Конспект урока «Решение иррациональных уравнений» Определение: содержит неизвестное под знаком корня.

Конспект урока «Решение иррациональных уравнений»
Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, которое
содержит неизвестное под знаком корня.
Виды иррациональных уравнений:
1. f(x)=m, если m<0,то решения нет,если m>0,то f(x)=m2
2. уравнение
равносильно системе:
Пример: Решим уравнение:
.
Перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.
,
Неравеству
удовлетворяет только корень
Ответ: x=1
Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно
помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной
системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное
уравнение
Теорема 1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень приводит к
уравнению, равносильному данному
f ( x)  g ( x)  ( f ( x)) 2n1  ( g ( x)) 2 n1
Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается
уравнение, являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление
посторонних корней.
2n
2n
f ( x)   ( x)   f ( x)   ( x)
При использовании этой теоремы проверка обязательна! Если корни иррационального
уравнения иррациональные числа, то проверка неудобна, и поэтому лучше решать уравнения,
используя условия равносильности.
Теорема 3.
 ( x)  0
а) 2 n f ( x)   ( x)  
2n
 f ( x)  ( ( x))
 f ( x)   ( x)

б) 2n f ( x)  2n  ( x)   f ( x)  0
 ( x)  0

Во всех остальных случаях начинаем с условия существования корней.
Пример.
√5 − 𝑥 − √5 + 𝑥=2
5−𝑥 ≥0
* {
5+𝑥 ≥0
-5≤ x ≤ 5
√5 − 𝑥 =√5 + 𝑥 +2
(√5 − 𝑥)2 =(√5 + 𝑥 +2)2
5 –x = 5+x +4√5 + 𝑥 +4
4√5 + 𝑥 = -2x -4
{
−2𝑥 − 4 ≥ 0
4(5 + 𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
{
−5 ≤ 𝑥 ≤ −2
𝑥 2 = 16
𝑥=4
[
𝑥 = −4
𝑥 = −4
−5 ≤ 𝑥 ≤ 5
Ответ: -4.
{
Домашнее задание: §5стр.193, №54, 56,58,61.
Не решая уравнений, объяснить, почему каждое из них не имеет решений:
а) 2 x  1  2
б)
x5  x6  0
в)
x  3  x  2  3
г)
x  2 x  10  3
II. Задания по карточкам
На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы
решения этих уравнений.
I тип. Уравнения, содержащие одинаковые радикалы.
1)
x 2  x  3  1  2x
2)
5 x  1  3x  19  0
8  5 x  x 2  16
3)
Метод решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат).
II тип. В левой части уравнения – произведение корней, а в правой – выражение с переменной
или положительное число.
x 1  x  4  6
1)
2)
x  1  2x  6  x  3
x  2 5 x  2
3)
Метод решения: возведение обеих частей уравнения в квадрат при условии, что правая
часть положительна.
III тип. Обе части уравнения содержат одинаковые множители.
1)
( x  3) x 2  5 x  4  2 x  6
2)
( x  1) x 2  x  2  2 x  2
3)
( x  2) 16 x  33  ( x  2)(8x  15)
Метод решения: общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства
нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.
IV тип.
1)
2)
x 2  x 2  2 x  8  12  2 x
3x 2  2 x  15  3x 2  2 x  8  7
3)
3x 2  x 2  5  3x  5  9 x
Метод решения: введение новой переменной.
V тип.
1)
x  2  2 x 1  x  2  2 x 1  2
2)
x  5  4 x 1  x  2  2 x 1  1
Метод решения: выделение полного квадрата в подкоренном выражении.
VI тип.
2x  3  4x  1  4
Метод решения: возведение в квадрат, учитывая ОДЗ.
VII тип.
1  4x  x 2  x  1
Метод решения: возведение в квадрат, учитывая, что правая часть неотрицательна.
VIII тип.
3
x  7  3 x 1  2
1)
3
15  2 x  3 13  2 x  4
2)
Метод решения: введение новой переменной или применение формулы сокращенного
умножения.
IX тип.
( x  1  1)  ( x  10  4)  x
Метод решения: иррациональное уравнение можно упростить, умножив обе части
уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение.
X тип.
10 x 2  2 x  1  3x 2 x  1  0
Метод решения: делим данное уравнение на x 2  0 , т.к. x = 0 не является корнем данного
уравнения, затем введем новую переменную.
XI тип.
2 x 2  x  1  x 2  x  2  x 2  3x  4
Метод решения: подкоренное выражение разлагаем на множители, причем один из
множителей у них общий.
XII тип.
3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14  4  2 x  x 2
Метод решения: метод оценки.
III. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен»
Решим следующие уравнения.
С17. x  2  ( x  2  2)  ( 2 x  2  1)
Указание. Умножим обе части уравнения на выражение
корнем данного уравнения.
x  2  2 , т.к. x = 2 не является
С18. 4 10  x 2  x  4 7  x 2  x  3
Указание. Используем формулу
(a  b) 4  a 4  b 4  4ab(a  b) 2  2a 2 b 2
С29.
3  x  1 x
3  x  1 x

2
x 1
Указание. Умножим числитель и знаменатель левой части на
x 2  30 x  97
8 x3
x7
Указание. Привести уравнение к виду:
С58.
(( x  7)  4 x  3) 2  0
3  x  1 x .