 

Олимпиада им. И.В.Савельева, 2015, Математика, 10 класс
Задание
1. Решить уравнение f ( f ( x))  f ( x) , где f ( x) 
2(2 x  1)
.
x3
2. При каких значениях a все положительные решения уравнения sin( x  a)   sin x  cos x   0 являются
членами одной арифметической прогрессии? Найти разность этой прогрессии.
3. Множество M k - объединение корней уравнений x 2  an x  4  2an  0
для n  1, 2,..., k . Здесь an - члены арифметической прогрессии, для которой a20  59 и a40  119 . Найти
сумму всех чисел из M100 .
(2 x  3 y  6)(2 x  y  2)  0

4. Найти a , b и c , для которых система (2 x  y  2)(2 x  3 y  6)  0
 ( x  a ) 2  ( y  b) 2  c 2

в области x  1имеет ровно три решения.
На
5.
сторонах AB
и
AC треугольника
ABC
расположены
точки
DиE
так,
что
AD : AB  1:3 и CE : CA  1: 4 . Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A , попарно
пересекаются в точках M , N и P . Найти отношение площадей треугольников MNP и ABC .
Решения
1. Обозначим f ( x)  t и решим уравнение f (t )  t , где f (t ) 
виде
2(2t  1)
. Перепишем это уравнение в
t 3
2(2t  1)
 t  4t  2  t 2  3t  t 2  t  2  0  t1  2, t2  1.
t 3
Сначала рассмотрим t1  2 :
2(2 x  1)
 2  4 x  2  2 x  6  x  2. Теперь рассмотрим t2  1:
x3
2(2 x  1)
 1  4 x  2   x  3  5 x  5  x  1.
x3
2.
Множество
решений
уравнения
(1) sin x  cos x  0 и уравнения (2)
представляет
собой
объединение
решений
sin( x  a)  0 . Для уравнения (1) это x  

4
уравнения
  k , k  Z , для
уравнения (2) x  a   k , k  Z . Эти решения изображены на тригонометрическом круге:
Положительные решения из объединения могут быть членами одной арифметической прогрессии,
если 1) a 

4
  m, m  Z , при этом d 

2
2) a  

4
  m, m  Z . Тогда множества решений
уравнений (1) и (2) совпадают и d  
3. Заметим, что x1,n  2 является корнем уравнений для всех n и принадлежит M100 . Поэтому сумма
100
вторых корней x2,n  2  an уравнений равна S2  2 100   an  200 
n 1
a1  a100
100 .
2
 a  19d  59
 20d  60
Найдем a1 и a100 :  1

 a1  2, d  3  a100  2  3  99  299 .
a1  39d  119 20a1  40
Вычислим S 2  200 
2  299
100  15250 . Тогда S  2  S2  15248 .
2
(2 x  3 y  6)(2 x  y  2)  0
4. Рассмотрим сначала систему из первых двух уравнений 
заданной
(2 x  y  2)(2 x  3 y  6)  0
системы. Решением этой системы является объединение решений систем
2 x  3 y  6  0
 x1  0, y1  2
А: 
 2x  y  2  0
2 x  3 y  6  0
 x2  3, y2  0
Б: 
2 x  3 y  6  0
2 x  y  2  0
 x3  1, y3  0
С: 
2 x  y  2  0
 2x  y  2  0
 x4  0, y4  2 ,
Д: 
2 x  3 y  6  0
Условию x  1 удовлетворяют решения систем А, С и Д: x1  0, y1  2 ; x3  1, y3  0 ; x4  0, y4  2 .
Для того, чтобы исходная система имела ровно три решения, необходимо и достаточно, чтобы эти
три решения удовлетворяли третьему уравнению системы − ( x  a)2  ( y  b)2  c 2 . В результате
получаем систему уравнений для нахождения a , b и c :
 a 2  (b  2) 2  c 2

2
2
2
 (a  1)  b  c .
a 2  (b  2) 2  c 2

Вычитая из третьего уравнения первое, найдем b : (b  2)2  (b  2)2  0  4b  0  b  0. Тогда из
второго
уравнения
получим
a  1  c.
Подставим
a  1 c
в
первое
уравнение:
1  2c  c 2  4  c 2  c  2,5. Если c  2,5 , то a  1,5 , а если c  2,5 , то снова a  1,5 . Таким
образом, получаем: a  1,5 b  0 c  2,5 .
5. По условию задачи на сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки D и E так, что
AD : AB  1: n и CE : CA  1: m . Здесь n  3 ,
m  4 . Прямые CD, BE и медиана, проведенная из
вершины A , попарно пересекаются в точках
M , N и P . Нужно найти отношение площадей
треугольников MNP и ABC (см. рис.).
1. Воспользуемся теоремой Менелая для CAT и секущей EB :
CE AN TB
1 AN 1
AN


1

 1
 2(m  1) .
EA NT BC
m  1 NT 2
NT
Введем обозначения: AM  u  AT , MN  v  AT , NT  w  AT . В этих обозначениях предыдущее
равенство примет вид:
uv
 2( m  1) (1)
w
1
2. Площадь S ATC   S ABC . Найдем отношение площадей S EAN : SCAT
2
SEAN : SCAT 
Тогда S EAN
AN AE
u  v m 1
(u  v) / w m  1 2(m  1) m  1
(m  1) 2
.







2
AT AC u  v  w m
(u  v) / w  1 m
2m  1 m
m(2m  1)
(m  1)2

 S ABC .
m(2m  1)
3. Воспользуемся теоремой Менелая для BAT и секущей CD :
BD AM TC
u 1
u
2
n 1 u v


 1  (n  1) 
 1


   1 (2) .
DA MT CB
vw 2
v  w n 1
2 w w
С учетом уравнения (1)
u v
n 1 u
u 2(2m  1)
.
  2(m  1) и сложения с (2), получим
  2m  1  
w w
2 w
w
n 1
Подставляя полученное значение отношения в (2), после преобразования получим:
v 2  mn  n  m 
v mn  n  m

и 
u
2m  1
w
n 1
4. Воспользуемся теоремой Менелая для
ANE и секущей MC :
AM NP EC
u NP 1
NP
v m(mn  n  m)


1 
 1
 m 
MN PE CA
v PE m
PE
u
2m  1
Тогда
m  mn  n  m 
NP
NP
NP / PE



NE NP  PE NP / PE  1 m  mn  n  m   2m  1
5. Отношение площадей (после преобразования)
SMNP : S ANE 
v NP
m(mn  n  m)2


u  v NE m(mn  n  m)2  (2m  1)(m  1)(mn  n  m)  (2m  1) 2
Наконец, объединяя с пунктом 2, получим
S MNP 
(m  1) 2  t 2
, где t  mn  n  m .
S
 mt 2  (2m  1)(m  1)t  (2m  1)2  (2m  1) ABC
В нашем случае n  3 , m  4 . Подставляя эти значения в полученную формулу, найдем
S MNP
 25 : 252.
S ABC