Геометрический смысл производной

Конспект урока по теме:
«Геометрический смысл
производной»
11 класс. (Повторение курса алгебры и начал анализа).
Гобозова Людмила Вячеславовна
Учитель математики первой категории
МОУ «Соловьёвская СОШ»
2009
1 этап. Актуализация знаний,
повторение и освоение понятий.
Три ученика работают на доске: (задание записано заранее на доске).
1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
f(х) = х + 𝑥 2 параллельна прямой у = -4х.
(Ответ: х=-2,5)
2. Определите, какой угол образует с осью абсцисс касательная, проведённая
к графику функции f(х) = 4е2 + 𝑥 2 в точке с абсциссой х = 0,5. (Ответ: 45°)
3. Найдите наименьшее значение функции f(х) =
1
3
х3 −
3 2
х
2
+ 5 на отрезке х
є [-1; 4] (Ответ: 0,5)
Остальные устно: учитель показывает
альбомного листа) и озвучивает задание:
карточку (размер – половина
1
- Найдите значение производной в данной точке ( f(x) = 𝑥 3 - 8ln x, X =4)
3
- Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
функции в данной точке ( g(x) = 2 sin x, x0 = π)
-Вычислите скорость изменения функции в точке х0. (f(х) = 3√х, х0 = 9 )
- Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у =g(х) в
𝜋
точке с абсциссой х0 и осью Ох. ( f(х) = 2х – 3sin x, х0 = ; .)
3
- Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у =g(х) в
точке с абсциссой х0 и осью Ох. (g(х) = (4 − х)3 , х0 = 4). Как расположена
касательная по отношению к оси Ох?
-Придумайте задание (учитель показывает карточку: f(х) =2х2 - х3 + 1, х0 =-2
). Одни озвучивают задание, другие отвечают.
При выполнении последнего задания должен прозвучать вывод, что при
выполнении всех предыдущих заданий мы находили производную в данной
точке, т. е. применяли геометрический смысл производной. (Геометрический
смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент
касательной в точке х0, равен производной f'(х0). Угловой коэффициент
равен значению тангенса между касательной и положительным
направлением оси Ох)
Ученики, выполнившие задание на доске тоже при объяснении озвучивают, в
чём заключается геометрический смысл производной. Ученик, выполнявший
3 задание, рассказывает алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего)
значения функции.
2 этап. Дифференцированное решение заданий. Углубление знаний.
Первый ряд (ученики с низкими учебными навыками) решают задания из
папки ( материалы ЕГЭ – часть А, задания № 2 -№5; №12 - №15.
Остальные – разбираем задание из материалов ЕГЭ (часть С).
Предъявляется задание (заранее записано на доске):
При каком наибольшем значении параметра a функция f(х) убывает на всей
числовой прямой: f(х) = -2х3 + 12х2 + 30 ах – 21?
-В чём заключается достаточное условие убывания функции? (f'(х) <0)
-Какое неравенство мы должны решить? (-6х2 +42х+ 30а < 0)
-Рассмотрите функцию g(х) = -6х2 +42х+ 30а, что вы о ней знаете?
(Квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви которой
направлены вниз.). В тетрадях нарисуйте схематично график этой функции.
Отчего зависит количество точек пересечения параболы с осью Ох? (От
количества корней уравнения -6х2 +42х+ 30а =0).
Сколько корней уравнения должно быть, чтобы выполнялось условие 6х2 +42х+ 30а < 0?
(Ни одного, так как ветви направлены вниз и парабола полностью лежит
ниже оси Ох).
Пока ученики 2-го и 3-го ряда заканчивают решение данного примера,
учитель проверяет ответы и разбирает невыполненные задания с учениками
1-го ряда.
3этап.
График производной. (Фронтальная работа со всем классом.)
Учитель: Производная любой функции – это тоже функция, а значит мы
можем построить её график. И применим график производной для
исследования свойств самой функции.
Презентация «График производной» демонстрируется на интерактивной
доске. Учитель комментирует этапы, обращает внимание на понимание
геометрического смысла производной, отвечает на вопросы учащихся. По
ходу презентации можно ещё выделять важные моменты маркером.
- Выполните задание № 28 из папки на странице 5. /Приложение 1/ (Это
задание вызывает затруднение даже у «сильных» учеников. Большинство
путает с графиком самой функции. Нет связи между теоретическим
понятием геометрического смысла производной и зрительным образом на
графике производной.)
Учитель: Давайте потренируемся вместе, выполняя тесты. Демонстрируется
презентация «Готовимся к ЕГЭ. Геометрический смысл производной» с
показом рассуждений. (Последние тесты можно показывать только с
ответами).
4 этап. Самостоятельная работа в парах.
Выполните задания № 21 - № 29 на странице 5 из папок /приложение 1/.
После выполнения задания и проверки их учителем ребята берут
дополнительные карточки повышенного уровня сложности /приложение 2/.
(Учитель предлагает оценить работу самостоятельно, сравнивая решение с
образцом ответа /приложение 2/).
5этап. Итоги урока.
-Дома вы выполняете задания из оценочных листов, аналогичные тем, что
решали в классе. (Образец оценочного листа – приложение 3)
Какие типы заданий мы сегодня выполняли на уроке? (Находили значение
производной в точке, угловой коэффициент касательной, тангенс угла
наклона касательной и т. д.)
Что мы должны определить в первую очередь, когда дан график
производной? (Точки пересечения с осью Ох – это точки экстремума
функции, определяем знак производной на промежутках и по ним
определяем промежутки возрастания (убывания) функции.
-Спасибо за урок.
Приложение 1. Листы из папки «Готовимся к ЕГЭ» (По одной папке на
каждую парту).
Приложение 2. Карточки и образец решения (оценивания).
Приложение
Приложение 3. Образец Технологической карты.
3