К вопросу о требованиях к выполнению письменной

К вопросу о требованиях к выполнению письменной экзаменационной
работы по алгебре и началам анализа (С.В.Буфеев)
Экзаменационная работа по алгебре и началам анализа проверяет у выпускников
средней школы владение математическим аппаратом в объеме школьного стандарта,
готовность решать задачи определенного типа и уровня сложности, способность выбирать
рациональные методы решения, умение обосновывать и кратко пояснять процесс решения
ссылками на соответствующие вопросы теории, общий уровень математической
грамотности.
Актуальным при проверке экзаменационных работ учащихся (и особенно при
проверке работ медальной комиссией) остается вопрос: насколько подробно необходимо
пояснять решение той или иной задачи. Наличие разных точек зрения на него обусловлено
тем, что практически все опубликованные методические рекомендации к выполнению
экзаменационных работ и образцы их оформления служат на самом деле не эталоном
пояснения решения экзаменационных заданий учениками, но образцом более полного и
развернутого их оформления учителями и методистами.
В определенной степени такое положение объясняется учебно-методической целью
пособий — обратить внимание учащихся, помочь им лучше уяснить и повторить те
рассуждения, которые являются наиболее важными с точки зрения приобретения навыка
выполнения того или иного задания. Однако смешение двух этих задач — как разъяснить
ученику решение примера и что необходимо ученику пояснить в решении примера —
нередко приводит к различным недоразумениям и спорным ситуациям.
Порой бывает, что учитель или проверяющий экзаменационную работу методист
ждет от ученика на определенном этапе решения воспроизведения какой-либо
«дежурной» фразы, хотя никто даже не понимает, зачем она непременно нужна с точки
зрения математического обоснования решения. Желание видеть эту фразу объясняется
определенной традицией, т.е. ссылками на методические рекомендации, однако при этом
не принимается во внимание, что в них, в частности, указано: в ряде случаев возможно
сокращение пояснений по сравнению с данными рекомендациями, при этом оценка за
работу не должна снижаться; главное требование к работе заключается в том, чтобы
задачи были решены математически грамотно, а проблема словесных пояснений решается
в каждом конкретном случае в зависимости от содержания предложенной задачи.
Приведем примеры подобных недоразумений.
Предположим, выпускник решает в экзаменационной работе квадратное
неравенство
x2  4x  3  0
Будем ли непременно требовать предварительного решения уравнения
2
x  4 x  3  0 с указанием формулы нахождения его корней? Существенно ли для
оценивания работы, какая именно формула корней квадратного уравнения была
использована? Разрешим ли ученику угадать корни уравнения, но потребуем указать, что
они найдены «по теореме, обратной теореме Виета»? И так ли значимо в ученической
работе акцентирование на слове «обратной»?
На самом деле мы знаем: достаточно опытный ученик сможет разложить трехчлен
2
x  4 x  3 на множители «в уме», например, чисто эвристическим подбором или
применяя способ группировки. И потому следует признать за ним право на экзамене
перейти к равносильному неравенству ( x  1)( x  3)  0 , используя любые, лишь бы
верные, соображения, либо вообще не комментируя его и не оправдываясь, откуда оно
появилось.
Следующий этап - решение неравенства методом интервалов. Требует ли объяснения
расстановка знаков в промежутках, на которые разбивается числовая прямая точками x = 1
и x = 3? Конечно же, нет, ибо объяснение расстановки знаков служит обоснованием
самого метода интервалов, что, разумеется, не входит в задачу школьного экзамена по
математике. Школьник должен лишь продемонстрировать умение применять сам метод,
опираясь на интуитивное понимание непрерывности функции как возможности
«построить ее график, не отрывая карандаша от бумаги», т.е. должен суметь правильно
расставить знаки в промежутках и грамотно записать ответ.
Пояснять, что графиком функции
y  ( x  1)( x  3)
является парабола, ветви которой направлены вверх, тем более строить ее, либо
осуществлять проверку знака этой функции в названных промежутках, означает простонапросто предполагать, что работу проверяет недостаточно грамотный человек, не
понимающий смысла метода интервалов. Должен ли школьник исходить на экзамене из
такого предположения?
Сказанное отнесем и к применению метода интервалов к дробно-рациональным
функциям (так называемому обобщенному методу интервалов). Рассмотрим, например,
неравенство
( x  2) 2 ( x  4)
0
1 x
С точки зрения математического обоснования необязательными этапами его
( x  2) 2 ( x  4)
решения являются такие шаги: введение функции f ( x) 
; указание ее
1 x
области определения D( f )  (;1)  (1;  ) с объяснением, что «деление на нуль не
определено»; отдельное нахождение нулей функции х1 = 2, х2 = -4; словесное пояснение,
что функция f(x) сохраняет постоянный знак на каждом из промежутков
(;  4), (4;1), (1; 2) и (2;  ) , поскольку она непрерывна в каждой точке области
определения. И уж совсем неразумной является демонстрация проверки знака функции в
каждом из указанных промежутков непосредственной подстановкой в нее какого-либо
значения из этого промежутка.
Подобные объяснения свидетельствуют как раз о неумении выпускника решать
неравенства методом интервалов, суть которого заключается в исследовании знаков
функции f(x) посредством организованного, последовательного прохождения интервалов с
учетом четности степени кратных корней.
Рассмотрим еще оформление выпускником одиннадцатого класса решения
простейшего показательного, а также логарифмического неравенств, например таких:
2 x  4 и log2x > 4.
В методической литературе типичные пояснения к решению подобных неравенств
основаны на следующем замечании: функции y  2t и y  log 2 t являются возрастающими
на всей области определения, поскольку основание степени (логарифма) 2 > 1, поэтому
большее значение аргумента соответствует большему значению функции, значит, x > 2
для первого неравенства и x > 16 для второго.
Согласимся, что в процессе обучения школьника решению простейших
показательных и логарифмических неравенств такие пояснения вполне уместны. Но в
экзаменационной работе выпускник вовсе не обязан на каждом шаге демонстрировать
знание очевидных фактов, вроде того, что 2 > 1. Равносильный переход от неравенства
a x  a t (или log a x  log a t ) к неравенству х > t при а > 1 и к неравенству х < t при
0 < а < 1 следует признать изученным свойством показательной (логарифмической)
функции, не требующим дополнительных пояснений.
Указанный переход математически обусловлен равносильностью соответствующих
неравенств, а методически — очевидной простотой делаемого заключения. Логически
этот шаг не более затруднителен и не менее шаблонен, чем, скажем, переход от уравнения
1

к его решению x  (1) n  n, n  Z или от уравнения x 2  1  0 к совокупности
2
6
равенств
x  1
 x  1,

которые в своем обосновании также предполагают изучение свойств соответствующих
функций; однако ведь ни в том, ни в другом случае обычно не требуют обязательных
комментариев, опирающихся на свойства функций.
1
Заметим, кстати, что в случае уравнения sin x 
решение, записанное не по
2
общей формуле, а в каком-нибудь менее привычном виде, например,
7

 x   6   2n

 x  13   2n, n  Z ,

6
также следует считать правильным - просто потому, что объективно оно не содержит
математической ошибки, хотя, быть может, и не удовлетворяет чьему-либо эстетическому
вкусу.
По поводу уравнения x 2  1  0 заметим, что в ученической экзаменационной
работе нередко можно прочитать предваряющую окончательный ответ строку: х2 = 1.
Бесспорно, в переносе единицы в правую часть равенства нет ошибки, требующей
снижения экзаменационной оценки: ученик может держать в голове, например,
графическое решение, представляя себе точки пересечения параболы у = х2 с прямой у = 1,
или мысленно извлечь квадратный корень из обеих частей равенства х2 = 1, перейдя к
равенству |х| = 1, и т.п. Но все же, на наш взгляд, прибавление единицы к обеим частям
уравнения x 2  1  0 содержит определенный логический недочет, свидетельствующий о
недостаточном понимании школьником общей идеи решения алгебраического уравнения
f(х) = 0 с помощью разложения на множители его левой части.
При записи решений иррациональных уравнений вида f ( x)  g ( x) в некоторых
методических пособиях допускается переход к следующей строке f(х) = g2(х) без всяких
пояснений, требуется лишь в конце решения сделать проверку найденных корней. Это
логическая ошибка - пробел в решении. Всякое нарушение равносильности непременно
требует определенных объяснений, восполняющих ее. В результате подобной практики
получается, что ученик, нарушая равносильность преобразований, не испытывает
никакого желания как-то «прикрыть» утраченную равносильность объяснением своих
действий. Это может означать только то, что он или вовсе не понимает, что такое
равносильность, или не понимает, почему она нарушена в данном преобразовании. Вместе
с тем, — в тех случаях, когда равносильность переходов действительно имеет место, — он
приобретает навык зачем-то постоянно оправдываться, поясняя очевидные истины,
например, что 2 > 1, x 2  0 , | sin x |  1 и т.п.
Вернемся к комментарию к решению простейшего показательного неравенства,
типа 2х > 4, ставшему чуть ли не образцом экзаменационного оформления решения:
«Функция у = 2t является возрастающей, следовательно, большее значение аргумента
соответствует большему значению функции». Строго говоря, эта фраза некорректна. Ибо
по определению функция является возрастающей на некотором промежутке, если
большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение
функции. Обратное же утверждение - о том, что при этом большему значению функции
соответствует большее значение аргумента, — доказывается как теорема, и после этого
уже надлежит говорить не о следствии неравенства х > 2 из неравенства 2х > 4, а о
sin x 
равносильности (эквивалентности) этих неравенств. Так что, если уж кому-то хочется
пояснить данный логический переход от одного неравенства к другому, делать это нужно
грамотно - указывая на их равносильность.
Подчеркнем, что сделанное замечание отнюдь не является какой-то мелкой
придиркой к фразе. В каком-нибудь ином, нематематическом (например, бытовом)
контексте, наверное, не следует так цепляться к словам. Однако здесь совсем иное дело.
Например, из неравенства x  10  0 следует, что х > 1, но ведь второе неравенство не
может служить решением первого, поскольку нет обратного следствия (нет
равносильности).
Заметим, что знак равносильности (  ) в действующих школьных учебниках
математики практически не используется, но в тех случаях, когда подразумевается, он, как
правило, заменяется запятой и переходом к следующей строке. Несмотря на это
методические пособия, ориентирующие школьника на правильное оформление
экзаменационной работы, широко употребляют знак равносильности. На экзамене
школьник может использовать его или нет (по своему усмотрению), главное, чтобы он
отслеживал равносильность самих преобразований. Однако авторам рекомендаций по
выполнению экзаменационных работ все же следует следить за аккуратностью
применения этого знака: он не должен появляться спонтанно, вся работа должна
оформляться в едином стиле, едином орфографическом режиме.
Рассмотрим другой пример не вполне удачного логического перехода.
При объяснении решения уравнения
log 2,1 16  5x  log 2,1 (2 x  5)
в методической литературе предлагается воспользоваться условием равенства
логарифмов:
« log a f ( x)  log a  ( x) , если
 f ( x)   ( x)
 f ( x)   ( x)
или 
».

 ( x)  0
 f ( x)  0
Приведенная запись недвусмысленно утверждает, что совокупность двух систем
имеет следствием равенство логарифмов указанных функций Однако подразумевается
совершенно иное: приведенное равенство логарифмов функций равносильно любой из
названных систем.
Здесь имеет место не только смешение причины со следствием, но и неудачное
использование связки «или». С точки зрения грамматики русского языка, употребление
союза «или» в приведенной фразе вполне допустимо. Однако в математической логике за
этим союзом закреплен конкретный, весьма специфический смысл логической операции
«дизъюнкции» или «логического сложения». В школьной практике ученик имеет
стереотип, когда, скажем, одно сложное уравнение распадается на совокупность
нескольких простых, соединенных логической связкой «или»: в этом случае нужно
решать каждое уравнение совокупности. Поэтому употребление слова «или» в какомлибо ином, отличном от логического сложения, смысле в решениях школьных
математических задач чревато недоразумениями, и, следовательно, его лучше избегать в
методической литературе.
Вряд ли уместно полагать, что школьник должен свободно ориентироваться в
указанных логических тонкостях. Поэтому нужно освободить его от обязанности
комментировать в экзаменационной работе равносильные логические переходы, а также
иметь определенное снисхождение при ее оценивании к уровню строгости данного
учеником пояснения решения, коль скоро и методические указания грешат порой
неточностью изложения.
Приведем еще один пример не вполне обоснованного требования к ученической
работе, шаблонно переносимого из методической разработки по выполнению
письменного экзамена по алгебре.
Некоторые учителя считают, что если работа претендует на выставление отличной
оценки, то, например, при исследовании функции у = 2х2 + 1 она непременно должна
содержать пояснение, почему эта функция дифференцируема: она дифференцируема «как
целая рациональная функция». Отсутствие этих слов в экзаменационной работе ученика
признается отдельными учителями-методистами за логический изъян, за непонимание
основ дифференциального исчисления. Но при этом никто никогда не требует пояснять,
вследствие чего дифференцируемы, например, функции у = sin2x, у = ln (x + 5) и т.п.
Ожидать от школьника, по сути незнакомого с понятием предела, вразумительного
объяснения, на каком основании дифференцируема та или иная функция, просто
бессмысленно. Все «школьные» функции дифференцируемы почти во всех точках области
определения. И задача ученика вовсе не в том, чтобы рассуждать (все равно при этом
ничего не объясняя), почему функция дифференцируема, а в том, чтобы при исследовании
функции суметь правильно продифференцировать ее и найти критические точки, в
которых производная равна нулю или не существует.
Вообще, при выполнении экзаменационных заданий многие комментарии,
подобные фразе «данная функция дифференцируема как целая рациональная функция»,
следует признать не необходимыми элементами решения, а дополнительными,
необязательными пояснениями, внешне облегчающими восприятие работы.
К таким факультативным пояснениям относятся, во-первых, различные
предварительные замечания: «исследуем данную функцию при помощи производной»,
«воспользуемся формулой понижения степени для косинуса», «применим алгоритм
нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке», «решим
неравенство методом интервалов» и пр. А во-вторых, формулировки известных
математических правил: «произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей
равен нулю, а другие при этом не теряют смысла», «значение арифметического
квадратного корня есть число неотрицательное» и т.п.
Использование подобных фраз в экзаменационной работе в целом отражает
математическую культуру выпускника, но в то же время не может быть строго
нормировано: одни люди изъясняются лаконично, другие привыкли выражать свои мысли
более пространно. И экзамен по математике не должен «стричь всех под одну гребенку»,
напротив, он должен дать возможность проявиться индивидуальным творческим
способностям выпускника.
Приведенные фразы предназначены для связи языка обычного человеческого
общения с языком математики. Поэтому они необходимы в учебной литературе, когда
язык математики пока только усваивается школьниками. Цель же экзамена иная применить уже освоенные знания в конкретной ситуации. И для достижения этой цели
необходимо научить школьника, какие фразы действительно служат элементами
математического обоснования решения, а какие являются лишь дополнительными
разъяснениями, делающими решение более понятным и общедоступным.
В нашу задачу не входило разбирать все аспекты требований к выполнению
экзаменационной работы. Присущий средней школе определенный консерватизм в
отношении методики преподавания математики и оформления ученических
экзаменационных работ имеет позитивный характер в той степени, которая способствует
защите школьного математического образования от не всегда грамотного чьего-либо
«авторского» понимания проблем школьного обучения математике.
Вместе с тем, иной раз приходится отмечать некритическое, шаблонное
применение в целом правильных методических рекомендаций к конкретной ученической
работе, когда уже проверяется не правильность математического решения задачи
выпускником школы, а следование некоторому методическому трафарету. Такое
формальное проецирование методических штампов на каждую ученическую работу
далеко не всегда оправдано. И случается, что ученик, на отлично сдавший школьный
выпускной экзамен, оказывается не способным выдержать экзамен по математике даже в
вуз, в котором математика не является профилирующим предметом. В то время как
ученик, получивший на выпускном экзамене «четверку» из-за нежелания записывать
шаблонные фразы, несущественные с точки зрения математического обоснования
решения, блестяще сдает конкурсный экзамен в лучшие вузы. Школьное математическое
образование есть часть общего, высшего математического образования. И несмотря на то,
что образование и наука у нас подчинены сейчас одному ведомству, подлинной
преемственности между средней и высшей школой, по крайней мере, в математическом
образовании, еще нет. Установление единых требований к экзамену по математике —
выпускному и вступительному — задача весьма актуальная, и роль вуза в ее решении
должна быть отнюдь не последней.