№11. Дифференциальное уравнение колебаний заряда в

№11.
Дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре имеет вид:
Кл/с2. Индуктивность контура 10 мкГн. Найти емкость контура и написать уравнение
колебаний заряда, если в начальный момент времени сила тока максимальна и равна 10
мА.
Решение:
L=10-5 Гн
I0=0,01 A
d 2q
 1016 q  0
2
dt
C=? I(t)=?
Пусть колебания незатухающие, тогда заряд меняется по закону
q  q0 sin  0t   0  , тогда можно найти силу тока
dq
I
 q00 cos0t   0  , где ω0 ― собственная частота колебаний, q0 ―
dt
пиковое значение заряда. Так как q0, ω0 = const (частота колебаний зависит
только от параметров контура, а амплитудное значение заряда тоже будем
считать не зависящим от времени), то можно записать
I  I 0 cos 0t  0  , где I0 ― максимальное значение тока.
Из уравнения видно, что I 0  q00 .
Дифференцируя второй раз, получаем:
d 2q
 q002 sin 0t  0    I 00 sin 0t  0   02 q .
2
dt
Сравнивая это с исходным уравнением, убеждаемся, что 02  1016 , откуда
0  108 c 1 .
1
1
Используя формулу Томсона  0 
, получаем C  2
0 L
LC
1
Вычислим: C  16
 1011Ô
5
10  10
Запишем уравнение гармонических колебаний тока: I  0,01cos 108 t  , так
как в начальный момент времени ток максимален (значит, начальная фаза
равна нулю).
Ответ:
C  1011Ô , I  0,01cos 108 t 
Задача не дорешена: в задании требуется написать уравнение колебаний
заряда, а не тока.
№31.
Колебательный контур имеет катушку индуктивностью 10 мГн, емкость 4 мкФ и
сопротивление 2 Ом. Определить логарифмический декремент затухания, частоту
собственных колебаний и частоту затухающих колебаний, добротность. Записать
уравнение свободных, затухающих колебаний заряда, если начальный заряд на пластинах
конденсатора равен 440 мкКл.
Решение:
L=0,01 Гн
C= 4·10-6 Ф
R= 2 Ом
q0= 4,4·10-4 Кл.
Q, λ, ω, ω0 =?
q(t)=?
Пусть колебания незатухающие, тогда заряд меняется по закону
q  q0 sin  0t   0  , где ω0 ― собственная частота колебаний, q0 ― пиковое
значение заряда.
Если колебания затухающие (у контура есть омическое сопротивление), то
R
уравнение колебаний будет сложнее: q  q0 exp    t  sin t  0  , где  
2L
― коэффициент затухания.
Так как добротность контура показывает отношение энергии, запасённой в
колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период
колебания, то при малых декрементах затухания
 

 L
Q 



.
  T 2 2 R
Если берём модель гармонических, незатухающих колебаний, то частоту
1
собственных колебаний можно вычислить по формуле Томсона:  0 
,
LC
2
1  R 

если учитываем затухание, то соответственно  
 . Можно
LC  2 L 
предварительно вычислить коэффициент затухания, так как он войдёт в
итоговую формулу колебаний заряда.
Узнав добротность колебаний, найдём логарифмический декремент
затухания:  

Q
Вычислим: 0 
.
1
0,01  4  106
 5000c 1 ,  
  50002  1002  4999c 1 , Q 
Ответ:
2
 100c 1
2  0,01
4999

 25 ,  
 0,126
2 100
25
0  5000c 1 ,   100c 1 ,   4999c 1 , Q  25 ,   0,126


Уравнение свободных колебаний: q  4,4  104 sin  5000t   Кл,
2



затухающих колебаний ― q  4,4  104 exp  100t  sin  5000t   Кл
2

Разберитесь с циклической частотой.
№41.
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: У = 4 ·10-2cos6πt, м. Найти смещение от
положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний
через 0.01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 340 м/с.
Решение:
У = 4·10-2cos6πt м.
l= 0,75 м
t= 0.01 с
c= 340 м/с.
x=?
Уравнение плоской одномерной волны выглядит следующим образом:
2 l 

x  A cos  t 
, где А — амплитуда колебания, ω — его частота, λ —
 

с 2с
длина волны, l ― удаление по лучу от источника колебания:   
,
v 
здесь v — частота колебания.
2 l 
  l  

Таким образом, x  A cos  t 
  A cos    t   
2 c 
c 

 
Рассматривая наше исходное уравнение, убеждаемся: А=0,04, ω=6π c-1
Проверим размерность:  x    A  ì
0,75  6  


Вычислим: x  0,04cos  6   0,01 
  0,033 ì
340  


Ответ: x  0,033ì
Неверные преобразования. Задача не зачтена.