РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ Согласно квантовомеханическим представлениям, для определения среднего значения любой физической величины, характеризующей состояние системы, необходимо знание ее волновой функции. Молекулы и многоэлектронные атомы являются сложными системами, поэтому для определения их собственных волновых функций в качестве исходных используются собственные функции простейшей системы – водородоподобных атомов. С этой точки зрения изучение теории водородоподобных атомов имеет принципиальное значение. Водородоподобные атомы – это система состоящая из 2-х частиц: ядра с зарядом +Ze и массой М и электрона, с зарядом –е и массой m, движущегося вокруг ядра. Z – порядковый номер атома. Для случая Z 1, мы имеем атом водорода. Z 2, He - однократно ионизированный атом гелия, Z 3, Li - двукратно ионизированный атом – лития, Z 4, Be - трехкратно ионизированный атом – бериллия. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме определяется следующей формулой Ze 2 U r ( 1) Известно, что масса электрона намного меньше массы ядра m M : Для водорода, это примерно M 2000 . В таком случае можно считать, m что центр масс рассматриваемой системы находится на ядре и электрон вращается вокруг неподвижного ядра. Учет движения ядра вносит небольшие изменения в расчеты. В этом случае вместо массы электрона m, должна рассматриваться приведенная масса mM . mM Однако, если мы перепишем эту учитывая, что m M , формулу следующим образом, mM m m , то с большой степенью mM m M точности можно считать, что µ ≈ m . Запишем уравнение Шредингера для электрона, движущегося в центральном поле ядра: Hˆ E (2) h 2 2 Ze 2 ˆ H 2m r (3) h 2 2 Ze 2 2m r x, y, z E x, y, z (4) Как известно, атом сферически симметричен, поэтому целесообразно перейти от декартовых координат к сферическим, т.е. x, y, z r , , Для этого, мы помещаем рассматриваемую систему (атом) в систему координат, таким образом, чтобы начало координат находилось на ядре. Связь между декартовыми и сферическими координатами можно выразить с помощью следующих соотношений: x r sin cos y r sin sin z r cos 0r 0 0 2 (5) Перепишем уравнение Шредингера в следующем виде: 2 2m Ze 2 r , , 0 2 E r 1 2 1 1 2 2 r sin r 2 sin 2 2 r r r r 2 sin 2 (6) (7) Напишем уравнение Шредингера в сферических координатах: 1 2 1 1 2 r , , sin 2 2 2 r r r 2 2 r r sin r sin (8) 2 2m Ze r , , 0 2 E r Уравнение (8) содержит 3 неизвестных параметра, поэтому для его решения используют метод разделения переменных. Функция r , , ищется в следующем виде: r , , R(r )Y , (9) Y , ( ) Если подставить (9) в (8), то уравнение (8) делится на 3 уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной. Решение этих уравнение дает для энергии электрона водородоподобного атома выражение: mZ 2e 4 E 2 2 2 n (10) А для волновой функции электрона: nlm r , , R n (r )Ylm , (11) Здесь Rn (r ) – радиальная часть волновой функции. 2Z n 1! nao 2Z Rn (r ) e 3 na 2 n ! o nao 3 Ym , Ym , -угловая Zr 1 2 m 2Z r L2n1 nao r (12) cos e im часть (13) волновой функции электрона водородоподобного атома. 1 m cos m x 2 m E 2 2 1 m ! 1 x2 2 m ! 1k 2 2k ! X m 2 k k! k ! m 2k ! k 0 m 2 (14) В выражении (14), при полученном значении верхнего предела суммы m , берется только значение целой части, например: E 2 1 E 0 2 3 E 1 2 5 E 2 2 Как видно из выражения (13), функция Ym , является комплексной функцией. Однако, при расчете многих свойств молекул и атомов необходимо использование вещественных функций. Для этого выбираются такие комбинации комплексных сферических функций, чтобы полученные функции были бы вещественными. Вещественные сферические функции имеют следующий вид: S m , Функция 1 1 mo cos m , m0 sin m , m0 cos m m cos (15) - присоединенный полином Лежандра. L2n1 - присоединенный полином Лагерра. Волновые функции водородоподобных атомов нормированы ортогональны: 2 * 2 r , , Y r , , r dr sin d d nn mm n m n m oo o dV r 2 dr sindd * 2 R ( r ) R ( r ) r dr nn n n Y * m S m ( , )Ym ( , ) sin d d mm ( , ) S m ( , ) sin d d mm и По предложению характеризующую Малликена, волновую функцию nm , состояние электронов в атоме и соответствующую определенному набору квантовых чисел n, , m , принято называть атомной орбиталью (АО) Величины n, , m называются, соответственно, главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами. Следует отметить, что эти величины появляются в процессе решения уравнения Шредингера. Их возникновения с физической точки зрения связано с тем, что при движении электрона в центральном поле ядра, его полная энергия, момент импульса и проекция момента импульса на преимущественное направление сохраняются. Величины n, l, взаимно связаны и принимают следующие ml значения: n = 1, 2, 3,……..∞ l = 0, 1, 2,……(n-1) (всего n значений). ml = 0, 1, 2, 3,….. всего 2l +1 значений ) Полная энергия водородопобного атома зависит от главного квантового числа n Все состояния, кроме состояния с n =1, являются вырожденными, т.е. одному значению энергии соответствует несколько волновых функций, различающихся значениями квантовых чисел вырождения определяется следующим образом: n 1 f= l 0 (2l +1) = n2 l и ml . Кратность