения релаксационных колебаний. в цепи с нелинейным
резистивным элементом (рис.3).
Качественный анализ процесса в цепи – прежде всего построение фазового портрета
системы, на основании которого заданы дополнительные условия, также может быть
выполнен при помощи программы LabVIEW – соответствующая схема легко составляется.
Возможны и другие подходы к решению задач такого рода – например, путем построения
временной характеристики по фазовому портрету системы или на основе представления
характеристики нелинейного элемента в виде петли гистерезиса.
Таким образом, среда LabVIEW дает возможность создать комплекс виртуальных
приборов для исследования нелинейных цепей, который позволяет проводить сопоставление
результатов аналитических расчетов с экспериментальными данными, полученными с
помощью установки ELVIS и той же среды LabVIEW. Тем самым значительно облегчается
построение математической модели исследуемого нелинейного устройства.
Рис. 3
Литература
.1. П.А. Бутырин, Т.А. Васьковская, В.В. Каратаев, С.В. Материкин.
Автоматизация физических исследований и эксперимента: компьютерные измерения и
виртуальные приборы на основе LabVIEW 7 (30 лекций).– М.: ДМК Пресс, 2005. – 264 с.
2. В.Н.Козлов, К.А.Магомедов. Аддитивные кусочно-линейные разностные
схемы для анализа электрических цепей. Известия академии наук. Энергетика, 2002, №4, с.
83 – 92.
3. Л.О. Чуa, Кан Сун Мо. Секционные кусочно-линейные функции. Их
каноническое представление, свойства и приложения. ТИИЭР, т.65, 1977, №6, с. 121 - 137.
4. Л.О. Чуа, Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. М.: Энергия,
1980. – 640 с.
5. К.С. Демирчян., П.А. Бутырин Моделирование и машинный расчет
электрических цепей. М.: Высш. школа, 1988. – 336 с.