ссылка для скачивания docx. файла Лекции №4

§7 Работа силы электростатического поля при перемещении заряда.
Потенциальный характер сил поля.
Циркуляция вектора напряженности
Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое зарядом q. Пусть в нем перемещается
пробный заряд q0. В любой точке поля на заряд q0 действует сила
F  F  er ,
де F
- модуль силы, er - орт радиус-вектора r , определяющего положение заряда q0
относительно заряда q. Так как сила меняется от точки к точке, то работу силы электростатического
поля запишем как работу переменной силы:
2
A12   Fer d ;
1
dr  d cos  ;
er  1;

er  d  1 d  cos   dr
2
 A12   Fdr  
1
r2
r1
qq0
qq0  1 
dr 
 
2
4 0 r
4 0  r 
r2
r1

qq0  1 1 
  .
4 0  r1 r2 
Ввиду того, что рассматривали перемещение заряда из точки 1 в точку 2 по произвольной
траектории, можно сделать вывод, что работа по перемещению точечного заряда в
электростатическом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным
положением заряда. Это свидетельствует о том, что электростатическое поле является
потенциальным, а сила Кулона – консервативной силой. Работа по перемещению заряда в таком поле
по замкнутому пути всегда рвана нулю.
F  qE ;
dA  F  d  q0 E  d ;
r2
r2
r1
r1
A   q0 E  d   q0 E  d
E - проекция E на направление контура ℓ.
Учтем, что работа по замкнутому пути равно нулю
q E
0
 d  0;
E
 d  0.
E
d
- ЦИРКУЛЯЦИЯ вектора напряженности.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля, взятая по произвольному
замкнутому контуру всегда равна нулю.
§7 Потенциал.
Связь между напряженностью и потенциалом.
Градиент потенциала.
Эквипотенциальные поверхности
Поскольку электростатическое поле является потенциальным работа по перемещению заряда
в таком поле может быть представлена, как разность потенциальных энергий заряда в начальной и
конечной точках пути. (Работа равна уменьшению потенциальной энергии, или изменению
потенциальной энергии, взятому со знаком минус.)
A  Wпот  W1  W2 
q0 q 1 q0 q 1

4 0 r1 4 0 r2
 Wпот 
q0 q 1
 const
4 0 r
Постоянную определяют из условия, что при удалении заряда q0 на бесконечность его
потенциальная энергия должна быть равна нулю.
Wпот 
q0 q 1
.
4 0 r
Различные пробные заряды q0i , помещенные в данную точку поля будут обладать в этой
точке различными потенциальными энергиями:
1
Wпот

q01q 1
q q 1
q q1
2
n
; Wпот
 02
 0n
… Wпот
4 0 r
4 0 r
4 0 r
Отношение Wпот i к величине пробного заряда q0i, помещенного в данную точку поля является
величиной постоянной для данной точки поля для всех пробных зарядов. Это отношение называется
ПОТЕНЦИАЛОМ.
ПОТЕНЦИАЛ – энергетическая характеристика электрического поля. ПОТЕНЦИАЛ
численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный
положительный заряд.

WПот
q

q0
4 0 r
WПот    q0 .

Работу по перемещению заряда можно представить в виде
A  WПот  W1  W2  q 1  2 
A  q 1  2  .
Потенциал измеряется в Вольтах
  
Дж
 В.
Кл
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ называются поверхности равного
потенциала (φ = const). Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна
нулю.
Связь между напряженностью E и потенциалом φ можно найти, исходя из того, что работу по
перемещению заряда q на элементарном отрезке dℓ можно представить как
dA  q  E  d
 E 
С другой стороны
dA  q 1  2   q
d
d
d
Ex  
d
;
d

;
x
Ey  

;
y
Ez  

.
z
 

 
d
E  iEx  jE y  kEz    i
j
k
;

y
z 
dr
 x
d
- градиент потенциала.
dr
E   grad ;
Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус.
Градиент потенциала показывает, как меняется потенциал на единицу длины. Градиент
перпендикулярен функции и направлен в сторону возрастания функции. Следовательно, вектор
напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания
потенциала.
Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q1, q2, … qN. Расстояния от
зарядов до данной точки поля равны r1, r2, … rN. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом
q0, будет равна алгебраической сумме работ сил, каждого заряда в отдельности.
N
A12   Ai ,
i 1
гле Ai 
qi q0  1 1 
  ;
4 0  ri1 ri 2 
A12  WПот1  WПот 2 
1  N qi q0 N qi q0 


;
4 0  i 1 ri1
i 1 ri 2 
 WПот 
N
qi q0
;

4 0 i 1 ri
1
 
1
4 0
N
qi
i 1
i
r;
N
   i .
i 1
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, определяется как алгебраическая сумма
потенциалов, создаваемых в этой же точке каждым зарядом в отдельности.
§9 Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара,
цилиндра
Используя связь между φ и E определим разность потенциалов между двумя произвольными
точками
d
E
  grad ; 
dr
x2
   Ex dx.
x1
1.
Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с
поверхностной плотностью заряда σ.
x2
x2
x1
x1
1  2   Edx  


dx 
 x2  x1  .
2 0
2 0
2.
Разность потенциалов поля двух бесконечных параллельных разноименно
заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.
x2
x2
x1
x1
1  2   Edx  


dx   x2  x1  .
0
0
Если х1 = 0; х2 = d , то 1   2 

d или U  Ed.
0
3.
радиуса R.
Разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности
Q 1 1
  .
4 0 r
4 0  r1 r2 
Если r1 = r, r2 → , то потенциал вне сферы
Q

.
4 0 r
r2
r2
r1
r1
1  2   Edr  
Q
2
dr 
Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен
Q

.
4 0 R
4.
зарядом Q.
Разность потенциалов поля объемно заряженного шара радиуса R с общим
1  2 
Вне шара
Q 1 1
  .
4 0  r1 r2 
r1, r2 > R,
r2
Внутри шара 1  2   Edr 
r1
5.
q
4 0 R
3

r2
r1
rdr 
q
4 0 R 3
r
'2
2
 r1'2  .
Разность потенциалов поля равномерно заряженного цилиндра (или бесконечно
длинной нити).
r2
r2
r1
r1
r > R: 1  2   Edr  
r


dr 
ln 2 .
2 0 r
2 0 r1