РЯДЫ

Лекция 3
РЯДЫ
Тема 13. Числовые ряды
При решении ряда математических задач, например в приложениях
математики в экономике, приходится рассматривать суммы, составленные из
бесконечного множества слагаемых. Эта проблема решается в теории рядов.
13.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма
Определение.
Числовым
рядом
называется
бесконечная
последовательность чисел u1, u2 , u3 ,, un ,, соединенных знаком сложения:

u1  u2  un     un ,
(13.1)
n 1
где u1 , u 2 , u3 ,, u n , называются членами ряда,
а un - общим или n -м членом ряда, n  1,2, - натуральные числа.
Ряд (13.1) считается заданным, если известен его общий член un  f n .
 1  
1
1
1
 2  2  2
2
1 2 2 3 3 4
n n  1
n 1
Например, дан ряд
un 
 1n 1 .
n 2 n  1
Решение. Нетрудно убедиться, что un   1n 1
n  12  1 .
n  12  1
Определение. Сумма первых n членов ряда S n называется
n -й
частичной суммой ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный
предел последовательности его частичных сумм, т.е.
lim S n  S .
(13.2)
n
Число S называется суммой ряда, поэтому можно записать

S  u1  u2  un     un .
(13.3)
n 1
Определение. Если конечного предела последовательности частных
сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 13.2. Исследовать сходимость геометрического ряда
(составленного из членов геометрической прогрессии):

a  aq  aq 2    aq n1     aq n1 .
n 1
Решение. Требуется установить, при каких значениях знаменателя
прогрессии q ряд сходится, а при каких – расходится.
1
Из школьного курса алгебры известно, что Sn 


a qn  1
, q  1 . Рассмотрим
q 1
возможные варианты.
1) Если q  1 , то lim q n  0 ,
n 
 aq
a
a 
a
 
, т.е. S 
- ряд сходится.
lim Sn  lim 

n 
n  q  1
q 1
q 1 1  q

2) Если q  1 , то lim qn   , следовательно, lim Sn   и ряд расходится.
n
n 
n 
3) Если q  1 , то ряд примет вид a  a    a   , Sn  na ,
lim S n  lim na   , т.е. ряд расходится.
n 
n 
4) Если q  1 , то ряд примет вид a  a  a  a     1n 1 a ,
Sn  0 при n - четном, Sn  a при n - нечетном,
lim S n не существует и ряд расходится.
n
Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме
расходится при q  1 .
при q  1 и
Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд u1  u2    un   сходится и имеет сумму S , то и ряд
u1  u2    un   (полученный умножением данного ряда на число
 )также сходится и имеет сумму S .
v1  v2    vn   сходятся и их
2. Если ряды u1  u2    un  
и
суммы равны S1 и S 2 , то и ряд u1  v1   u2  v2     un  vn    также сходится
и его сумма равна S1  S2 .
3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем
отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов. Поэтому сумму
ряда (13.3) можно представить в виде: S  Sn  rn , где rn - остаток ряда (после
отбрасывания первых n членов):
rn  un 1  un  2  un  m   .
4.
Для того, чтобы ряд (13.1) сходился, необходимо и достаточно,
rn  0 .
чтобы при n   остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы nlim

13.2. Необходимый признак сходимости
Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена un при n  
равен нулю
lim un  0 .
n
Доказательство. Представим n -й член как un  Sn  Sn 1 . Поскольку ряд
сходится, то
lim S n  S , поэтому lim un  lim S n  S n 1   S  S  0 .
n 
n 
n
2
Пример 13.3.
сходимости ряда
Проверить
выполнение
необходимого
признака
1
1
1
1



 .
1 2 2  3 3  4
nn  1
1
Решение. lim un  lim
 0 , т.е. необходимый признак сходимости
n 
n   nn  1
выполняется.
Замечание.
Следует
отметить,
что
условие
lim un  0
n
является
необходимым, но не является достаточным условием сходимости ряда.
Расходимость гармонического ряда
Рассмотрим
ряд:
1
1 1
1
     ,
2 3
n
который
носит
название
гармонического ряда.
Для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполнен:
lim un  lim
n
n
1
 0.
n
Однако, это не означает, что ряд сходится.
Покажем это. Рассмотрим частичные суммы ряда S n и S 2 n :
1 1
1

S n  1  2  3    n ,

S  1  1  1    1  1    1 .
 2 n
2 3
n n 1
2n
Найдем разность S2n  Sn :
1
1
1
S2n  Sn 


.
n 1 n  2
2n
Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим
1
, придем к
2n
вспомогательному неравенству:
1
1
1
1
1

 n
 или S 2 n  S n  .
2n
2n
2n 2
2
Если бы гармонический ряд сходился, тогда lim S2 n  Sn   0 , а мы имеем
S 2n  S n 
n 
lim S 2n  S n  
n 
1
. Это значит, что гармонический ряд расходится.
2
Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя
сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование
с помощью достаточных признаков сходимости ряда.
13.3. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными
членами
1)
I - й признак сравнения.
3
Пусть даны два ряда с положительными членами:

u
т 1
n

v
(1) и
т 1
n
(2),
причем члены 1-го ряда не превосходят членов 2-горяда, т.е. при любом n
un  vn .
Тогда
а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),
б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Пример 13.4. Исследовать сходимость ряда:
1
1
1
1

   n 1   .
2
23 33
n3
Решение.
Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом:
1
1
1 1
1
 2    n 1   (его знаменатель q   1 ).
3 3
3
3
Т.к. члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов
1
1
1
1
 ,

и вообще
2
23 3 33
32

1
1
1

,
то
на
основании
признака
сравнения
ряд
сходится.

n 1
n 1 n3
n  3 n 1 3 n 1
сходящегося
геометрического
ряда
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
а) геометрический ряд

 aq
n 1
- сходится при q  1 , расходится при
n 1
q  1,
б) гармонический ряд

1
n
- расходится,
n 1
в) обобщенный гармонический ряд

1
 n
1
n 1
2)
Если
1
1
1
        сходится при   1 , расходится при   1 .

2
3
n
II - й признак сравнения.

u
n 1
n
и

v
n 1
n
- ряды с положительными членами и существует
конечный предел отношения их общих членов nlim

un
 k  0 , то ряды
vn
одновременно сходятся, либо расходятся.
Пример 13.5. Исследовать сходимость ряда
2n 2  5
.

n3
n 1

Решение. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом

1
n.
n 1
4
 2n 2  5 

3
n



Т.к. lim

n  

 n 2n 2  5
1


lim

n  n
n3
   lim  2n


n 



5 
5

  lim  2  2
n


n
n


2
2

 2,

то данный ряд расходится, так же как и гармонический.
3)
Признак Даламбера.
Пусть для ряда

u
n 1
n
с положительными членами существует предел
отношения n  1 члена к n -му члену :
lim un 1 un   l .
n
Тогда, если l  1 , то ряд сходится, если l  1 , то ряд расходится, если l  1,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 13.6. Исследовать сходимость ряда
Решение. Так как u n 
n
n 1
; а u n 1  n 1 ,
n
2
2
1 2
n
 2    n  .
2 2
2
то применяя признак
Даламбера, имеем
un 1
n  1  2 n  lim 1  1  1   1  1 .
 lim


n n  2 
n 2
n  un
n  2 n  1
lim
сходится.
Пример
1
13.7.
Исследовать
сходимость
Следовательно,
ряд
гармонического
ряда
1 1
1
      с помощью признака Даламбера.
2 3
n
u
1 1
 1 n
Решение. lim n1  lim 
:   lim 
   1 (вопрос открыт).
n u
n n  1 n

 n n  1 1 
n
13.4. Знакочередующиеся ряды
Определение. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в
котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:
n 1
u1  u2  u3     1 un   , где u n  0 .
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда
убывают по абсолютной величине u1  u2    un   и предел его общего
un  0 , то ряд сходится, а его сумма не
члена при n   равен нулю, т.е. nlim

превосходит первого члена: S  u1 .
Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы
сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям
признака Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной
величины первого отброшенного члена.
 1
1
1
Пример 13.9. Исследовать сходимость ряда 1  2  2    2
2
3
n
n 1
 .
5
Решение. Применим признак Лейбница.
1)
Члены ряда по абсолютной величине убывают:
1
2) nlim

1
2
2

1
3
2

1
n2

1
 0.
n2
Следовательно, ряд сходится.
Тема 14. Степенные ряды
14.1. Функциональный и степенной ряды. Область сходимости
степенного ряда
Определение. Ряды, членами которых являются функции, называются
функциональными, в частности, если членами ряда являются степенные
функции, то такие ряды называются степенными:
с0  с1 x  с2 x 2    сn x n  
(14.1)
где числа c0 , c1,, cn - коэффициенты ряда.
Определение. Совокупность тех значений x , при которых степенной
ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 14.1. Найти область сходимости степенного ряда
1  x  x2    xn   .
Решение.
Этот ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем
q  x , который сходится при q  x  1 . Откуда область сходимости есть
интервал  1,1 .
Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении x  x0  0
(отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях
x таких, что x  x0 .
2) Если степенной ряд расходится при x  x1 , то он расходится при
значениях x таких, что x  x1 .
Следствие. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число
R  0 , что при x  R ряд сходится, а при x  R - расходится.
Число R
получило название
радиуса сходимости, а интервал  R, R
- интервал сходимости степенного ряда
(рис. 14.1).
На концах отрезка  R, R ряд
может как сходиться, так и расходиться.
6
Пример 14.2. Найти радиус сходимости степенного ряда (14.1), если все
коэффициенты c0 , c1, c2 ,cn (по крайней мере с некоторого номера n отличны
от нуля).
Решение.
По признаку Даламбера ряд сходится, если
un 1
c x n 1
c
 lim n 1 n  x lim n 1 будет меньше 1.
n  u
n  c x
n  c
n
n
n
lim
cn  1
cn
. Если этот предел существует, то он
 1 или x  lim
n   cn
n   cn  1
Т.е. x lim
и является радиусом сходимости
cn
.
n  c
n 1
R  lim
(14.2)
Пример 14.3. Найти область сходимости степенного ряда:
1 x 
x 2 x3
xn
 
.
2! 3!
n!
Решение.
Радиус сходимости определяется по формуле (14.2)
n  1!  lim n  1   , т.е. область сходимости  ; .
cn
 lim
n  c
n 
n 
n!
n 1
R  lim
Свойства степенных рядов

Пусть функция f x  является суммой степенного ряда, т.е. f x    cn x n .
n 0
Тогда на любом отрезке a, b , целиком принадлежащем интервалу
сходимости  R, R , функция f x  является непрерывной и, следовательно,
а) степенной ряд можно почленно интегрировать на a, b
 f xdx   c dx  c xdx    c x dx  .
b
a
b
a
b
0
a
b
1
a
n
n
б) в интервале сходимости  R, R степенной ряд можно почленно
дифференцировать
f x   c1  2c2 x  3c3 x 2    ncn x n 1   .
14.2. Ряд Маклорена
Если функция f x  определена и n раз дифференцируема в окрестности
точки x  0 , то она может быть разложена в степенной ряд

f  x   c0  c1 x  c2 x 2    cn x n     cn x n
(14.3)
n 0
7
Выразим коэффициенты ряда через f x  .
Для этого найдем производные функции f x  :
f x   c1  2c2 x  3c3 x 2    ncn x n 1  
f x   2c2  3  2c3 x  4  3c4 x 2    n  n  1cn x n 2  
f x   3  2  1c3  4  3  2c4 x    nn  1n  2cn x n 3  
………………………………………………………………
f n  x   nn  1n  2    3  2  1cn    n  1nn  12cn 1 x  
Полагая x  0 , получим:
f 0  c0 ,
f 0  c1 ,
f 0  2  1c 2 ,
Откуда имеем:
с0  f 0,
c1  f 0,
c2 
f 0
,
2!
f 0  3  2  1c3 ,,
c3 
f 0
, ,
3!
Разложение функции f x  в ряд Маклорена:
cn 
f  n  0  n!c n .
f n  0
,
n!

f 0 2 f 0 3
f n  0x n
f n  0x n
,
x 
x 
 
2!
3!
n!
n!
n 0
где f 0  0  f 0, 0! 1, 1! 1 .
f x   f 0  f 0x 
(14.4)
Так же как и для числовых рядов сумму f x  ряда Маклорена можно
представить в виде
f x   Sn x   rn x  ,
где S n x  - n-я частичная сумма ряда, rn x  - n -й остаток ряда.
Теорема. а) Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f x  ,
необходимо и достаточно, чтобы при n   остаток ряда стремился к нулю,
т.е.
lim rn  x   0
n
для всех значений x из интервала  R, R .
б) Если функция f x  разложена в ряд Маклорена, то это разложение
единственное.
14.3. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
а) y  e x .
x 2 x3
xn
e 1 x   

2! 3!
n!
Область сходимости ряда  ,  .
x
(14.5)
б) y  sinx.
sin x  x 
x3 x5
x 2 n1
n

    1

2n  1!
3! 5!
(14.6)
8
Область сходимости ряда  ,  .
в) y  cosx. .
2n
x2 x4
n x

    1

2n!
2! 4!
Область сходимости ряда  ,  .
cos x  1 
(14.7)
г) y  1  x m , где m действительное число.
1  x m
 1  mx 
mm  1 2 mm  1m  2 3
mm  1    m  n  1 n
x 
x 
x 
2!
3!
n!
Область сходимости ряда  1,1 .
(14.8)
д) y  ln1  x .
n 1
x 2 x3 x 4
n x
      1

2
3
4
n 1
Область сходимости ряда  1,1 .
ln 1  x   x 
(14.9)
14.4. Применение рядов в приближенных вычислениях
1) Приближенное вычисление значений функций.
Для вычисления приближенных значений функции с заданной
точностью с помощью рядов проще всего является тот случай, когда
соответствующий
ряд
является
знакочередующимся.
Для
знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность при
замене суммы ряда его частичной суммой согласно следствию из признака
Лейбница.
Пример 14.4. Вычислить ln 1,2 с точностью до 0,0001.
Решение. Используем представление функции ln 1  x в виде ряда (14.9):
n 1
x 2 x3 x 4
n x
      1
.
2
3
4
n 1
Полагая х  0,2 , получим ряд для вычисления ln 1,2 с любой точностью:
ln 1  x   x 
ln 1,2  ln 1  0,2  0,2 
(0,2) 2 (0,2) 3 (0,2) 4


   0,2  0,02  0,002667  0,00004  
2
3
4
9
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет признаку
Лейбница. Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001,
поэтому достаточно взять сумму первых трех членов:
ln 1,2  0,2  0,02  0,002667  0,182667  0,1827.
Замечание. Все вычисления проводятся с одной или с двумя запасными
знаками, полученный результат округляется до требуемой точности.
2) Приближенное вычисление определенных интегралов.
Многие практически нужные определенные интегралы не могут быть
вычислены с помощью формулы Ньютона – Лейбница, т.к. не для любой
функции существует первообразная, выражаемая через элементарные
функции. Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, то
интеграл можно вычислить приближенно.
1
Пример 14.5. Вычислить  е  х dx с точностью до 0,01.
2
0
Решение. Данный интеграл нельзя выразить в конечном виде через
элементарные функции. Воспользуемся разложением функции e x (14.5):
ex  1  x 
x 2 x3
xn
 
.
2! 3!
n!
Заменяя х на –х2, получим
e x  1  x 2 
2
( x 2 ) 2 ( x 2 ) 3
x4 x6

   1 x2 

.
2!
3!
2! 3!
Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать, найдем
1




x 4 x 6 x8
x3 1 x5 1 x7 1 x9
2



 
e
dx

1

x





dx

x






0
0 


2! 3! 4!
3
2
!
5
3
!
7
4
!
9


0
1 1 1 1 1 1 1
 1           1  0,33333  0,10000  0,02380  0,00462   
3 2! 5 3! 7 4! 9
 1  0,3333  0,1000  0,0238  0,7429  0,74 .
1
 x2
1
Пятый член ряда и последующие отбросили, т.к. возникающая при этом
погрешность меньше, чем 0,01.
10