1.7. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения

ТЕМА2.Виды механического движения
§1.4. Равномерное и равнопеременное движение
Существует несколько классификаций движения по тому или иному
признаку. Так, механическое движение подразделяют на равномерное и
неравномерное.
Равномерное движение – можно определить несколькими способами:
1. равномерное движение – это движение, при котором за любые
равные
промежутки
времени
материальная
точка
(тело)
совершает
одинаковые перемещения,
2. равномерное движение – это движение с постоянной скоростью,
3. равномерное движение – это движение, при котором ускорение
равно нулю.
Неравномерным движением материальной точки называют движение,
при котором скорость меняется с течением времени.
Одной
из
характеристик
неравномерного
движения
является
ускорение. Простейший вид неравномерного движения – равнопеременное
движение.
Равнопеременное движение – это:
1. движение, при котором за любые равные промежутки времени
скорость точки (тела) изменяется на одну и ту же величину,

2. движение, при котором ускорение a материальной точки остается
постоянным.
Интегрируя соотношения, определяющие мгновенную скорость (1.4)
и мгновенное ускорение (1.7), можно получить основные законы кинематики
материальной точки.
Законы кинематики:
  
  0  at ,


 
at 2 ,
S  0t 
2

(1.11)
первое из уравнений системы называется законом изменения скорости –
   (t ) , второе – законом движения – S  S (t ) ; 0 – начальная скорость, т. е.
скорость материальной точки в момент времени t  0 , a – ее ускорение.
Законы (1.11) включают в себя два частных случая:
1. Равнопеременное движение без начальной скорости: начальная
скорость 0 равна нулю, ускорение a не равно нулю и
2. Равномерное движение со скоростью 0 и ускорением a равным
нулю. Законы кинематики в этих случаях принимают следующий вид:
 
  at ,

  at 2
S 
2

и
 
  0 ,
 
S  0t
В координатной записи уравнения (1.11) имеют следующий вид:
 X  0 X  a X t ,
    a t ,
0Y
Y
 Y
Z  0 Z  aZ t ,

2
S   t  a X t ,
0X
 X
2

2
S   t  aY t ,
Y
0Y

2

2
S Z  0 Z t  aZ t .
2

Закон движения –
движущейся
материальной


S  S (t )
(1.11,а)
позволяет определить координаты
точки в произвольный момент времени.

Учитывая, что S  r1  r0 запишем:

  
at 2
r1  r0  0t 
.
2
Из последнего соотношения следует, что координата Х в момент t
равна
X 1  X 0  0 X t 
aX t 2
.
2
Механические движения различаются также по виду траекторий:
прямолинейное, вращательное и криволинейное. Если модуль перемещения
dr  dr по величине равен пройденному пути ds , то материальная точка
движется по прямой линии. В этом случае модуль мгновенной скорости
равен первой производной пути по времени:
 
dr dr

.
dt
dt
(1.12)
Соотношение (1.12) – основное при решении задач по кинематике.
Интегрируя его, можно найти длину пути, пройденного телом за время от t1
до t 2 :
t2
S   dt .
(1.13)
t1
Для равномерного движения со скоростью   const из (1.13) следует:
t2
S    dt   t2  t1   dt ,
(1.14)
t1
здесь t  t2  t1 – время движения.
§1.5. Кинематика движения по окружности
Если материальная точка М
движется по окружности , то ее
положение определяют вектором угла d , который образован ее радиус
вектором R с некоторой, произвольно выбранной осью X .
Рис.1.4.  - линейная скорость, d - угол поворота

радиус-вектора точки за время dt , d - вектор угла поворота,
 - угловая скорость.

Вектор угла d можно определить следующим образом:


d  deZ ,

здесь eZ – единичный вектор оси вращения Z . Заметим, что модуль радиусвектора материальной точки равен радиусу окружности, по которой она

движется: R  R .
При решении задач удобно выбрать направление оси X так, чтобы
она проходила через начальное положение движущейся точки. Модуль
вектора угла d численно равен углу поворота радиус-вектора, измеренному

в радианах; направление d определяется по одной из альтернативных (Б.I)
формулировок правила буравчика (правого винта).
Правило буравчика (Б.I): если расположить ось буравчика вдоль оси
вращения и вращать его рукоятки в направлении движения материальной
точки
(в
направлении
ее
линейной
скорости),
то
направление
поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора

угла d .
Движение материальной точки (а также центра масс материального

тела) по окружности характеризуется угловой скоростью  и угловым

ускорением  . Как в кинематике поступательного движения, можно ввести
понятие средней и мгновенной угловой скорости, углового ускорения.


Средняя угловая скорость CP равна отношению угла поворота 
радиус-вектора материальной точки ко времени t , за которое этот поворот
произошел:

CP

  


eZ ,
t
t
(1.15)

где eZ – единичный вектор оси вращения Z .

Средняя угловая скорость CP показывает, на какой угол повернулся
радиус-вектор материальной точки за единицу времени. Измеряется она в
единицах рад/c, чаще, опуская наименование "радиан" используют секунду в
минус первой степени (с –1).
Мгновенная угловая скорость – это угловая скорость движения
материальной точки в данный момент времени, в данной точке траектории.

Мгновенная угловая скорость  – векторная физическая величина,
равная первой производной угла поворота радиус-вектора материальной
точки по времени:



d d 

eZ
dt
dt
(1.16)
Физический смысл мгновенной и средней угловой скорости одинаков
– они характеризуют угол, на который повернулся радиус-вектор за единицу
времени. Соотношения (1.15) и (1.16) указывают, что векторы угловой

скорости параллельны вектору угла поворота d .
Векторы средней и мгновенной угловой скорости откладывают на оси
вращения, их направление определяется по правилу (Б.I) буравчика (правого
винта): если расположить буравчик вдоль оси вращения и вращать рукоятки
в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной
скорости), то направление поступательного движения конца буравчика
укажет направление вектора угловой скорости.


Среднее угловое ускорение  (или  )– векторная величина, равная

отношению приращения угловой скорости  к промежутку времени, за
который это изменение произошло:


 
.
t

(1.17)
Угловое ускорение показывает, на сколько изменилась угловая
скорость за единицу времени.


Мгновенное угловое ускорение  (или  ) – векторная величина,

равная первой производной угловой скорости  или второй производной

угла  поворота по времени:

 


d d 2
 2
dt
dt
(1.18)
Угловое ускорение измеряется в рад/с2, или с–2. Как следует из (1.1) и
(1.16), угловое ускорение откладывают на оси вращения. При условии, что


вектор  совпадает по направлению с вектором угловой скорости  , имеет

место ускоренное вращение, если вектор  направлен противоположно

вектору  , то характер вращения – замедленный.
Основными характеристиками вращательного движения являются:
 период вращения (обращения) Т – время одного полного оборота.
 частота вращения n (используют также обозначения f или  ) –
число полных оборотов в единицу времени.
Период вращения Т
измеряется в секундах ( Т   c ), частота
вращения в с–1 ( n  c 1 ).
Очевидна связь частоты и периода вращения:
n
1
.
T
(1.19)
Положив в соотношении (1.15)   2 и t  T , получим для средней
угловой скорости:
CP 
2
 2n .
T
(1.20).

При равнопеременном вращательном движении угол поворота  ,


угловая скорость  и угловое ускорение 
связаны соотношениями,
аналогичными соотношениям, полученным для поступательного движения.
Интегрируя соотношения (1.16) и (1.18), приходим к основным уравнениям
кинематики вращательного движения:





t 2
  0   t ,

  0t 
(1.21)
2

здесь 0 – начальная угловая скорость.
Эти
уравнения
решают
основную
задачу
кинематики
для

вращательного движения, если известны начальная угловая скорость 0 и

угловое ускорение  .
Приведем важное соотношение, определяющее число N оборотов,
совершенных телом:
N
или

2
(1.22,а)
t2
N
 dt
t1
2
t2
 
0

t1
 t dt
2
(1.22,б)
,
где положительный знак пишется при ускоренном вращении, знак минус –
при замедленном.
§1.6. Взаимосвязь угловых и линейных
характеристик при движении по окружности
Обратимся вновь к рисунку 1.4, чтобы установить связь линейной и
угловой скоростей при движении по окружности. Для бесконечно малого
угла поворота d путь dS , пройденный частицей равен длине дуги
окружности, т. е.:
dS  Rd  .
На основании соотношения (1.22) модуль  линейной скорости
найдем дифференцированием:

Векторное
произведение
dS Rd 
d

R
 R
dt
dt
dt
векторов

a
и
(1.23)

b
есть

c
вектор
(обозначается c  a , b ), модуль которого равен произведению модулей

 
векторов-сомножителей на синус угла между этими векторами. Направление
вектора векторного произведения определяется по правилу буравчика (Б.II).
Правило буравчика (Б.II) для нахождения направления вектора
векторного произведения c  a , b :

 


1. отложить векторы a и b от одной точки,
2. провести через них плоскость,
3. расположить буравчик перпендикулярно полученной плоскости,

4. вращать рукоятки буравчика от первого вектора-сомножителя a ко

второму b в направлении меньшего угла,
5. направление поступательного движения конца буравчика укажет

направление вектора с векторного произведения.
Рис.1.5. К определению векторного произведения векторов.
   
   


c  ab sin  или c  ab sin  a, b  , где    a , b  .




Модуль
векторного
произведения
векторов
равен
площади


параллелограмма, построенного на векторах сомножителях a и b , как на
сторонах.



Анализируя направления векторов  , R и  (рис.1.4) приходим к
выводу, что они связаны посредством следующего векторного произведения:

  
  , R .
(1.24)
Формулу (1.24) называют формулой Эйлера.
Покажем, что движение материальной точки по окружности с
постоянной
по
модулю
линейной
скоростью
представляет
собой

равнопеременное движение. Поскольку мгновенная линейная скорость 
всегда направлена по касательной к траектории в данной ее точке, то
(рис.1.6), оставаясь постоянной по модулю, она непрерывно изменяется по
направлению, поэтому скорости движущейся точки в положениях А и В не


равны: A  B . Изменение вектора скорости свидетельствует о том, что
материальная точка на окружности испытывает ускорение.


Так как ускорение a по определению равно d dt , то его направление


совпадает с направлением вектора изменения скорости, т. е. a  d .
Вычислим величину и направление этого ускорения.
Рис.1.6. К анализу равномерного вращательного движения точки.
AB  OA  R , R - радиус окружности.
Пусть в момент времени t материальная точка находилась в точке A
траектории, а через малый промежуток времени dt переместилась в близко
расположенную точку B (на рисунке 1.6 дуга AB для наглядности показана



увеличенной). Изменение скорости за время dt равно разности d  B   A ,
показанной на рисунке.
Рассмотрим треугольники AOB и CBD . Эти треугольники подобны:
они равнобедренные ( OA  OB  R и BC  BD   ) и имеют равные углы
AOB  DBC  d (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Из
подобия треугольников AOB и CBD следует, что
AB : AO  DC : BD .
(*)
Длина дуги AB  Rd ( d – центральный угол, опирающийся на дугу
AB ),
из треугольника OAB выразим хорду AB : AB  2R sin d 2  Rd . Для
бесконечно малого промежутка времени dt угол d мал, поэтому длина дуги
приблизительно равна хорде:
CD  d  2 sin d 2  d  adt .
Подставляя полученные величины отрезков в пропорцию (*), имеем
Rd : R  adt :  .
Откуда следует: что величина ускорения численно равна:
a  d dt   d dt   .
(**)
Получим, что
aц   R 
2
2
R
.
(1.25)
Для определения направления вектора ускорения рассмотрим

треугольник BCD . Направление вектора a , как уже отмечено, совпадает с

направлением вектора d , в нашем случае – с направлением отрезка CD . Из


треугольника BCD следует, что угол  – угол между векторами  A и d
равен   d  2 . Очевидно, что при d  0 угол    2 . Таким образом,


вектор d , а значит и вектор ускорения a , при dt  0 стремятся к положению

нормали к вектору скорости  .
Таким образом, при движении по окружности с постоянной по
величине
линейной
(или
угловой)
скоростью,
материальная
точка
испытывает постоянное ускорение, направленное по радиусу к ее центру.
Такое
ускорение
называют
центростремительным.
Формулу
для
центростремительного ускорения в векторном виде записывают, используя


векторное произведение векторов линейной  и угловой  скорости:
 
 
aц   , .
(1.26)
Используя соотношение (1.25) и векторное тождество
ab, c   ba, c   ca, b 
последнюю формулу можно записать так:


 
  
2 R
2
aц   ,    , R   R  
.
R R
    

(1.27)

Вектор R R  n – есть вектор внешней нормали к траектории.
§1.7. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
Взаимосвязь угловых и линейных характеристик можно рассмотреть

на основе общих соображений. Пусть  мгновенная линейная скорость

материальной точки, движущейся по окружности,  – ее угловая скорость.

Введем единичный вектор касательной  , связанный с движущейся

материальной точкой. Тогда скорость  можно записать так:


   ,
здесь   
(1.28)
– проекция вектора скорости на направление вектора
касательной. Дифференцируя (1.27) по времени, получим:


 d d 
d
a

 
.
dt
dt
dt
(1.29)
Преобразуем второй член последнего соотношения:

d
d dl
d
.

 2
dt
dl dt
dl
(1.30)
Как видно из рисунка (1.6)
d
1
 .
dl
R
(1.31)
Направление d dl совпадает с направлением вектора внутренней

нормали n . Окончательно (1.29) запишем следующим образом:
 d   2 
a
  n.
dt
R
В
соотношении
тангенциальной
(1.32)
первое

a ,
ускорение
(1.32)
слагаемое
второе
–
представляет
нормальное

ан
собой
или
центростремительное ускорение. Таким образом,
  
a  aн  а
(1.33)
полное ускорение движущейся точки равно векторной сумме нормального и
тангенциального ускорений. Модуль полного ускорения определяется
соотношением:
2
 d    

a  aн  а  

  
 dt   R 
2
2
(1.34)
Воспользуемся формулой Эйлера (1.24):    , R . Дифференцируя по
 
времени (1.34), имеем:


d  d     dR 

, R  ,  ,
(1.35)
dt  dt   dt 




где d dt   угловое ускорение, dR dt   – мгновенная линейная скорость
материальной точки.

 d  
Из рисунка 1.7 видно, что множитель  , R  представляет собой
 dt


  dR   
  
тангенциальное ускорение, а ,   ,  , , – нормальное или
 dt 
    
центростремительное ускорение.


Рис.1.7.  - мгновенная линейная скорость; а - тангенциальное,


а n -нормальное и a - полное ускорения частицы. O - центр касательной
окружности радиусом R , n - внешняя нормаль к траектории движения.
Таким образом (1.35) можно привести к виду:
a
a 2H  a 2  R
2 4
.
(1.36)
§1.8. Кинематика произвольного криволинейного движения
В общем случае неравномерного движения материальной точки по


криволинейной траектории, ускорение а равно сумме нормального аН

(центростремительного) и тангенциального а ускорений:
  
a  aн  а .

Вектор тангенциального ускорения а направлен по касательной к

траектории, вектор аН – по нормали к траектории (центростремительное

ускорение); аН характеризует изменение направления скорости со временем,

а – характеризует изменение модуля скорости.


Величины аН и а определяют характер движения материальной
точки.




1. аН  0 , а  0 – прямолинейное равномерное движение,
2. аН  0 , а  const – прямолинейное равнопеременное движение,


3. аН  const  0 , а  0 – движение по окружности с постоянной по
величине скоростью,


4. аН  0 , а  const , при R  const равнопеременное движение по
окружности,


5. аН  0 , а  0 – криволинейное неравномерное движение.
§1.9. Кинематика колебательного движения
Колебания – это движения или процессы, обладающие той или иной
степенью повторяемости во времени.
Колебания широко распространены в природе и имеют место в самых
разнообразных явлениях, например, качание маятника пружинных часов,
мигание индикатора таймера, изменение значения переменного тока,
величины
напряжения
на
обкладках
конденсатора,
включенного
в
колебательный контур и т. п. Повторяющиеся процессы протекают внутри
живых организмов, например, биение сердца, чередование промежутков сна
и бодрствования, ритмы, сопровождающие работу человеческого мозга.
Таким образом, колебания присутствуют как в живой, так и в неживой
природе; в микроскопических и макроскопических процессах.
Важнейшая особенность колебательного движения состоит в том, что
оно происходит в системах, занимающих ограниченную часть пространства.
Так, совершая колебательное механическое движение, система движется
около некоторого положения равновесия, но энергия системы не выходит за
пределы границ системы. Колеблющаяся величина, заключена в некоторый
интервал, содержащий ее среднее значение. Несмотря на качественное
различие тех или иных колебательных процессов, все они могут быть
описаны одними и теми же количественными законами.
Свободные, или собственные колебания – это колебания, которые
происходят
в
системе,
выведенной
из
состояния
равновесия
и
предоставленной самой себе.
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых
колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или
косинуса. Гармонические колебания представляют собой простейшие
колебания.
Уравнение гармонически меняющейся величины  может быть как с
помощью функции синуса, так и с помощью функции косинуса следующим
образом:
или
  A cost  0 
(1.37,а)
  A sin t  0  .
(1.37,б)
В формулу (1.37) входят следующие величины:
Амплитуда колебаний А – наибольшее значение колеблющейся
величины  . Из (1.37) следует, что А  0 .
Фаза колебаний –   t  0 – аргумент функции синуса или косинуса
в уравнении гармонического колебания.
Начальная фаза колебаний –  0 значение фазы  в момент времени
t  0.
При необходимости, переход от функции синуса к функции косинуса
осуществляется по формулам приведения, при этом изменяется начальная
фаза колебаний. Например, в формулах 1.37 0   0   2 .
Период колебаний T – это время, за которое совершается одно
полное колебание.
Можно говорить, что период – это наименьший промежуток времени,
по истечении которого колеблющаяся величина  имеет то же самое
значение и ту же скорость изменения.
Частота колебаний  ( n , или f ) – величина обратная периоду
колебаний
 1 T .
Круговая, или циклическая, частота  связана с частотой 
соотношением
  2 .
Измеряется циклическая частота в с–1. Она показывает, какое число
колебаний происходит за 2 секунд.
Используя определение периодичной функции –
запишем:
  A cost  0   A cos t  T   0 .
F x   F x  T  ,
Поскольку функция   A cost  0  имеет период 2 , то сравнение
фаз колебаний позволяет установить связь периода колебаний с циклической
частотой:
 t  T   0  t  0  2 ,
отсюда следует, что
T  2  .
Частота показывает, какое число колебаний совершается за единицу
времени (секунду). Измеряется частота в герцах:    Гц. 1Гц – это такая
частота, при которой в единицу времени совершается одно колебание.


Скорость изменения  и ускорение – a колеблющейся величины 
определяется обычным образом (по формулам (1.4) и (1.7)):

a
d
 A sin t  0 
dt
d d 2
 2   A 2 cost  0 
dt
dt
(1.38)
(1.39)
Начальную фазу колебаний, можно определить с помощью первого из
уравнений (1.37) по известным начальным условиям 0 , 0 :
0   t  0  a cos 0
и
0   t  0 
d
 a sin 0 .
dt
Откуда следует:
tg0 
0
.
 0
(1.40)
Амплитуду гармонически колеблющейся величины можно вычислить
по формуле:
A  02  02  2
(1.41)