Ассоциативный способ сопоставления с двумерным образцом

Ассоциативный способ сопоставления с двумерным образцом
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначим через А конечный алфавит, через М множество имен, имеющее
мощность не более счетной.
Определение 1. Пара (символ алфавита, имя) называется клеткой и
обозначается (a, m)  A  M . Символ a называется состоянием клетки, m – именем
клетки.
Определение 2. Множество клеток W  A  M , в котором нет двух клеток с
одинаковыми именами, называется клеточным множеством.
Определение 3. Конечное клеточное множество W = { (a 1 , m1 ) , (a 2 , m 2 ) , …,
(a n , m n ) } называется словом.
Слово можно представить в наглядной геометрической форме, если
множество имен M интерпретировать точками пространства. Слово W = { (a,1) ,
(b,1) , (a ,2) , (b,3) } имеет линейную форму и располагается в одномерной
целочисленной решетке. Имена клеток являются координатами узлов этой решетки,
а узлы помечены символами алфавита А – состояниями клеток. Слово W =
{ (a,  2,2 ) , (b,  2,3 ) , (c,  3,3 ) , (c,  3,4 ) } располагается в двумерной решетке,
как показано на рис. 1.
y
d
4
3
b
2
a
c
1
1
2
3
x
Рис. 1. Пример двумерного слова.
Далее слова будем представлять помещенными в целочисленную
прямоугольную решетку размерности n, n = 1, 2, …. Тогда множество имен можно
представить в виде M = N n , где N = {1, 2, …}.
Определение 4. Два слова Wi и Wj пересекаются, если в них есть одинаковые
клетки (с одинаковыми именами и состояниями) и множество Wi  Wj является
словом.
Определение 5. Два слова Wi и Wj равны, если для каждой клетки слова Wi
найдется точно такая же клетка в слове Wj и слова Wi и Wj состоят из одинакового
количества клеток.
Определение 6. Слово Wi входит в слово Wj , если для каждой клетки слова
Wi найдется точно такая же клетка в слове Wj и слово Wi состоит из такого
количества клеток, что оно меньше или равно количеству клеток в слове Wj .
Определение 7. Процесс поиска вхождений слова Wi в слове Wj называется
сопоставлением. Поиск всех непересекающихся вхождений слова Wi в слове Wj
называется глобальным сопоставлением.
Для формулирования задачи сопоставления с двумерным образцом шаблон
представим в виде списка клеток в локальной прямоугольной системе координат
V = { (a 1 ,  x 1 , y1 ) , (a 2 ,  x 2 , y 2 ) , …, (a d ,  x d , y d ) }, где a i  A (i = 1, d ),
обрабатываемое слово представим перечислением P  R клеток прямоугольной
матрицы
W = { (b1,1 ,  1,1 ) , (b 2,1 ,  2,1 ) , …, (b p ,1 ,  p,1 ) ,
(b1, 2 ,  1,2 ) , (b 2, 2 ,  2,2 ) , …, (b p , 2 ,  p,2 ) ,
….,
(b1,r ,  1, r ) , (b 2,r ,  2, r ) , …, (b p ,r ,  p, r ) }, где a i , j  A (i = 1, p , j = 1, r ).
Задача сопоставления образца V и слова W состоит в поиске
двухкоординатных позиций вхождения V в слово W.
Будем называть буквы (a i ,  x i , y i ) образца V, координаты y i которых
равны, столбцом образца, буквы (a j ,  x j , y j ) образца V, координаты x j которых
равны, строкой.
Обозначим через m – максимальный индекс столбца образца, через n –
максимальный индекс строки образца, количество букв образца в j-й строке через f j ,
количество букв образца в i-м столбце через g i , максимальный индекс буквы
образца в j-й строке через x max
, минимальный индекс в j-й строке через x min
,
j
j
максимальный индекс буквы образца в i-ом столбце через yimax , минимальный
индекс в i-м столбце через y imin .
Введенные обозначения рассмотрим для образца V = { (b,  1,1 ) , (b,  2,1 ) ,
(c,  3,1 ) , (d,  2,2 ) , (a,  3,2 ) , (a,  2,3 ) , (a ,  3,3 ) }, изображенного на рис. 2.
1
2
3
b
b
c
2
d
a
3
a
a
1
x
y
Рис. 2. Пример двумерного образца V в локальной
прямоугольной системе координат
Для двумерного образца V: n = 3, m = 3, f 1 =3, f 2 =2, f 3 =2, g 1 =1, g 2 =3, g 3 =3,
=2, x max
=3, x 3min =2, x 3max =3, y1min =1, y1max =1, y min
=1, y max
=3, y 3min =1,
x1min =1, x1max =3, x min
2
2
2
2
y3max =3.
Также мы будем полагать, что существует способ получения буквы образца
(обрабатываемого слова) по координатам x, y, и будем рассматривать образцы,
столбцы (строки) которых представляют собой слова, не содержащие пробелов.
2. ПРЯМОЙ ПОДХОД К СОПОСТАВЛЕНИЮ
Поиск вхождения двумерного образца начинается с сопоставления
обрабатываемого слова с 1-й строкой образца. При успешном результате
сопоставления необходимо сопоставить 2-ю строку образца с соответствующей
подстрокой следующей строки обрабатываемого слова и т.д., пока не будут успешно
сопоставлены все строки образца или не будет достигнут конец строки
обрабатываемого слова. При обнаружении отвергающего символа (символ образца
называется отвергающим, если в процессе сопоставления он не совпал с очередным
символом обрабатываемого слова; с тем же основанием отвергающим называется и
соответствующий символ обрабатываемого слова) процесс сопоставления с
двумерным образцом снова начинается с поиска вхождения 1-й строки образца в
позиции на единицу большей позиции обнаружения частичного вхождения. Если
вхождение образца при просмотре слова слева направо обнаружить не удалось,
выполняется поиск вхождения образца со следующей строки слова и т. д., пока не
будет обнаружено вхождение или не будет достигнута последняя строка
обрабатываемого слова.
При каждой новой итерации построчного сопоставления образца с
соответствующими буквами обрабатываемого слова сравниваются не более
n
f
j1
j
символов, так что суммарное количество проверок при сканировании образца в
горизонтальном направлении относительно одной фиксированной строки
n
обрабатываемого слова не превосходит (p  m  1)   f j . Тогда общее количество
j1
проверок при сканировании образца в горизонтальном направлении по всем строкам
n
обрабатываемого слова не превосходит (r  n  1)(p  m  1)   f j . Количество
j1
сравнений максимально, когда отвергающим символом является буква образца с
координатами (m, y max
.
m )
Однако на практике подобные ситуации встречаются редко. Средняя
n
эффективность равна O(r  p   f j ) , так как отвергающие символы, как правило,
j1
приходятся не на последнюю букву последней строки образца, а гораздо раньше.
Очевидно, что реальная эффективность прямого подхода к сопоставлению зависит
от реальных свойств – как двумерного образца, так и обрабатываемого слова.
Алгоритм, реализующий прямой подход, приведен на рис. 3.
j := 1;
t := 1;
sb := 0;
tb := 0;
while ( (tb <= r – n) и (sb <= p - m) ) {
while ((sb <= p - m) и (j <= n) ) {
i = Xminj;
s = sb + i
while ( i <= Xmaxj ) {
if (A(i, j) == B(s, t) ) {
i := i + 1;
s := s + 1;
} else { // несовпадение
sb := sb + 1;
j := 1;
continue 2; // Продолжаем внешний цикл
}
}
j := j + 1;
t := t + 1;
}
if (j > n) { // проверка успешности сопоставления
// Область вхождения (sb+1, tb+1)-(sb+1+m, tb+1+n)
break;
}
j := 1;
sb := 0;
tb := tb + 1;
}
достижении
Прежде чем перейти к рассмотрению
В предлагаемом алгоритме образец движется вдоль прямоугольной матрицы
обрабатываемого слова слева направо до ее правой границы, однако фактическое
сравнение символов выполняется начиная с букв самого правого столбца образца.
При успешном сопоставлении букв образца самого правого столбца в порядке снизу
вверх выполняется сопоставление предыдущего столбца снизу вверх и т.д. При
достижении правой границы обрабатываемого слова процесс сканирования
рестартует с левой границы слова и со смещением на одну строку вниз.
Первыми таким образом сравниваются символы A(m, Ymmax ) и B(s+m,t+ Ymmax ). Если
они не совпадают и B(s+m,t+ Ymmax ) не встречается среди букв Ymmax строки образца,
то можно сдвинуть образец по горизонтали на ( X max
- X min
) позиций вправо, т.к.
Y
Y
max
m
max
m
можно быть уверенным, что ни одна из начинающихся с одной из первых ( X max
Y
max
m
) позиций подстрок (t+ Ymmax ) строки обрабатываемого слова не совпадает с Ymmax
X min
Y
max
m
строкой образца.
Следующими сравниваются A(m, Ymmax ) и B(s+fm+m,t+ Ymmax ).
При обнаружении отвергающих символов A(m, j), где Ymmin <= j <= Ymmax и B(s+m,t+j),
и при отсутствии среди букв j строки образца буквы B(s+m,t+j), образец сдвигается
по горизонтали на f j позиций вправо.
Пусть отвергающими оказались символы A(m, Ymmax ) и B(k,l). Как уже говорилось,
если B(k,l) не содержится нигде в Ymmax строке образца, шаблон можно сдвинуть на
f Ymmax позиций вправо. С другой стороны, если B(k,l) присутствует в образце, и A(mv, Ymmax ) – его самое правое вхождение в Ymmax строке, то образец можно сдвинуть
лишь на v позиций вправо, совмещая A(m-v, Ymmax ) с B(k,l). Поиск можно
продолжить сравнением A(m, Ymmax ) с B(k+v,l), то есть индекс отвечающий за
движение в горизонтальном направлении по обрабатываемому слову увеличиваем
на v.
Если A(m, Ymmax ) и B(k,l) совпадают, нужно сравнивать все символы в m столбце
образца и с соответствующими символами k столбца обрабатываемого слова, пока
весь подстолбец обрабатываемого слова не будет сопоставлен со столбцом образца
или пока не встретится несовпадение. Когда вхождение m столбца будет
определено, необходимо перейти к сопоставлению m-1 столбца образца с
соответствующими символами k-1 столбца обрабатываемого слова и т.д.
Если отвергающим оказался, скажем, символ A(i, j), то мы знаем, что суффикс j-й
строки образца A(i+1,j)… A(Xmaxj,j) равен подстроке обрабатываемого слова B(kXmaxj +i+1, l)… B(k, l), и A(i, j) не равен B(k- Xmaxj +i, l). Теперь, если самым
правым вхождением B(k- Xmaxj +i, l) в j строку образца снова является, скажем,
A(Xmaxj -v, j), образец можно сдвинуть по горизонтали на i- Xmaxj +v символов
вправо, так что A(Xmaxj -v, j) окажется на одной позиции с B(k- Xmaxj +i, l).
Процедуру поиска следует продолжить сравнением A(m, Ymmax ) с соответствующим
символом, в данном случае с B(k + i- Xmaxj +v, l). Приращение индекса
отвечающего за движение в горизонтальном направлении по обрабатываемому
слову с позиции несовпадения до следующей пробной позиции равно, таким
образом, (k + i- Xmaxj +v)-( k- Xmaxj +i) = v. Заметим, что приращение тоже, что и в
случае обнаружения отвергающего символа в самом правом столбце образца.
Если A(Xmaxj -v, j) находится правее A(i, j), то значение i- Xmaxj +v отрицательно и
совмещение A(Xmaxj -v, j) с B(k + i- Xmaxj +v, l) оказывается излишним, поскольку
повлечет за собой шаг назад. В этих обстоятельствах образец лучше сдвинуть на
одно место вправо и сравнивать A(m, Ymmax ) с B(k+1, l). Для этого следует увеличить
индекс отвечающий за движение в горизонтальном направлении по
обрабатываемому слову на (k+1)-( k- Xmaxj +i) = Xmaxj +1-i.
Приращения v, используемые для перемещения по обрабатываемому слову в
горизонтальном направлении, вычисляются заранее для каждой строки образца
отдельно и хранятся в таблицах delta[n]. В процессе поиска доступ к таблице j
строке образца delta[j] осуществляется по отвергающим символам обрабатываемого
слова, поэтому размер каждой таблицы равен мощности используемого алфавит
символов.
При формировании таблицы delta[j] вход для символа w равен fj-i, где A(i, j) – самое
правое вхождение w в j строку образца, и равен fj, если w не содержится в j строке
образца, то есть:
delta[j][w] = min {v : v = fj или (0 <=v < fj и A(Xmaxj-v, j) = w)}
Таблица delta[j] для алфавита ОМЕГА инициализируется следующим образом:
for j = 1 to n do
for w = 1 to ОМЕГА
delta[j][w] = fj
for j = 1 to n do
for i = Xminj to Xmaxj
delta[j][A(i, j)] = Xmaxj – i
Отсюда видно, что время инициализации n таблиц delta равно O(n(ОМЕГА+fj)).
Проиллюстрируем работу одной таблицы delta для строки образца x = ABCDB.
w A B C D E F G H ...
delta[w] 4 0 2 1 5 5 5 5 ...
Несовпадение возникает при yi = A
x - образец A B C D B
y - текст . . . L M N A B C D B . . .
i
Следующими сравниваются символы xm и yi+skip[A], то есть yi+4.
образец
текст
A B C D B
. . . L M N A B C D B . . .
i
i+4
Ниже приведен алгоритм сопоставления двумерного образца с прямоугольной
матрицей символов – обрабатываемое слово.
i = m;
s = m;
tb := 0; // Глоб. индекс смещения в верт.направлении по обрабатываемому слову
while ( tb <= r - n ) {
while ( (s >0) и (i > 0) и (s <= p) ) {
j = Ymaxi;
t = tb + j
// сканирование i столбца образца в направлении снизу вверх
while ( (t > 0) и (j >= Ymini) ) {
if (A(i, j) == B(s, t) ) {
j: = j – 1;
t:= t – 1;
} else { // несовпадение
if (i > delta[j][B(s, t)] ) {
s := fj+1-i;
} else {
s := s + delta[j][B(s, t)];
}
i = m;
continue 2; // Продолжаем внешний цикл
}
}
// Переход к сканированию предыдущего столбца образца
i := i –1;
s := s – 1;
}
if ( i < 1 ) { // Проверка успешности сопоставления
// Область вхождения (s+1, tb+1)-(s+1+m, tb+1+n)
break;
}
// Переход к следующей строке сканирования обрабатываемого слова
i := m;
s := m;
tb := tb + 1;
}