по математике

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
ЗИМНЕГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ДЛЯ ПЕРЕВОДНИКОВ И ВОССТАНАВЛИВАЮЩИХСЯ
I. Для поступающих на первый курс, второй семестр.
1. Предел числовой последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
Частичный предел последовательности, теорема Больцано—Вейерштрасса.
2. Предел функции одной действительной переменной по Коши и Гейне. Критерий
Коши существования предела функции. Непрерывность функции в точке, разрывы
функции в точке первого и второго рода. Свойства непрерывной на отрезке функции,
теоремы Вейерштрасса и Больцано—Коши. Теорема об обратной функции.
3. Дифференцируемость функции одной действительной переменной. Теоремы дифференциального исчисления — производная суммы, произведения, частного, суперпозиции дифференцируемых функций. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
4. Производные высших порядков. Формула Лейбница для n–ой производной произведения двух функций. Разложение функции по формуле Тейлора с остаточными
членами в форме Пеано и Лагранжа. Вычисление пределов функций с помощью
формулы Тейлора. Правило Лопиталя.
5. Исследование функций одной действительной переменной. Дифференциальные критерии монотонности и выпуклости вверх или вниз на промежутке. Необходимые и
достаточные условия локального экстремума.
6. Векторы в трёхмерном пространстве. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Координатное представление векторов в базисе. Матрица перехода от
одного базиса к другому и формула преобразования координат вектора при замене
базиса.
7. Гладкие кривые в трёхмерном пространстве. Натуральный параметр кривой, касательная и нормаль к кривой. Кривизна гладкой кривой и её вычисление.
8. Аффинные преобразования плоскости. Формула изменения площади параллелограмма при аффинном преобразовании. Неподвижные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования.
II. Для поступающих на второй курс, четвёртый семестр.
1. Предел, непрерывность и дифференцируемость в точке функции нескольких действительных переменных. Связь дифференцируемости с существованием частных произ2
2
водных. Теорема о равенстве частных производных ∂x∂ ∂y f (x, y) и ∂y∂ ∂x f (x, y).
2. Необходимые и достаточные условия локального безусловного экстремума функции
нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных на множестве, заданном конечным
набором ограничений равенств.
1
3. Определённый интеграл Римана функции одной действительной переменной на отрезке. Критерий интегрируемости Дарбу. Достаточные условия интегрируемости.
Теорема о замене переменной в определённом интеграле. Формула Ньютона—Лейбница.
4. Несобственный интеграл Римана функции одной действительной переменной по конечному или бесконечному промежутку. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения сходимости несобственного интеграла от
знакопостоянной функции. Критерий Коши и признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.
5. Числовые ряды, критерий Коши сходимости числового ряда. Абсолютно и условно
сходящиеся ряды. Признаки сравнения, интегральный признак, признаки Даламбера
и Коши сходимости знакопостоянных рядов. Признаки Лейбница и Дирихле сходимости знакопеременного ряда.
6. Функциональные ряды, равномерная сходимость функционального ряда на множестве. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Теоремы о дифференцируемости и интегрируемости суммы функционального ряда.
7. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда, формула Коши—Адамара. Первая и вторая теоремы Абеля. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного
ряда внутри интервала сходимости. Теорема о разложение функции одной действительной переменной в степенной ряд Тейлора.
8. Кратный интеграл Римана функции нескольких действительных переменных. Теорема о сведении кратного интеграла к повторному. Теорема о замене переменной в
кратном интеграле Римана. Формула Грина. Поверхностные интегралы первого и
второго рода. Формулы Гаусса—Остроградского и Стокса.
9. Детерминант матрицы и его свойства. Ранг матрицы. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Теоремы
Кронеккера—Капелли и Фредгольма. Общее решение системы линейных уравнений.
10. Конечномерное линейное (векторное) пространство, базис и координаты векторов.
Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения конечномерных линейных пространств, матрица линейного отображения. Ядро
и множество значений линеного отображения, теорема о связи их размерностей.
11. Линейные преобразования конечномерного линейного простаранства. Собственные
числа и собственные векторы линейного преобразования. Теорема о размерности собственного подпространства линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным числам.
12. Конечномерные евклидовы пространства. Матрица Грама базиса евклидова пространства и её свойства. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
13. Линейное преобразование евклидова пространства и сопряжённое к нему. Теорема
Фредгольма о связи множества значений линейного преобразования и ядра его сопряжённого. Самосопряжённое линейное преобразование и существование ортогонального базиса из его собственных векторов.
2
14. Билинейные и квадратичные формы в конечномерном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и формула её преобразования при замене базиса. Привидение квадратичной формы к диагональному виду. Закон инерции квадратичных форм.
Положительно определённые квадратичные формы, критерий Сильвестра.
15. Обыкновенные дифференцальные уравнения. Методы решения уравнений первого
порядка — разделение переменных, интегрирующий множитель. Методы понижения
порядка обыкновенных дифференциальных уравнений.
16. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами n–го порядка и их общее решение. Система линейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Фундаментальная система решений, матричная экспонента.
III. Для поступающих на третий курс, шестой семестр.
1. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема о поточечной сходимости рядов Фурье.
Теорема Римана об осцилляци. Теорема о скорости стремления коэффициентов Фурье к нулю. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье.
2. Сумма Фейера. Теорема о равномерном приближении непрерывной 2π–периодической
функции тригонометрическим многочленом. Теорема Вейерштрасса о равномерном
приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом.
3. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых с квадратом функций. Теорема о
сходимости ряда Фурье в среднем квадратическом. Равенство Парсеваля.
4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости по параметру несобственного интеграла.
5. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на числовой оси функции. Теорема
об обратном преобразовании Фурье. Дифференцируемость преобразование Фурье и
преобразование Фурье производной.
6. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Теорема о существовании единственного решения задачи Коши. Теорема о непрерывной зависимости
решения задачи Коши от начальных данных.
7. Простейшая вариационная задача с закреплҷнными концами или со свободным концом. Слабый локальный минимум в вариационной задаче. Необходимое условие слабого минимума, уравнение Эйлера.
8. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Теорема существования независимых первых интегралов. Представление
общего решения через независимые первые интегралы.
9. Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений, определитель Вронского и формула Лиувилля.
10. Дифференцируемость комплексной функции одного комплексного переменного. Условия Коши—Римана. Регулярные функции. Интегральная теорема и интегральная
формула Коши. Представление регулярной в круге функции степенным рядом Тейлора.
3
11. Изолированные особые точки комплексной функции и их классификация. Ряд Лорана. Представление регулярной в кольце функции рядом Лорана.
12. Понятие вычета в изолированной особой точке комплексной функции. Представление
вычета коэффициентом разложения функции в ряд Лорана. Интегральная теорема
Коши о вычетах. Вычисление комплексных и вещественных интегралов с помощью
вычетов.
4