Лекция 8

Слабо неидеальный бозе-газ.
p2
  v  ri  rj 
i 1 2m
i j
При переходе к операторам в представлении вторичного квантования
eipr
e  ipr 
r  
 a p ;   r   
 a p
V
V
p
p
здесь и далее  1 .
N
H
 i    r  dr  1
r
(2.1)
(2.2)
2
H   
2 V
2m
V
Первое слагаемое


   r    r  v  r  r    r    r  drdr 
(2.3)
2
i
e  i  p r 
eipr
p2 
e  ipr eipr

a

a
dr


a
a
,
поскольку

p 2m p p
p
p
V 
V V dr   p,p (2.4)
2m p V
V
p
Второе слагаемое преобразуем, как
 ip r ip r  ip r  ip r
2
   e 1 1 2 2 2 2 1 1  v  r1  r2   dr1dr2 V 
V V p1 ,p2 ,p1 ,p 2
  e  ip1 r2 ip2 r2 ip2 r2 ip1r2 dr2 V  e  ip1  ip1 v    d
V
V
  r1  r2 ; r1    r2 , r2  r2
   p1  p2  p1  p 2 
p1  p1  q,
p2  p 2  q
Тогда
p2 
1
 apap 
v  q  a p1  p1 q a p2  p2  q a p2 a p1
(2.6)

2V p1 ,p2 ,q
p 2m
Во второй сумме каждое слагаемое можно изобразить диаграммой Фейнмана,
изображенной на рис.1. Сплошные линии со стрелкой на
конце соответствуют частицам, передающим через
p1
p1
взаимодействие, изображаемое штриховой линией,
q
импульс q от первой частице второй. Стрелка,
p2
p 2
входящая в пересечение линий соответствует
оператору уничтожения частицы, исходящая из узла –
оператору рождения частицы. Штриховую линию со
Рис.1
стрелкой можно так же интерпретировать, как частицу,
переносящую взаимодействие, рождающуюся и уничтожающуюся в точках
пересечения линий.
При температуре значительно ниже температуры бозе – конденсации количество
надконденсатных частиц станет малым и их взаимодействием между собой можно
будет пренебречь. При этом сумма, учитывающая взаимодействие в формуле (2.6)
будут содержаться слагаемые, содержащие макроскопически большие множители
H
a0 a p a p a0 , a p a0 a p a0 , a0 a p a0a p , a p a0 a0a p , a0 a0 a p a p , a p ap a0a0
(2.7),
в которых присутствуют по два оператора конденсатных частиц. Первые четыре
очевидным образом содержат множителем a0 a0  N 0 N . Матричные элементы от
операторов a0 a0 и a0 a0 по состоянию с переменным числом частиц может быть
(2.5)
отлично от нуля и должно равняться тому же значению: a0 a0  a0 a0  N 0
поскольку состояние с числом частиц в бозе – конденсате N 0
с числом частиц N0  1, N0  2, N0  1, N0  2
10
23
N,
и состояния
не могут быть различимы. Напомним,
что флуктуации числа частиц в основном состоянии
N 0
2
 N 0  1  N 0   N 0
сопоставимы с полным числом частиц, соответственно, как надконденсатные частицы,
так и сам бозе – конденсат естественно считать системами с переменным числом частиц
и их состояния представляют собой линейные комбинации состояний с числом
различным числом частиц в бозе - конденсате. Отличные от нуля матричные элементы
по таким состояниям a0 a0 и a0 a0 называют «аномальными средними». Заметим,
что отличными от нуля будут «аномальные средние» a0  a
N 0 , a0 a0 a0
N 03 2
и другие, подобные им средние, однако средние типа a0 a0 a p  0 , поскольку для них
не выполняется закон сохранения импульса, связанный с наличием дельта – функции в
формулах (2.5).
Диаграммы Фейнмана для взаимодействия частиц (толстые линии) с частицами бозе
- конденсата (тонкие линии) представлены на рис. 2. Длина тонких линий, конечно,
равна нулю, поэтому и направление не имеет значения и нарисовано только для
наглядности картинки. Длина штриховых линий без стрелок, соответствующих
нулевому переданному взаимодействием импульсу в действительности так же равна
нулю.
Рис.2.
Обратим внимание на то, что в каждой из двух последних диаграмм не выполняется
закон сохранения энергии. Процессы, описываемые такими диаграммами, называются
виртуальными. Сумма двух таких процессов приводит к эрмитовости гамильтониана и
сохранению полной энергии. Оставляя в (2.6) самые большие слагаемые,
соответствующие диаграммам на рис.2, получаем:
 p2 2N 0 v  0  2N 0 v  p   
v  0  N 02
N 0 v 0
H
 


a p a  p  a  p a p  (2.8)
  apap 




2V
2V
2V
2V p0
p  0  2m

Первое, самое большое слагаемое, в гамильтониане связанное с взаимодействием
между частицами конденсата v  0 a 0 a 0 a 0a 0  2V  v 0 N 2  2V  , поскольку в данном
приближении надконденсатных частиц должно быть мало.
N 0  N   a p a p , где N 0 N  a p a p
(2.9)
p0
p0
Подставим (2.9) в первое слагаемое (2.8), полагая ещё, что слабое взаимодействие
имеет короткодействующий характер (дельтообразно), поэтому его фурье – образ
v  q   v  0  w  V N . Введённая здесь характерная положительная энергия w ,
приходящаяся на одну частицу, как легко убедиться, примерно равна химическому
потенциалу   E N  w, где E v  0 N2  2V  . После подстановки имеем:
 p2

w
H  Const   
 w   a p a p    a p a  p  a  pa p , где Const  v  0  N 2  2V  . (2.10)
2 p0
p  0  2m

На это выражение можно посмотреть, как на гамильтониан надконденсатных частиц в
макроскопической системе с фиксированным полным числом частиц (надконденсатных
плюс конденсат), но не фиксированным числом надконденсатных. К такому же виду
гамильтониана для надконденсатных частиц мы должны придти, считая заданным
химический потенциал. В такой постановке задачи роль гамильтониана выполняет
(2.11)
H   H  N .
В рассматриваемой модели, когда выполнено условие (2.9), роль термостата может
выполнять бозе – конденсат, который задает   w . Роль нештрихованного
гамильтониана надконденсатных частиц должны играть слагаемые в (2.8) с отличным
от нуля импульсом, при этом остающееся слагаемое v  0 N 02 2V ,естественно,
интерпретировать, как гамильтониан частиц конденсата. Из (2.11) и (2.8) в случае
короткодействующего потенциала получаем гамильтониан
 p2

w
(2.12)
H   
 w   a p a p    a p a  p  a  pa p  ,
2 p0
p  0  2m

совпадающий с точностью до несущественной константы с выражением (2.10).
Квадратичный по операторам рождения и уничтожения частиц с помощью u-vпреобразования Боголюбова легко может быть диагонализован диагональ, то – есть,
приведен к виду H   p  bp bp  Const , соответствующему гамильтониану идеального
p0
газа невзаимодействующих возбуждений или квазичастиц. В соответствии с
каноническим (сохраняющем коммутационные соотношения) u-v-преобразованием
вводятся новые бозевские операторы, такие, что:




a p  u p bp  v p b p 

 bp ,bp    p,p
 для этого
(2.13)
u p u*p  v p v *p  1
,


* 
*


достаточно
a p  u p bp  v p b p 
  bp ,bp    bp ,bp   0 

Легко проверить, что обращением соотношений (2.13) будут:
bp  u pa p  v pa  p , bp  u*pa p  v *pa  p
(2.14)
Заметим, что в отсутствии тока коэффициенты u p и v p зависят только от модуля
импульса. Из явного выражения для них это будет видно непосредственно. Сравним
выражение
H    p  bp bp  E0    p  u*p a p  v *p a  p    u p a p  v p a  p   E 0 
p0
p0
   p u u a a  u v p a p a  p  v *p u p a  p a p  v *p v p a  pa  p   E 0
p0
*
p

p p p
*
p
с (2.12), тогда необходимо выполнение системы равенств.
(2.15)
 p   u u p  v vp   t  w 
*
p
*
p
w
 p  u v p 
2
w
 p  v*p u p 
2
*
*
u p u p  vp vp  1
*
p
t  p 2 2M

u


 из которой 

v



p 
1tw 
 1


2   p

1tw 
 1


2   p

(2.16)
t2  2  w  t
Проще всего убедиться в правильности записанных решениях системы
непосредственной проверкой.
При импульсах меньших M  w , энергия возбуждений в слабо неидеальном газе
совпадает со спектром фононов:  p  cPh  p, где cPh  w M  v0 N  M  V   скорость
звука. В жидком гелии cPh  3.37 104 см c при Т =1.12К.
Сверхтекучесть
p
 v  v 
m ч v 2 m ч v 2
mч

  Ph 
2
2

p2
m ч v  m ч v  p   Ph  p  v 
2m ч
(2.17)
Если энергия возбуждения  Ph  c  p : такая же, как у акустических фононов, то
последнее из соотношений (2.17) можно переписать в виде уравнения, связывающего
косинус угла  между скоростью v и импульсом фонона p с модулями скорости
частицы и импульса.
c  p  v  p  cos  p2  2mч   c  v  cos  p  2mч 
(2.18)
Из последнего уравнения видно, что оно никогда не имеет решения при выполнении
критерия v  c , который представляет частный случай критерия сверхтекучести
Ландау: v    p  p . Заметим, что условие v  c означает, в частности, невозможность
родить акустический фонон электроном с энергией меньшей mc2 2 .