Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме: «Арксинус

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме:
«Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Решение простейших тригонометрических уравнений».
Секерина Наталья Ефимовна, учитель математики.
Статья отнесена к разделу: преподавание математики.
Цели урока.
Образовательные: ввести понятия арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса;
изучить общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Развивающие: развитие информационной, коммуникативной, исследовательской
компетентностей.
Воспитательные: содействовать формированию личностно – адаптивной компетентности
(быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию).
Тип урока: урок изучения нового материала.
Форма проведения урока: интерактивное занятие.
Оборудование урока: мультимедийная аппаратура.
Структура урока.
1. Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
2. Изучение нового материала.
 учебное исследование;
 обсуждение итогов учебного исследования;
 схематизация материала.
3. Рефлексия. Подведение итогов.
4. Домашнее задание.
Ход урока.
I. Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная
содержится под знаком тригонометрических функций.
Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать
простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: sin t  a , cos t  a ,
tgt  a , ctgt  a . Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача
нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения
простейших тригонометрических уравнений.
II. Изучение нового материала.
Групповая работа (10 мин).
Алгоритм работы в группе:
 выбрать руководителя группы; ответственного за понимание и выступающего от группы;
 прочитать и осмыслить задание (применяя следующие приемы, организующие понимание:
перефразирование, вопросы на понимание);
 наметить алгоритм решения;
 выполнить задание;
 подготовить выступление.
Учебное исследование.
Задание 1 группе.
1. Решите графически уравнения: а) x 2  3 ; б) x 2  0 ; в) x 2  4 .
1
2. Для каждого значения параметра a, решите уравнение x 2  a . Какой, новый
математический термин, был введен математиками в связи с решением уравнения вида
x 2  a ? Вспомните соответствующее определение.
Задание 2 группе.
1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решите уравнение:
а) cos t  0,5 ; б) cos t  0,4 ; в) cos t  2 .
2. Для каждого значения параметра a, решите уравнение cos t  a .
Задание 3 группе.
1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решите уравнение:
2
а) sin t 
; б) sin t  0,3 ; в) sin t  2 .
2
2. Для каждого значения параметра a, решите уравнение sin t  a .
Задание 4 группе.
1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решите уравнение:
3
а) tgt 
; б) tgt  0,4 ; в) tgt  2 .
3
2. Для каждого значения параметра a, решите уравнение tgt  a .
Задание 5 группе.
1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решите уравнение:
3
а) ctgt  
; б) ctgt  0,6 ; в) ctgt  2 .
3
2. Для каждого значения параметра a, решите уравнение ctgt  a .
Задание экспертной группе.
1. Прочитайте в учебнике определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса
(стр. 77, 82, 89, 92).
2. Представьте общие выводы решений простейших тригонометрических уравнений.
Выступления от групп. Обсуждение итогов учебного исследования.
(Выступления сопровождается показом слайдов).
1 группа. Решим графически уравнение x 2  3 . Для этого в одной системе координат
построим параболу y  x 2 и прямую у = 3. Они пересекаются в двух точках  3 ;3 и 3 ;3 .

 

Абсциссы точек x1   3 , x 2  3 , являются корнями уравнения x  3 . Аналогично рассуждая,
получим, что решением уравнения x 2  0 является x = 0. Уравнение x 2  4 не имеет решений,
т.к. нет точек пересечения графиков данных функций.
Вывод: уравнение x 2  a имеет два корня при а > 0, один корень при а = 0, не имеет
решений при а < 0. В связи с решением уравнения вида x 2  a был математиками введен новый
термин «квадратный корень из числа а».
Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число,
квадрат которого равен а.
2 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной
плоскости, решим уравнение cos t  0,5 . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,5 (она

лежит на прямой х. = 0,5). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида
3


 2k, k   . Точка Р соответствует числу  , а, следовательно, и всем числам вида
3
3
2
2


 2k , k   .
3
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение cos t  0,4 . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,4 (она лежит на
прямой х. = 0,4). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходим
новый математический термин.
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение cos t  2 . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая х. = -2 не пересекает
числовую окружность.
Вывод: уравнение cos t  a имеет две серии решений при a  1 , не имеет решений при

3
 2k, k   . В итоге получаем две серии решений уравнения: t  
a  1 . Для решения уравнения cos t  a необходимо ввести новый математический термин.
3 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной
2
плоскости, решим уравнение sin t 
. Отметим на окружности точки М и Р с ординатой
2
2
2

(она лежит на прямой y 
). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида
2
2
4

3
 2k, k   . Точка Р соответствует числу
, а, следовательно, и всем числам вида
4
4
3

 2k, k   . В итоге получаем две серии решений уравнения: t   2k , k   ;
4
4
3
t
 2k , k   .
4
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение sin t  0,3 . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой - 0,3 (она лежит
на прямой у = - 0,3). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходим
новый математический термин.
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение sin t  2 . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая у = 2 не пересекает
числовую окружность.
Вывод: уравнение sin t  a имеет две серии решений при a  1 , не имеет решений при
a  1 . Для решения уравнения sin t  a необходимо ввести новый математический термин.
4 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной
3
3
плоскости, решим уравнение tgt 
. На линии тангенсов отметим число
. Прямая ОТ
3
3

пересекает окружность в двух точках М, Р. Точка М соответствует числу , точка Р
6
5
соответствует числу
. Учитывая периодичность функции y = tgx, можно сказать, что уравнение
6
3

tgt 
имеет одну серию решений t   k , k   .
6
3
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение tgt  0,4 . На линии тангенсов отметим число 0,4. Прямая ОТ пересекает
окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но какую мы не знаем.
Наверно, необходим новый математический термин.
Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости,
решим уравнение tgt  2 . На линии тангенсов отметим число 2. Прямая ОТ пересекает
окружность в двух точках М, Р. Это уравнение tgt  a , но какую мы не знаем. Наверно,
необходим новый математический термин.
3
Вывод: уравнение tgt  a имеет одну серию решений при любом значении параметра а.
Для решения уравнения tgt  a необходимо ввести новый математический термин.
5 группа (аналогично).
6 группа. Для решения уравнения cos t  a ввели новый математический термин
арккосинус.
Если a  1 , то арккосинус а – это такое число из отрезка 0;  , косинус которого равен а.
Например, arccos
cos

1 

 1
3
2  3

 , т.к.  0;   , cos  , arccos 
 0;   ,
, т.к.

2 3
3
3 2
4
2
4


3
2




, arccos 0  , т.к.  0;   , cos  0 .
2
2
2
4
2
Если a  1 , то уравнение cos t  a имеет решения t   arccos a  2k , k   .
Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

 k , k   ; cos t  1, t  2k , k   ; cos t  1 , t    2k , k   .
2
Если a  1 , то уравнение cos t  a решений не имеет.
cos t  0 , t 
Для решения уравнения sin t  a ввели новый математический термин арксинус.
  
Если a  1 , то арксинус а - это такое число из отрезка  ;  , синус которого равен а.
 2 2

1 
 1
2

   
   , т.к.
Например, arcsin  , т.к.   ;  , sin  , arcsin  

2 6
6 2
4
6  2 2
 2 



   
2
  
 
  ;  , sin     
, arcsin 1  , т.к.   ;  , sin  1 .
2
2
4  2 2
2  2 2
2
 4

Если a  1 , то уравнение sin t  a имеет две серии решений t  arcsin a  2k , k  ,
t    arcsin a  2k , k   . Эти две формулы можно объединить одной формулой. Перепишем эти
формулы следующим образом: t  arcsin a    2k , t   arcsin a    2k  1 . Замечаем, что если
перед arcsin a стоит знак «плюс», то у числа  множителем является четное число 2k. Если же
перед arcsin a стоит знак «минус», то у числа  множителем является нечетное число 2k + 1. Это
наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения sin t  a :
n
t   1 arcsin a  k , k   .
Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:


sin t  0, t  k , k   ; sin t  1, t   2k , k   ; sin t  1, t    2k , k   .
2
2
Если a  1 , то уравнение sin t  a решений не имеет.
Для решения уравнения tgt  a ввели новый математический термин арктангенс.
  
Арктангенс а – это такое число из интервала   ;  , тангенс которого равен а.
 2 2
Например, arctg1 

4
, т.к.


3


 
  
   , т.к.     ;  ,
   ;  , tg  1 ; arctg  

4
6  2 2
4  2 2
6
 3 

3
  
 
tg    
, arctg 0  0, т.к. 0    ;  , tg 0  0 .
3
 2 2
 6
Уравнение tgt  a имеет решения t  arctga  k , k   для любого значения а.
(Для решения уравнения ctgt  a выступление аналогичное).
4
Схематизация материала.
Итак, для решения простейших тригонометрических уравнений, были введены новые
математические термины.
Современные обозначения арксинуса и арктангенса появились в 1772 г. в работах венского
математика Шерфера и французского ученого Ж.Л.Лагранжа. Приставка «арк» произошла от
латинского слова arcus (дуга, лук).
Таким образом, например, символ arccos a включает в себя три части:
arc – дуга, на которую опирается соответствующий центральный угол;
cos – напоминание об исходной функции;
a – число.
Представим определения новых понятий, а также общие формулы решения простейших
тригонометрических уравнений в виде таблиц. Приложение №1. Приложение №2 (показ слайдов).
III. Рефлексия собственной деятельности. Подведение итогов.
Что нового узнал (а) я на уроке?
Что я хотел (а) сделать на уроке?
Что я сделал (а) сегодня на уроке?
IV. Домашнее задание.
Используя параграфы учебника 17, 18, 19 составить развернутый конспект по теме: «Арксинус,
арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решение простейших тригонометрических уравнений».
Приложение 1.
Арксинус
Арккосинус
Арктангенс
Арккотангенс
a 1
sin t  a,

 

 2  t  2
cos t  a,

0  t  
tgt  a,

 

 2  t  2
ctgt  a,

0  t  
5
Приложение 2.
sin t = a
cos t = a
tg t = a
a 1
t   1 arcsin a  n,
n
sin t  0 . t  k
n
sin t  1 . t 

2
sin t  1 . t  
 2k

2
 2k
t   arccos a  2k ,
k 

cos t  0, t   k
2
cos t  1, t  2k
cos t  1, t    2k
ctg t = a
a - любое
t  arctga  k ,
k 
t  arcctga  k ,
k 
a 1
Решений нет
6