Задачи по теме «Центральное подобие».

2. Впишите в данный остроугольный треугольник правильный треугольник, вершины которого лежат
на сторонах данного треугольника соответственно, а одна из сторон параллельна основанию.
3. Даны угол ABC и точка M во внутренней области этого угла. Постройте окружность, касающуюся
сторон угла ABC и проходящую через точку M .
4. Точка M лежит внутри угла AOB . Найдите на луче OA точку, расстояние от которой до точки M
вдвое больше, чем до луча OB .
5. Построить треугольник по двум углам и периметру.
6. Докажите, что образы данной точки при симметриях относительно середин сторон четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
7. Докажите, что во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой.
8. Дан треугольник ABC . Точки A1 , B1 , C1 - образы точек A , B , C соответственно при симметрии с
центром в произвольной точке P . Докажите, что прямые, проходящие через точки A1 , B1 , C1 и
середины сторон BC , CA , AB соответственно, пересекаются в одной точке.
9. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям.
Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, делится точкой
пересечения диагоналей пополам.
10. Две окружности касаются внутренним образом в точке A . Секущая пересекает окружности в точках
M , N , P , Q , расположенных последовательно. Докажите, что углы MAP и NAQ равны.
11. В четырехугольнике ABCD построены центроиды A1 , B1 , C1 , D1 треугольников BCD , CDA , DAB ,
ABC соответственно. Докажите, что четырехугольник A1 B1C1 D1 гомотетичен данному, и найдите
коэффициент и центр гомотетии.
12. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке M . Через диаметрально
противоположную току M 1 проведена прямая CM1 , пересекающая сторону AB в точке N . Докажите,
что AN  BM .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Впишите в данный остроугольный треугольник правильный треугольник, вершины которого лежат
на сторонах данного треугольника соответственно, а одна из сторон параллельна основанию.
3. Даны угол ABC и точка M во внутренней области этого угла. Постройте окружность, касающуюся
сторон угла ABC и проходящую через точку M .
4. Точка M лежит внутри угла AOB . Найдите на луче OA точку, расстояние от которой до точки M
вдвое больше, чем до луча OB .
5. Построить треугольник по двум углам и периметру.
6. Докажите, что образы данной точки при симметриях относительно середин сторон четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
7. Докажите, что во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой.
8. Дан треугольник ABC . Точки A1 , B1 , C1 - образы точек A , B , C соответственно при симметрии с
центром в произвольной точке P . Докажите, что прямые, проходящие через точки A1 , B1 , C1 и
середины сторон BC , CA , AB соответственно, пересекаются в одной точке.
9. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям.
Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, делится точкой
пересечения диагоналей пополам.
10. Две окружности касаются внутренним образом в точке A . Секущая пересекает окружности в точках
M , N , P , Q , расположенных последовательно. Докажите, что углы MAP и NAQ равны.
11. В четырехугольнике ABCD построены центроиды A1 , B1 , C1 , D1 треугольников BCD , CDA , DAB ,
ABC соответственно. Докажите, что четырехугольник A1 B1C1 D1 гомотетичен данному, и найдите
коэффициент и центр гомотетии.
12. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AB в точке M . Через диаметрально
противоположную току M 1 проведена прямая CM1 , пересекающая сторону AB в точке N . Докажите,
что AN  BM .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------