ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М–3
ИССЛЕДОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ
ОБОРУДОВАНИЕ: физический и математический маятники,
секундомер, линейка.
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Физическим маятником называется тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, и способное совершить колебания относительно этой оси (рис. 1).
O
l


P1

P2
A

P
Рис. 1
Физический маятник
Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол  от положения
равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через J момент инерции маятника относительно оси О.
Пусть точка А является центром тяжести. Силу тяжести P  mg
можно разложить на две составляющие, одна из которых P2 уравновешивается реакцией опоры. Под действием другой составляющей Р1, которая
определяется
P1  P  sin α ,
(1)
маятник приходит в движение, при этом момент силы М = -Р1.l. На
основании второго закона механики для вращательного движения
1
M  Jε тогда Jε   P1l ,
(2)
где J - момент инерции,
 – угловое ускорение:

d 2
dt 2
,
(3)
l=OA – расстояние от точки подвеса до центра тяжести. Знак минус
выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному отклонению маятника. Так как угол  мал,
то sin α  α
P1  mgα .
(4)
Подставляя (3) и (4) в (2), получим:
J
d 2α
 mg αl  0 .
dt 2
(5)
Покажем, что частным решением последнего дифференциального
уравнения является:
α  A  cos ωt ,
если ω 
(6)
mgl
.
J
(7)
Действительно
d 2α
mgl
mgl
.
  Aω2 cos ωt  A
cos ωt  
2
dt
J
J
(8)
Подставляя (6) и (8) в (5), можно убедиться, что левая часть уравне2π
ния тождественно равна нулю. Сравнивая (7) и ω 
, получим:
T
T  2π
J
.
mgl
(9)
Из уравнения (9) следует, что период колебания увеличивается с
увеличением момента инерции.
2
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Прибор состоит из горизонтальной планки, в которой смонтированы
подушки ножевых опор для установки на них физического маятника,
выполненного в виде стержня. Физический маятник представляет собой
цилиндрический стержень, на котором закреплены треугольные ножевые опоры 1 и тяжелые чечевицы 2 (рис. 2).
Физический маятник может быть превращен в оборотный. Оборот-
1
L
3
2
1 - î ï î ðí ûé í î æ,
2 - ÷å÷åâèöû,
3 - öåí òð òÿæåñòè,
L - ðàññòî ÿí èå ì åæäó
î ï î ðí ûì è í î æàì è
Рис. 2
Оборотный маятник
ный маятник является частным случаем физического маятника. В оборотном маятнике перемещением грузов можно отыскать такие две сопряженные точки подвеса, что при последовательном подвешивании
маятника за одну или другие точки период его колебаний остается неизменным.
Определение положения центра тяжести физического
маятника методом обращения
Если расстояние между ножами оборотного маятника равно L, то
центр тяжести может быть найден на основании формулы (9), откуда
получим:
J1 
T2
mgl ,
4π 2
(10)
где l – расстояние от центра тяжести до точки подвеса.
3
Если маятник перевернуть, то изменятся период его колебаний, момент инерции и расстояние от оси вращения до центра тяжести:
J2 
T2
mg ( L  l ) .
4π 2
(11)
Воспользуемся теоремой Штейнера для определения момента инерции при параллельном переносе оси вращения
J1  J 0  ml 2 ,
(12)
где J0 - момент инерции относительно оси, проходящей через центр
тяжести.
Для перевернутого маятника можно записать:
J 2  J 0  mL  l  .
2
(13)
Вычитая из (13) выражение (12), получим:
J 2  J1  mL L  2l  .
(14)
Вычитая из (11) формулу (10) и сравнивая результат с формулой
(14), имеем:


mg
L  l T22  lT12  mL L  2l  ,
4π 2
откуда:
l
4 π 2 L2  gLT22
,
8π 2 L  g T22  T12 
(15)
таким образом, определив l, нетрудно по формулам (10) и (11) вычислить моменты инерции относительно двух осей вращения.
ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ
1. Закрепите на стержне мятника чечевицы и опорные ножи. Установите маятник на один из ножей в положение 1 (рис. 2).
2. Приведите маятник в колебание, отклонив его на угол   50  7 0 .
С помощью секундомера измерьте время t, в течение которого маятник
совершает n  20  30 полных колебаний. Найдите период одного колебания. Измерение повторите 3 раза.
3. Снимите стержень с опоры и переверните его. Установите маятник на другой нож в положение 2 и повторите п.2.
4. Определите среднее значение T1 è T1 , T2 è T2 по результатам трех измерений по п.п. 2, 3 соответственно.
4
5. Вычислите положение центра тяжести маятника по формуле (15),
измерив L-расстояние между ножами, результаты измерений занесите в
таблицу 1.
Таблица 1
L
Положение
ножей
Порядок
измерений
n
t
T
Tср
1
I
2
3
1
II
2
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Математическим маятником называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу идеально гибкой, нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен
неподвижно. Близким к математическому маятнику является тяжелый
5
шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника относительно точки подвеса равен:
J  ml 2 .
(16)
Период математического маятника можно определить, подставляя
последнее выражение в (9)
T  2π
l
.
g
(16а)
Из формулы (16а) следует, что период колебаний математического
маятника не зависит от его массы m.
Если определить периоды колебаний двух маятников с разными
длинами, то, согласно формуле (16а), можем написать:
T1  2 π
l1
g
(17)
l
T2  2 π 2 ,
g
откуда
g
4π 2 l1  l2 
.
T12  T22
(18)
Таким образом, для того, чтобы определить ускорение силы тяжести,
достаточно знать периоды колебаний и разность длин двух математических маятников.
ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ
1.Измерьте длину маятника (до нижнего края шарика) l1. Определите
с помощью секундомера время полных n20 колебаний (измерения провести 3 раза). Вычислите период колебаний маятника T1.
2.Поднимите шарик на 15–20 см, наматывая нить на барабан, и закрепите его стопорным винтом. Определите длину маятника l2. Измерения Т2 проводите, как в п. 1. Необходимо помнить, что углы отклонения
маятника должны быть малыми (150–200).
3.Вычислите ускорение силы тяжести по формуле (18).
4.Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2.
6
Таблица 2
l, см
n
t
tср
Tср
g
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Зависит ли период колебания физического маятника от его массы?
2. Что называется центром тяжести тела?
3. Выведите формулы погрешностей для всех определяемых величин.
l
можно пользоваться только в том
g
случае, когда амплитуда колебаний маятника мала?
4. Почему формулой T  2π
РАСЧЕТЫ И ВЫВОДЫ
7