Методичка Геодезия 2 курс

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет
имени Н.И. Вавилова»
ГЕОДЕЗИЯ
Методические указания
по изучению дисциплины и выполнению курсовой
работы студентами 2 курса очной и 3 курса заочной
формы обучения специальностей
310900 «Землеустройство» и
311000 «Земельный кадастр»
Геодезия: Методические указания по изучению дисциплины и выполнению курсовой работы студентами 2 курса очной и 3 курса заочной
формы обучения специальностей 310900 «Землеустройство» и 311000
«Земельный кадастр».
Составители: доц. Лысов А.В. Саратов, ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ им.
Н.И. Вавилова», 2004, 74с.
Одобрено и рекомендовано к изданию кафедрой землеустройства и земельного
кадастра (протокол №2 от 21 октября 2003 г.) и методической комиссией сельскохозяйственного института Саратовского аграрного университета им. Н.И. Вавилова
(протокол № 1 от 23.10.2003 г.)
2
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ
Цель: научить студента создавать качественное геодезическое обеспечение работ по проведению земельного кадастра,
мониторинга, планирования и осуществления строительства, а
также других научных и хозяйственных работ.
Задача: освоить современные технологии геодезических
работ по тахеометрической съемке, уравниванию системы
теодолитных и нивелирных ходов, определению дополнительных пунктов при сгущении геодезической сети, оценке точности выполненных работ.
Пользуясь данными методическими указаниями, студенты
должны самостоятельно изучить предусмотренные программой разделы курса «Геодезия» по рекомендуемой учебной и
справочной литературе, выполнить все задания и подготовить
курсовую работу.
Раздел курсовой работы: «Тахеометрическая съемка» студенты-заочники оформляют в виде контрольной работы, которая
должна поступить на кафедру для проверки за две недели до
начала сессии. Остальные разделы дорабатываются на сессии.
Курсовая работа представляется для защиты и получения
допуска к экзамену.
На очной сессии студенты-заочники прослушивают курс
лекций, а также выполняют лабораторные работы:
- по измерению углов и линий в геодезических сетях сгущения точными теодолитами, светодальномерами, электронными тахеометрами;
- решению задач по теории погрешностей;
- определению положения дополнительных пунктов;
- расчетам координат рамок трапеций топографических
съемок.
Изучение основных вопросов курса рекомендуется в той
последовательности, которая принята в программе. Предложенные задания следует выполнять после усвоения соответствующего раздела теории, которую полезно рассмотреть
применительно к имеющемуся производственному материалу
и накопленному опыту работы.
3
1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ КУРСА СТУДЕНТАМИ
ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
1.1 ОСНОВНЫЕ РАЗДЕЛЫ ПРОГРАММЫ КУРСА
Раздел 1. Тахеометрическая съемка
Раздел 2. Теория погрешностей измерений
Раздел 3. Общие сведения о построении геодезических сетей при съемке
сельскохозяйственных земель на большой территории
Раздел 4. Проекция и прямоугольные координаты Гаусса
Раздел 5. Методы измерения и приборы, применяемые при
создании геодезических сетей сгущения
Раздел 6. Методы определения положения дополнительных пунктов
Раздел 7. Уравнивание геодезических сетей сгущения
1.2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература:
В библиотеке:
1. Маслов А. В., Гордеев А. В., Батраков Ю. Г.. Геодезия.
М.: Недра, 1980.
1. Маслов А. В., Гордеев А. В., Батраков Ю. Г.. Геодезия.
М.: Недра, 1993.
2. Неумывакин Ю. К., Смирнов А. С. Практикум по геодезии. М.: Недра, 1985.
2. Неумывакин Ю. К., Смирнов А. С. Практикум по геодезии. М.: Картгеоцентр-геодезиздат”, 1995.
3. Поклад Г.Г. Геодезия (ч. 2). Учебник. Воронеж, издательство «Истоки», 2004-227с.
4. Лысов А. В. Геодезия. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению курсовой работы студентами
2 курса очной и 3 курса заочной формы обучения специальностей 310900 “Землеустройство” и 311000 ”Земельный ка4
дастр”. ФГОУ ВПО «Сарат. гос. агр. ун-т им. Н.И.Вавилова»,
Саратов, 2004. 52с.
На кафедре:
1. Лысов А. В. Геодезия. Электронное пособие по изучению дисциплины и выполнению курсовой работы студентами
2 курса очной и 3 курса заочной формы обучения специальностей 310900 “Землеустройство” и 311000 ”Земельный кадастр”. ФГОУ ВПО «Сарат. гос. агр. ун-т им. Н.И. Вавилова»,
Саратов, 2004. 52 с.
Дополнительная литература:
В библиотеке:
1. Батраков Ю. Г. Геодезические сети сгущения. М.:
Недра, 1987.
2. Геодезия. Топографические съемки. Справочное пособие. Ю. К. Неумывакин,
Е. С. Халугин, П. Н. Кузнецов и др. - М.: Недра, 1991.
3. Неумывакин Ю. К., Перский М. И. Автоматизированные
методы геодезических
измерений в землеустройстве. - М.: Недра, 1990.
4. Инструкция по топографической съемке в масштабах
1:5000,1:1000 и 1:500. - М.: Недра, 1985.
5. Условные знаки для топографических планов масштаба
1:10000. М.: Недра, 1977
6. Условные знаки для топографических планов масштабов
1:5000, 1:2000, 1:1000 и 1:500. - М.: Недра, 1989.
7. Таблицы координат Гаусса-Крюгера и таблицы размеров
рамок и площадей трапеций топографических съемок.
1.3 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ОСНОВНЫХ
РАЗДЕЛОВ КУРСА
Раздел 1. Перед выполнением задания по тахеометрической съемке необходимо изучить § 106-110 учебника [1]. Осо5
бое внимание должно быть уделено методике обработки тахеометрических ходов, съемке ситуации и рельефа, составлению плана по результатам тахеометрической съемки. Исходные данные для выполнения задания выбираются из табл. 2.1.
Вариант задания равняется сумме трех последних цифр шифра. Например, если шифр 86128, номер варианта равен 1 + 2 +
8 = 11.
Из табл. 2.1 выбираем исходные данные дирекционных углов: начальный 222°01 для пунктов Усово - 216 и конечный
354°31 для пунктов 225-226, координаты точки 225 Х =
4217.80, У = -2381.44, высоты точек 225 - 219.91, 216 223.17.
Раздел 2. Перед выполнением задания по теории погрешностей геодезических измерений необходимо изучить по
учебнику [1] § 112-122, 124-133.
Следует обратить внимание на определения и формулы
вычисления погрешности, средних квадратических погрешностей, дисперсии, предельной погрешности, веса, средней квадратической погрешности единицы веса, среднего арифметического и среднего весового. Студент при этом должен четко
представлять разницу между равноточными и неравноточными измерениями, знать правила их обработки и оценки точности, уметь пользоваться общей формулой для оценки точности
функции измеренных величин и формулами для оценки точности по невязкам.
После изучения теории необходимо освоить решение типовых задач
Разделы 3, 4, 5, 6 курса изучаются по учебнику [1] (главы
X, XI, XII, XIII, XV). Студент должен познакомиться со схемами и методами создания государственных геодезических
сетей, сетей сгущения и съемочных сетей.
При изучении проекции и системы прямоугольных координат Гаусса необходимо обратить особое внимание на вопросы искажения длины линий и площадей, а также номенклатуры листов топографических карт и планов.
Лабораторные работы по этим разделам курса студент выполняет в период очной сессии. При этом непосредственно
6
перед проведением лабораторных работ по вычислению
координат дополнительных пунктов необходимо ознакомиться с соответствующим разделом настоящих методических указаний.
Раздел 7. Перед выполнением задания по уравниванию сетей необходимо по учебнику [1] изучить § 155, 165, 166.
Задание
на выполнение курсовой работы по теме
“Геодезические сети”
1. Устройство геодезических сетей при съемке больших
территорий
1.1 Государственные геодезические сети
1.2 Геодезические сети сгущения
1.3 Съемочные сети
2. Измерения в геодезических сетях
2.1 Устройство и измерение углов теодолитом 3Т2КП
2.2 Устройство и измерение расстояний светодальномером
СТ5 (”Блеск”)
2.3 Устройство электронного тахеометра 2Та5. Измерение
им горизонтальных и вертикальных углов, расстояний, координат Х, У, Н точек местности
3. Погрешности геодезических измерений
3.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и
условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения.
3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формулы Гаусса и
Бесселя для ее вычисления
3.3 Оценка точности по разностям двойных измерений и
по невязкам в полигонах и ходах
3.4 Функции по результатам измерений и оценка их точности.
4.Определение дополнительных пунктов
4.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов.
4.2 Передача координат с вершины знака на землю. (Решение численного примера)
7
4.3 Решение прямой и обратной засечки по варианту задания
5. Уравнивание системы ходов съемочной сети
5.1 Общее понятие о системах ходов и их уравнивании
5.2 Упрощенное уравнивание системы теодолитных ходов
по варианту задания
6. Тахеометрическая съемка
6.2 Вычисления в журнале тахеометрической съемки
6.2 Вычисления в ведомости координат тахеометрического
хода по варианту задания
6.3 Вычисления в ведомости высот тахеометрического хода
6.4 Вычерчивание и оформление плана тахеометрической
съемки
Задание выдал преподаватель:
Задание принял к исполнению студент:
Дата:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Самостоятельная работа студентов очной формы обучения
выполняется в специализированной геодезической аудитории
и компьютерном классе в часы, отведенные для консультаций
по геодезии. Темы и количество часов самостоятельной работы следующие:
- мензульная съемка (решение обратной угловой засечки) - 4 ч
- тахеометрическая съемка (расчетно-графическая работа
на ЭВМ) - 6 ч
- подготовка к рубежному контролю (зачету за третий семестр) - 4 ч
- решение задач по теории погрешностей - 16 ч
- измерения в геодезических сетях точными теодолитами
3Т5КП и 3Т2КП - 4 ч
8
- измерения в геодезических сетях электронными приборами СТ5 и 2Та5 - 4 ч
- вычисления по определению координат дополнительных
пунктов - 6 ч
- уравнивание системы теодолитных ходов - 6 ч
- определение номенклатуры и координат углов планшета
карты - 4 ч
- подготовка к выходному контролю (экзамен за второй
курс - 6 ч
- итого: - 60 ч
2. ТАХЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА
2.1 ЗАДАНИЕ
По полевым материалам: журналу тахеометрической съемки и абрисам произвести необходимые вычисления и составить план участка в масштабе 1:2000 с высотой сечения рельефа горизонталями через 1 м.
Измерения выполнялись теодолитом Т-ЗО. Исходные данные - табл. 2.1, результаты полевых измерений - табл. 2.3, абрис (рис. 2.1, 2.2).
2.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА
ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА
В журнале тахеометрической съемки (табл. 2.3) вычислить
для каждой станции среднее значение горизонтального угла,
место нуля МО, углы наклона , горизонтальные проложения
линий и превышения h между съемочными точками.
Если расхождение между значениями горизонтального угла, полученного из полуприемов на станции, не превышает 2',
то вычисляется среднее значение горизонтального угла.
МО = (Л + П + 180) / 2,  = Л - МО,  = МО - П - 180
9
(2.1)
При пользовании формулами (2.1) к малому отсчету (от 0°
до 60°) прибавляют 360°. Колебания значений МО на данной
станции не должны превышать 1,5'. Превышения вычисляют
непосредственно по формуле:
h = 1/2 D sin2 + i - V,
(2.2)
где D = 100 l + ; i - высота прибора;
V - высота наведения.
Расхождения между абсолютными значениями прямых и
обратных превышений допускается не более 4 см на 100 м.
Расстояния между съемочными точками хода определялись по дальномеру. Поэтому, если углы наклона  < 3, то
принимается D' = S. Если  > 3°, то надо вычислить горизонтальные проложения по формуле:
S = D cos2
Рис.2.1 Абрис тахеометрической съемки
10
Рис.2.2 Абрис тахеометрической съемки
Таблица 2.1
Варианты индивидуальных заданий по тахеометрической съемке
Х216 = 4255.70, У216 = - 2009.00*
N вариантов
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Дирекционные углы
Усово-216
225-226
 
 
2
3
221 11
353 41
221 16
353 46
221 21
353 51
221 26
353 56
221 31
354 01
221 36
354 06
221 41
354 11
221 46
354 16
221 51
354 21
Координаты т. 225, м
Высоты точек, м
Х
У
225
216
4
4212,40
4212,94
4213,48
4214,02
4214,56
4215,10
4215,64
4216,18
4216,72
5
- 2380,84
- 2380,90
- 2380,96
- 2381,02
- 2381,08
- 2381,14
- 2381,20
- 2381,26
- 2381,32
6
209,19
210,19
211,27
212,35
213,43
214,51
215,59
216,67
217,75
7
212,46
213,45
214,53
215,61
216,69
217,77
218,85
219,93
221,01
11
Окончание таблицы 2.1
1
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
221 56
222 01
222 06
222 11
222 16
222 21
222 26
222 31
222 36
222 41
222 46
222 51
222 56
223 01
223 06
223 11
223 23
223 35
223 47
223 59
224 11
3
354 26
354 31
354 36
354 41
354 46
354 51
354 56
355 01
355 06
355 11
355 16
355 21
355 26
355 31
355 36
355 41
355 53
356 05
356 17
353 29
356 41
4
4217,26
4217,80
4218,34
4218,89
4219,43
4219,97
4220,51
4221,05
4221,59
4222,13
4222,67
4223,21
4223,75
4224,29
4224,83
4225,20
4226,58
4227,88
4229,43
4230,34
4231,83
5
- 2381,38
- 2381,44
- 2381,50
- 2381,54
- 2381,59
- 2381,64
- 2381,69
- 2381,74
- 2381,79
- 2381,84
- 2381,89
- 2381,94
- 2381,99
- 2382,04
- 2382,09
- 2381,83
- 2381,98
- 2382,21
- 2382,20
- 2382,29
- 2382,61
6
218,83
219,91
220,99
221,07
222,15
223,23
224,31
225,39
226,47
227,55
228,63
229,71
230,79
231,87
232,95
234,03
235,11
236,19
237,27
238,35
239,43
7
222,09
223,17
224,25
224,33
225,34
226,42
227,50
228,58
229,66
230,74
231,82
232,90
233,98
235,06
236,14
237,22
238,31
239,39
240,47
241,55
242,63
* Координаты т. 216 одинаковые для всех вариантов.
2.3 ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ СЪЕМОЧНЫХ ТОЧЕК
ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА
В «Ведомость вычисления координат» из тахеометрического журнала выписать средние значения горизонтальных
углов хода и соответствующие величины горизонтального
проложения линий тахеометрического хода, полученные как
средние значения между прямыми и обратными измерениями
линий хода.
Из таблицы 2.1 выписать в ведомость координат необходимые исходные данные:
нач, кон, нач, кон.
12
Вычислить угловую невязку f. Допустимую невязку вычислить по формуле:
f дол. = 1' n ,
где n - число углов хода.
Если f < f доп, то увязать углы и по исправленным углам,
вычислить дирекционные углы сторон хода (для удобства вычислений на микрокалькуляторе значения углов можно записывать в долях градуса).
Вычислить приращения координат (с округлением до 0,1
м), невязки по осям и линейную невязку fs.
Допустимую невязку вычислить по формуле:
fs доп = S /400 n,
где S - длина хода в метрах; n - число сторон в ходе.
Если f s < f s доп, увязать приращения координат и вычислить координаты съемочных точек хода.
2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТ СЪЕМОЧНЫХ ТОЧЕК
ТАХЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХОДА
В ведомость вычисления высот станций (2.2) выписать:
- из табл. 2.1 высоты исходных пунктов Ннач, Нкон,
- из журнала тахеометрической съемки - горизонтальные
проложения, прямые и обратные превышения между съемочными точками. Если расхождения между прямыми и обратными превышениями допустимы, вычислить их среднее значение по формуле:
hср i = (hпр - hобр) / 2
Вычислить невязку в превышениях fh и допустимую невязку:
f h доп = (0.04 S) /  n (см),
13
где S - длина хода в метрах; n - число линий хода.
Если f h < f h доп, увязать превышения (поправки в превышениях вычисляют пропорционально длинам сторон) и вычислить высоты съемочных точек.
Таблица 2.2
Ведомость вычисления высот съемочных точек
N точек
 216
1
...
 225
S
 h ср =
hт=
Расстояние
S, м
прямые
обратные
Превышения
средние поправки
исправл.
Высота
точек, H
fh =
f h доп =
2.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТ СЪЕМОЧНЫХ ПИКЕТОВ
Из ведомости вычисления высот (табл. 2.2) выписать в
журнал тахеометрической съемки высоты съемочных точек.
Вычислить последовательно углы наклона на съемочные
пикеты на каждой съемочной точке хода по формуле:
___
 = Л - МО,
___
где МО - среднее значение МО из двух определений на
съемочной точке, округленное до 1'.
Вычислить превышения на съемочные пикеты. Если наведение средней нити производилось на точку рейки, соответствующую высоте прибора (i = V), то превышение до пикета
вычисляются по формуле:
h = 1/2 Dsin2
Если наведение на рейку выполнялось не на высоте прибора (i
 V), то для вычислений надо использовать общую формулу (2.2).
14
Высота наведения в этом случае записывается в графе «Примечания» в строке против соответствующего пикета.
Заметим, что при углах наклона  > 3° необходимо вычислять горизонтальные проложения.
Вычислить высоты съемочных пикетов и записать их в соответствующую строку тахеометрического журнала.
H i = H ст + hi,
i - номер пикета.
2.6 СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА УЧАСТКА
На чертежной бумаге размером З0х40 см простроить сетку
квадратов со сторонами 10 см. Значение подписей координат
сторон сетки для масштаба 1 : 2000 должны быть кратны 200 м.
По координатам нанести все съемочные точки тахеометрического хода. На плане записать (в виде дроби) номера и высоты съемочных точек.
Используя геодезический транспортир и поперечный масштаб, нанести на план съемочные пикеты. Справа от пикета
записать его номер и высоту, округленную до 0,1 м.
По данным абриса нанести на план границы угодий, ручей, озеро.
По высотам съемочных пикетов произвести интерполяцию
горизонталей «на глаз» по направлениям, указанным на абрисах стрелками и провести горизонтали через 1 м по высоте.
Следует иметь в виду, что интерполяцию можно производить
только между пикетами соединенными стрелками.
Если между двумя пикетами проходит несколько горизонталей, то они должны находиться на одинаковом расстоянии
друг от друга.
Подписав на плане высоту уреза воды в озере как среднее арифметическое из всех значений высот уреза с округлениями до 0,01 м, вычертить план в соответствии с
условными знаками.
15
Вопросы для самопроверки:
1. Что является контролем измерения вертикальных углов
на станции при проложении тахеометрического хода?
2. Вычислить превышение по данным:  = -1°16, S = 121,7
м, i = 1,35 м, если наведение средней нити сетки было сделано
на основании рейки. Ответ: h = -1,34 м.
3. Как установить горизонтально визирную ось трубы тахеометра для нивелирования горизонтальным лучом, если на
трубе тахеометра нет уровня?
4. Можно ли вычислить превышение по таблицам, составленным по формуле S tg, если расстояние определено по
дальномеру?
5. Горизонтальное расстояние S = 150,0 м,  = +10°20.
Найти превышение с помощью микрокалькулятора, если i = v.
6. Вычислить МО и угол наклона v, если П=180°25, Л =
359°20, П= 177°52, Л = 1°55.
7. Вычислить допустимую невязку в превышениях тахеометрического хода, если S=380 м, а число станций n = 4?
8. Вычислить допустимую невязку в приращениях координат тахеометрического хода, если S=602 м, n = 6.
Таблица 2.3
Журнал тахеометрической съемки
Дальн.
расст.
D=
=100l+
, м
Усово
Отсчеты по
гориз.
кругу 
Гориз.
углы ,
(проложен.,
м)
245 39
КП
наблюдал
МО=Л+П+180
2
=МО-П-180
=Л-МО, 
177 33
359 50
180 23
359 49
Превышения
h=
(D/2)
sin2 +
i - v, м
дата
Высоты
H=Hст+h
или
H=Hст+
+ h, м
Примечания
N
точек
наблюдения
i = 1.40 H ст =
S = D cos2 
Отсчеты
по вертик. кругу,

Положение вертикального
круга
Станция  . 216
122 15
* 1
123 24
122 14.5
Усово
63 57
КЛ
КЛ
2 07
122 14
* 1
* 1
1
118.5
42
301 43
0 00
114 35
359 15
- 0 34
- 2.77
359 12
- 0 38
- 0.46
16
V=3.00
Дальн.
расст.
D=
=100l+
, м
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
* 1
45.5
73
74.5
98
124
145
136
124
83
39.5
58
35
42
53
80.5
Отсчеты по
гориз.
кругу 
148 25
175 20
223 35
264 05
293 15
312 45
319 15
311 45
307 55
305 55
274 45
221 35
17 40
74 15
59 55
0 03
Гориз.
углы ,
(проложен.,
м)
(72.7)
(74.2)
МО=Л+П+180
2
=МО-П-180
=Л-МО, 
357 58
356 12
356 11
357 57
358 00
357 55
357 59
359 53
359 18
358 26
357 36
0 25
358 18
357 34
- 1 52
- 3 38
- 3 39
-1
-1
-1
-1
+0
53
50
55
51
03
Превышения
h=
(D/2)
sin2 +
i - v, м
- 1.48
- 4.62
- 4.73
- 4.67
- 4.64
- 4.55
- 4.00
- 1.53
Высоты
H=Hст+h
или
H=Hст+
+ h, м
Примечания
N
точек
наблюдения
Отсчеты
по вертик.
кругу, 
Положение
вертикального
круга
Продолжение таблицы 2.3
V=2.00
V=3.00
V=3.00
Станция * 1 i = 1.35 H ст =
 216
344 29
178 14
* 2
121 29
179 30
КП
КЛ
 216
118
161 45
1 26
* 2
157
298 46
0 09
 216
178 24
* 2
179 41
Произведено
приведение места
нуля
к нулю
КП
 216
1 37
V=1.82
* 2
0 21
V=3.00
КЛ
КЛ
 216
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
216
Станция * 2
* 1
71
102
48.5
55
101
113.5
101.5
61
76
64
90
80
32
0 00
292 00
317 05
332 00
57 05
79 05
86 45
108 05
94 00
124 15
161 00
198 30
227 40
225 00
0 01
i = 1.33
359 10
Высота
наведения на
рейку
равнялась
высоте
прибора
(V = i)
0 12
359 49
358 56
358 23
358 53
359 28
359 18
359 49
0 35
1 09
1 43
1 20
V=2.00
H ст =
179 34
КП
17
225
225 07
179 05
* 1
158
178 01
0 27
V=1.78
225
127
43 58
0 55
V=3.00
* 1
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
* 1
84.5
106
62
39.5
78
59
24
61
82
128
117
-
0 00
36 10
62 00
73 30
130 00
178 30
223 30
340 00
307 30
264 00
283 10
305 55
0 00
359 53
359 31
358 20
359 10
0 13
5 01
1 19
0 58
1 07
1 15
КЛ
V=1.50
V=3.00
Станция  225 i = 1.33 H ст =
* 2
299 49
226
191 34
179 24
КП
* 2
127
125 16
0 36
V=3.00
КЛ
226
17 01
3. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
3.1 РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Для выполнения задания по теме: «Оценка точности измерений» необходимо решение двадцати контрольных задач.
Задание выполняется в соответствии с вариантами, данными в табл. 3.1. Номер варианта должен быть равен сумме трех
последних цифр шифра.
Для усвоения темы необходимо проработать перечень вопросов, предназначенных для самопроверки, приведенный в
конце раздела.
При решении контрольных задач необходимо обратить
внимание на следующее:
1. При вычислении средних квадратических погрешностей
и весов измерений в промежуточных результатах следует
18
удерживать две-три значащие цифры, причем в случае суммирования оставлять две значащие цифры в наибольшем по абсолютной величине слагаемом, остальные слагаемые вычислять с тем же числом десятичных знаков, которое будет иметь
наибольшее слагаемое; окончательные значения следует
округлять до двух значащих цифр.
Вычисления по формулам следует приводить к виду:
______
_____
m =  [ 2] / n,
m =  300 / 6 = 7.1
Не следует записывать в виде
______
______
___
m = [ 2] / n =  300 / 6 =  50 = 7.1
В такой записи допущены три ошибки: буквенное выражение не равно численному; запись 50 является лишней; обозначения угловых секунд следует применять как 7.1 а не 7.1
(последний случай соответствует единицам времени 2h35m15s.4).
Окончательный результат вычислений должен содержать
наименование единиц отрабатываемой величины.
3.2 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
ПО ИСТИННЫМ ПОГРЕШНОСТЯМ
Формулы для оценки точности.
Истинная погрешность  = l - a.
Формула Гаусса средней квадратической погрешности
______
______
2
m = [  ] / n, или m =  [ ] / n,
где [] - символ суммы, по Гауссу, т. е.
[ 2] = 21 + 22 + . . . 2n.
19
Средняя квадратическая погрешность самой погрешности:
__
mm = m / 2n
Предельная погрешность пр =  m, где  - коэффициент
принимаемый в соответствии с выбранной вероятностью. Для
вероятности Р=0,997 коэффициент  = 3, поэтому следует
применять формулу в виде
 пр = 3 m
Решение примеров
Пример 1
Для исследования точности измерения угла 30" теодолитом посредством его был измерен угол 8 раз (см. табл.). Тот
же угол был измерен высокоточным прибором и при этом получен результат 124°1802=124°18, 03'. Приняв этот результат
за точное значение угла, вычислить среднюю квадратическую
и предельную погрешности измерения угля исследуемым теодолитом.
Решение:
№
измерений
1
2
3
4
5
6
7
8
Сумма
Результаты
измерений, l
12417.8
18.4
18.5
18.0
17.9
17.7
18.1
18.0
______
m = 0.54 / 8 = 0.26;
Погрешности
=l-X
- 0.23
+ 37
+ 47
- 03
- 13
- 33
+ 07
- 03
2
0.05
14
22
00
02
11
00
00
0.54
__
mm = 0.26 / 16 = 0.065  0.06
20
пр = 3 x 0.26 = 0.78
Пример 2
Радиодальномером РДГ и светодальномером измерены несколько линий полигонометрических ходов. Последние измерения приняты за истинные, что позволило вычислить погрешности радиодальномерных измерений. При этом получен
следующий ряд из 50 погрешностей (см табл. ). Необходимо
вычислить среднее арифметическое значение погрешности,
среднюю квадратическую погрешность, произвести оценку
надежности СКП, вычислить предельную погрешность.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

+ 14
+3
-4
-4
+4
- 10
- 11
+6
-4
-3
N
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

-1
+1
+6
+5
- 13
+4
+3
+4
-1
+5
N
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

+5
-2
+ 14
+ 11
+2
+6
-1
- 12
-2
+4
N
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

+8
+ 10
- 10
-4
+ 10
+2
- 10
- 13
-2
-8
N
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

-1
+2
+ 14
-6
-4
-8
+2
+2
+5
+ 10
Таблица 3
Варианты индивидуальных задач
№№
вариантов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
  
39 16 00
16 03
16 06
16 09
16 12
16 15
16 18
16 21
16 24
16 27
16 30
16 33
16 36
16 39
16 42
3
 
2 30
1 45
3 10
3 00
3 30
3 45
4 00
4 12
4 28
4 35
4 42
4 50
4 55
5 00
5 02
6
 
60 41
42
43
40
41
42
43
42
41
40
41
42
43
42
41
Номера контрольных задач *
7
8
10
12
га
С

26,25
19.9
5
3
26
20.0
10
4
27
21.1
15
6
28
20.2
20
9
29
20.3
25
6
30
20.4
30
4
31
20.3
25
3
32
20.2
20
4
33
20.1
15
6
34
20.0
10
9
35
19.9
5
4
34
20.0
10
6
33
20.1
15
9
32
20.2
20
3
31
20.3
25
4
21
16
17
18
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
6,4
4,6
6,10
10,6
4,10
10,4
6,4
4,6
6,10
10,6
6,10
4,10
10,4
6,4
4,6
10,15
16,14
18,16
16,18
10,15
14,16
16,18
15,10
14,16
16,18
15,10
16,14
18,16
10,14
14,10
Окончание таблицы 3
№№
вариантов
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
  
16 45
16 48
16 51
15 48
15 51
15 54
15 57
16 01
16 04
16 05
16 10
16 15
16 20
16 25
16 28
3
 
5 05
5 24
5 17
5 30
5 32
5 33
5 35
5 40
5 42
5 45
5 47
5 51
5 53
5 58
6 01
6
 
40
41
42
43
42
41
40
41
42
43
42
41
40
41
42
Номера контрольных задач *
7
8
10
12
га
С

30
20.4
30
6
29
20.5
25
9
28
20.4
20
3
27
20.3
15
4
26
20.2
10
6
25
20.1
5
9
26
20.0
10
3
27
19.9
15
4
28
20.0
20
6
29
20.1
25
9
30
20.2
30
3
31
20.3
25
4
32
20.4
20
6
33
20.5
15
9
34
20.3
10
4
16
17
18
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
2
4
6
4
6,10
10,6
4,10
10,4
6,4
4,6
6,10
10,6
4,10
10,4
6,4
4,6
6,10
10,5
4,10
15,10
10,15
16,18
18,16
10,15
16,14
16,18
10,15
16,18
14,16
16,14
15,10
10,15
16,18
18,16
* Данные для решения задач, номера которых не указаны в
таблице, общие для всех студентов.
_
_
=/n;
 = +28 / 50 = + 0.6 см
Среднюю квадратическую погрешность в данном случае
целесообразно вычислять по формуле:
  n 
2
2
m
n 1
m
2554 
28 
49
2
50  7,20 см
Оценку надежности вычисляют по формуле:
______
mm = m / 2(n - 1) = 0.7 см
Следовательно, СКП следует округлить до десятых долей
сантиметра. Тогда окончательно m = 7.2 см.
Предельная погрешность:
пр = 3  7.2 = 21.6  22 см
22
Заметим, что в обрабатываемом ряде измерений максимальная погрешность mмах = +14 см.
Контрольная задача 1
Для исследования теодолита им был многократно измерен
один и тот же угол. Результаты оказались следующими:
39°17.4; 39°16.8; 39°16.6; 39°16.2; 39°15.5; 39°15.8;
39°16.3; 39°16.2. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат . . . . . . . . Приняв это
значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надежность СКП, найти предельную
погрешность.
Контрольная задача 2
Дана совокупность невязок треугольников триангуляции
объемом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести оценку надежности СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:
__
Lim [] / n = 0, для чего вычислить W = [W] / n.
n
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W”
+ 1,02
+ 0,41
+ 0,02
- 1,88
- 1,44
- 0,25
+ 0,12
+ 0,22
- 1,05
+ 0,56
N
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
W”
- 1,72
+ 1,29
- 1,81
- 0,08
- 0,50
- 1.89
+ 0.72
+0,24
- 0,13
+ 0,59
N
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
W”
- 0,90
+ 1,22
- 1,84
- 0,44
+ 0,18
- 0,08
- 1,11
+ 2.51
- 1,16
+ 1,65
23
N
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
W”
+ 2,80
- 0,81
+ 1,04
+ 0,42
+0.68
+ 0,55
+ 0.22
+ 1,67
+ 0,11
+ 2,08
N
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
W”
- 0,44
- 0,28
- 0.75
- 0,80
- 0,95
- 0,58
+ 1.60
+ 1.85
+ 2,22
- 2,59
3.3 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ
ВЕЛИЧИН
На этот раздел следует обратить особое внимание и учесть
программу определения средней квадратической погрешности
функции, вычисляемой по аргументам, которые измеряются с
погрешностями.
Функция задана в общем виде:
у = f (х6, х2, . . . , хn ), где хi - аргументы, средние квадратические погрешности которых известны, т. е. заданы mi ).
СКП функции находится по формуле:
m2y = (y /  x1 )2 m21 + (y / x2)2 m22 + . . . + (y / xn )2 m2n,
где y /  xi - частные производные функции по каждому
аргументу в отдельности.
Порядок вычисления СКП функции общего вида должен
быть следующий:
- записывается функция в явном буквенном выражении,
например V = R2·Н (объем цилиндра). В данном случае объем является функцией двух аргументов - радиуса и высоты,  постоянная;
- выписывается формула СКП для функции в общем виде:
m2V = (V / R )2m2R + (V / H)2m2H,
учитывая, что производная по постоянному равна нулю
( V /  = 0);
- отдельно берутся частные производные, входящие в
формулу СКП:
V / R = 2 RH;
V / H = R2;
24
- выражения частных производных подставляется в формулу СКП:
m2V = (2 RH)2m2R + (R2)2m2H;
- в соответствии с условием задачи в полученную формулу
подставляются числовые значения постоянных, аргументов и
их средних квадратических погрешностей. Находят величину
m = m2.
Решение примеров
Пример 3
Найти СКП превышения, полученного на одной станции
геометрического нивелирования по черным сторонам реек,
если СКП отсчета по рейке m0 равна 1 мм.
Решение: превышение вычисляется по формуле h = a - b,
где а и b - отсчеты соответственно по задней и передней
рейкам.
В этой формуле превышение h является функцией отсчетов а и b. Так как эта функция такого же типа, как функция
u =  х1 ± х2 ± . . . ± хn + с, с равноточными аргументами, для
которой СКП определяется по формуле mu = mn, то для рассматриваемой функции будет:
mh = mо 2.
В результате получим
m h = 1 2 = 1,4 мм.
Пример 4
Линия теодолитного хода измерена частями со средними
квадратическими погрешностями m1 = 0,01 см, m2 = 0,02 см,
m3 = 0,03 см. Определить СКП всей длины линии.
25
Выписываем функцию в явном виде:
D = D1 + D2 + D3.
Формула СКП примет вид: m2D = m21 + m22 + m23
Подстановка числовых значений даст окончательный результат:
m2D = (0.01)2 + (0.02)2 + (0.03)2 = 0,0014,
_____
mD = 0.0014 = 0,037  0,04 см.
Пример 5
Определить СКП превышения, полученного на станции
геометрического нивелирования по черным и красным сторонам реек, если СКП отсчета по рейке m0= 1 мм.
Превышение по черным сторонам реек равно hч =ач - bч,
превышение по красным сторонам реек равно hк = ак - bk.
Окончательно функция примет вид:
hср = (hч - hк) / 2
или
hср = ( ач - bч) / 2 + (а к - b к) / 2
для определения СКП функцию удобно иметь в виде:
hср = 1/2 ач - 1/2вч + 1/2ак - 1/2bк
В учебном пособии [1] такой функции аналогичен вид
функции:
n
u   k i  xi  c
1
Формула СКП примет вид:
m2h ср = 1/4 m2о + 1/4 m2о + 1/4 m2о + 1/4 m2о,
26
так как при равноточных измерениях ma ч= mb ч = ma k = mb k =
mо, то подставляя значение mо = 1 мм, получим:
m2h = 1 мм,
mh = 1 мм.
Пример 6
Вычислить СКП приращения  х = Scos , если S = 489.98
м; ms = 0.11 м;  = 14430.0; m = 1.0.
Решение: Так как функция х = Scos  нелинейная, то для
вычисления ее СКП применяем формулу с частными производными:
m2 x = ( x / S )2 m2s + ( x /  )2 m2 / 2 ,
В этой формуле m в радианной мере выражена через m /
, где m - в градусной мере, а  - градусная величина радиана, равная 3438.
Найдем выражение для частных производных:
 /  S = cos ,
 /  = - S sin 
и подставим их в предыдущее равенство:
m2 = (cos  ms )2 + ( - S sin  (m / ) ) 2
Заменив буквы соответствующими числами, получим:
m2= (cos 144300.11)2 + ( - 490 sin 14430(1.0/3400)) 2 =
0.0080 + 0.0070 = 0.0150
Отсюда:
m = 0,12 м
27
Контрольная задача 3
При тригонометрическом нивелировании были получены
величины: расстояние, измеренное нитяным дальномером D =
210.5  0.8 м; угол наклона визирной оси при наведении на
верх рейки  = ...0,5'; высота прибора i = 1,30 ± 0,008 м, высота рейки V = 3,00 ± 0,015 м.
Вычислить превышение и его предельную погрешность.
Указание: функция для оценки точности имеет вид
h = 1/2 Dsin2 + i - V
Контрольная задача 4
При определении расстояния АВ, недоступного для измерения лентой, в треугольнике АВС были измерены:
базис АС = 84,55 ± 0,11 м, углы А = 5б°27' и С= 35°14' с
СКП равной m  = 1'.
Вычислить длину стороны АВ и ее СКП.
Указание: для решения задачи применить теорему синусов.
Контрольная задача 5
Определить СКП расстояния, вычисленного по формуле:
____________________
S =  (Х2 - Х1 )2 + (У2 - У1 )2
если X2 = 6 068 740 м; Y2=431 295 м;
X1 = 6 068 500 м; Y1 = 431 248 м.
mх = m у = 0,1 м.
3.4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РАВНОТОЧНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
При математической обработке равноточных измерений
решаются в совокупности следующие три задачи:
1) определение наилучшего значения измеряемой величины в виде простого среднего арифметического значения
28
L = [1] / n;
2) оценка точности результатов равноточных измерений по
формуле Бесселя:
__________
m = [vv] / (n - 1),
где v - уклонения от арифметического среднего;
3) оценка точности среднего арифметического значения по
формуле:
М = m / n
Для компактного размещения промежуточных вычислений
по приведенным формулам применяется табличная форма.
Решение типового примера
Пример 7
Линия теодолитного хода измерена мерной лентой пять
раз. Получены следующие результаты: 217,24 м; 217,31 м;
217,38 м; 217,23 м; 217,20 м. Произвести математическую обработку ряда равноточных измерений.
N п/п
1
2
3
4
5
l, м
217.24
31
38
23
20
, см
+4
+11
+18
+3
0
v, см
+3
-4
+11
+4
+7
v2, см
9
16
121
16
49
 2, см
16
121
324
9
0
где 10 - минимальное значение измеряемой величины, в
данном случае 10 = 217,20 м
 - остаток, полученный как  = li - l0 в сантиметрах.
L = 217,20 + 36 / 5 = 272,272 м
29
или L = 272.27 м
Уклонения V вычисляются по формуле v = L - l. Контроль:
[v] = 0. За счет округления величины L контролем служит выражение [v]   n, где  - погрешность округления (в нашем
случае  = - 0,002 м = - 0,2 см).
Имеем -0,2  5 = - 1; следовательно, [v] = -  n.
Контроль вычисления [v2]; [v2] = [2] - []2 / n; 211 = 470 - 259.
Вычисление СКП:
_____
m = 211 / 4 = 7,3 см
Оценка надежности СКП по формуле:
_______
mm = m1 / 2 (n - 1),
mm = 7.3 / 8 = 2.6 см
Следовательно, в величине m1, следует оставить только
одну значащую цифру, т. е. m1 = 7 см.
СКП уравненного значения измеряемой величины:
М = m1 / n = 3.3  3 см
Контрольная задача 6
Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60°41;
6040; 60°40; 60°42; . . .
Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.
Контрольная задача 7
Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26.31;
26.28; 26.32; 26.26; ....... га.
Контрольная задача 8
При исследовании сантиметровых делений нивелирной
рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отсчета. Для пяти сантиметровых отрез30
ков получены значения: 20.3°; 19.9°; 20.1°; 20.2°. . . Провести
математическую обработку результатов измерения.
3.5 ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИИ
Определение веса соответствует формуле Р = К / 2 ,
тле К - произвольное число;  - стандарт (теоретическое
значение СКП). При большом числе измерений m  , тогда
P = K / m2
Вес есть надежность измерения, выраженная числом. Вес
служит для сравнения точности неравноточных измерений.
Решение типовых примеров
Пример 8
Два угла измерены разными наблюдателями с СКП:
m1 = 0,3'; m2 = 0,5'. Определить веса этих измерений.
По формуле веса:
P1 = K / 0.09;
P2 = K / 0.25
Для получения весов, удобных для сравнения, анализа и т. д.,
целесообразно коэффициент К выбрать следующим образом:
К = (m1)2 ·(m2)2 100; К = 0,09·0,25·100
Тогда получим:
Р1 = (0.09025100)/0.09 = 25, Р2 = (0.09  0.25 100)/0.25= 9
откуда следует, что первый результат является надежнее второго.
Контрольная задача 9
Результатам измерения углов соответствуют m1 = 0,5. m2=
0,7; m3 = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.
31
Контрольная задача 10
Веса результатов измерений горизонтальных углов равны
0,5; 1,0; 1,5; 2,0 соответственно. Вычислить их СКП, если известно, что СКП единицы веса равна . . . . .
Указание: при решении задачи воспользоваться формулой,
связывающей Р, m , и  .
Контрольная задача 11
Найти вес невязки в сумме углов треугольника, если все
углы измерены равноточно.
Контрольная задача 12
Чему равен вес среднего арифметического значения угла
полученного из . . . . . приемов?
Указание: при решении задачи воспользоваться свойствами весов измерений.
При определении веса функции измеренных величин
необходимо усвоить следующую программу:
1) записывается функция в явном виде;
2) определяется СКП этой функции по вышеизложенным
правилам;
3) осуществляется переход от СКП к обратному весу в соответствии с формулой:
Р = K / m2. При K = 1 получаем обратный вес 1/P = m2.
Решение типовых примеров
Пример 9
Вычислить вес дирекционного угла девятой стороны теодолитного хода, если углы хода измерены с m = 0.5'. Исходный дирекционный угол считать безошибочным.
Функция в соответствии с условием задачи имеет вид:
9 = о + 180°·9 i
СКП такой функции определяется по формуле:
32
m29 = m21 + m22 + . . . m29 = 9 m2
С учетом численного значения m получим:
m29 = 9·0,25=2,25'. Обратный вес равен 1 / P = m29, или
1 / P = 2,25, откуда Р = 0,45.
Пример 10
Определить вес площади прямоугольного треугольника, если
катеты, а =50 м и b = 80 м измерены с весами Ра= 2, Рb= 3.
Решение:
S = ab / 2; mS2 = (S /  a)2ma2 + (S / b)2 mb2;
1 / Ps = (S /  a)2 1 / Pa +(S / b)2 1 / Pb ;
1 / Ps = 1 / 4 b2  1 / Pa + 1 / 4 a2  1 / Pb; 1 / Ps = 1/4  802  1/2
+1/4 502  1/3 = 1008;
Ps  0.001
Контрольная задача 13
Определить вес гипотенузы прямоугольного треугольника,
вычисленной по измеренным катетам а = 60 м и b = 80 м, если
Рa = 1 м и Рb = 0,5.
Контрольная задача 14
В треугольнике один угол получен 6 приемами, второй 18, а третий - вычислен. Найти вес третьего угла, приняв вес
измеренного одним приемом угла за единицу.
Контрольная задача 15
Чему равен вес угла, измеренного тремя приемами, если
вес угла, измеренного одним приемом, равен 1?
33
3.6 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИИ
При математической обработке неравноточных измерений
одной и той же величины решаются последовательно следующие, задачи:
1) определение наиболее надежного результата измерения
по принципу весового среднего:
LB = [ Pl] / [P];
2) оценка точности результата, вес которого - единица.
Вычисление СКП единицы веса по формуле Бесселя:
_____________
 = [PVY] / (n  1);
3) оценка весового среднего значения по формуле:
Mb =  /  [P];
Для удобства обработки применяется табличная форма
вычислений.
Для определения весов измерений в зависимости от условия задачи применяются следующие выражения:
Р = K / m2 ;
Р = K / L;
Р=K/n,
где L - длина нивелирного хода; n - число углов поворота в
теодолитном ходе или число станций в нивелирном ходе.
Решение типового примера
Пример 11
На репер по четырем ходам геометрического нивелирования различной длины Li передана высота Нi.
N ходов
1
Hi , м
131.172
34
L i , км
8.1
N ходов
2
3
4
Hi , м
211
188
195
L i , км
4.2
5.3
6.0
Произвести математическую обработку ряда неравноточных измерений.
В данной задаче неравноточность обусловлена различными длинами нивелирных ходов. Веса вычисляются по формуле
P = K / L. Если принять К = 8.1, то СКП еденицы веса будет
относиться к первому ходу.
№
ходов
1
2
3
4
[ ]
Hi, м
134.172
211
188
195
Li,
км
8.1
4.2
5.3
6.0
H0 = 134.194;
Pi=K/Li
K=8.1
1.00
1.93
1.53
1.35
5.81
 i,
мм
0
39
16
23
P ii,
мм
0
75.3
24.5
31.0
130.8
Vi,
мм
+22
- 17
+6
-1
P i V i,
мм
+22.0
- 32.8
+ 9.2
- 1.4
- 3.0
P i V i 2
Pi  i2
484
558
55
1
1098
0
2935
392
714
4041
[P] = - 2.9 ;
[ P] / [P] = 130.8 / 5.8 = 0.0225 ; [P2]  [P]2 / [P] = 4041
2944 = 1097.
_
_
Hвыч = 134.1945 м; Hокр = 134.194 м ;  = - 0.00050 м = - 0.5 мм
_
Условное значение высоты репера оказалось равно Hокр =
134.19 м.
Контроль вычислений:
1. [pV] = - 3.0, [p] = - 2.9 ;
2. [pV2] = [p2] - [P]2 / [P] = 1097.
СКП еденицы веса, т. е. СКП превышения, полученного по
ходу в 8.1 км:
___________
______
 = [pV2] / (n - 1) ;  = 1098 / 3 = 19.1 мм.
35
______
m =  / 2 (n - 1);
m = 19.1 / 6 = 7.8 мм.
Следовательно, округленное значение  = 19 мм. СКП
превышения, полученного по ходу в 1 км, будет:
__
 h кн =  /  К;
 h кн = 19.1 / 7.8 = 7 мм, что соответствует IV классу геометрического нивелирования. Вес уравненного значения высоты репера равен сумме весов измерений.
PH = [P] = 5.8  6.
СКП уравненного значения высоты репера:
mH =  /  [P] = 19.1 /  5.8 = 8 мм.
Контрольная задача 16
Один и тот же угол трижды измерен различным числом
приемов. Произвести математическую обработку результатов
измерений:
№ п/п
1
2
3
Значение
угла
541218
22
20
Количество
приемов
5
3
...
Контрольная задача 17
По четырем теодолитным ходам на узловую линию передан дирекционный угол. Число углов поворота в каждом ходе
различно.
№ п/п
1
2
3
Значение
дирекционного
угла
27133.5
35.2
30.0
36
Число углов
в ходах
.....
8
12
4
32.8
.....
Произвести математическую обработку результатов измерений.
Контрольная задача 18
По четырем ходам геометрического нивелирования с различным числом станций была передана высота на узловой репер, что дало результаты:
№ п/п
1
2
3
4
Значение высоты
репера, м
82.631
650
618
648
Число станций
в ходах
......
20
34
.....
Произвести математическую обработку результатов
измерений.
3.7 ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО НЕВЯЗКАМ В
ПОЛИГОНАХ И ХОДАХ
Невязки полигонов в сумме превышений нивелирных полигонов или в сумме углов
теодолитных полигонов являются погрешностями этих
сумм. Поэтому для оценки точности измерений по невязкам
используется формула:
_______
 =  [P2] / n , в которой  i заменяется буквой fi ,веса - их
выражением 1 / ni или 1/ L i , где n i - число станций в нивелирном полигоне или число углов в теодолитном полигоне;
Li - периметр нивелирного полигона, а n - буквой N.
Тогда формула СКП единицы веса примет вид:
_________
_________
 =  [f 2 / n] / N
или
 =  [f 2 / L] / N ,
где N - число полигонов.
37
Решение типового примера
Пример 12
Произвести оценку точности нивелирования по невязкам
полигонов, указанным в таблице.
N полигонов
1
2
3
4
5
6
7
8
Невязки f h, мм
+32
+2
- 21
+6
+8
- 12
- 31
+15
Число станций, n
72
32
46
27
38
49
63
51
378
f h2 / n
14
0
10
1
2
3
15
4
49
СКП еденицы веса есть СКП превышения на станции, поскольку Р = 1 / n, имеем:
_____
 = mст =  49 / 8 = 2.5 мм
Считая, что в среднем на 1 км хода приходится 10 станций,
получим СКП на 1 км по формуле:
mкм = mст10 ,
mкм = 2.510 = 7.2 мм.
Контрольная задача 19
В таблице приведены невязки в полигонах геометрического нивелирования и периметры полигонов.
№ полигонов
1
2
3
4
5
L, км
6
12
8
10
15
Оценить точность нивелирования.
38
f h, мм
+18
- 14
+24
+30
+34
Контрольная задача 20
Произвести оценку точности измерения углов по невязкам
в полигонах.
Число углов
в полигонах
20
24
10
31
15
28
№ полигонов
1
2
3
4
5
6
fp 
- 2.5
+4.8
- 0.5
- 2.8
+3.0
+5.2
Контрольная задача 21
По невязкам в треугольниках триангуляции произвести
оценку точности угловых измерений.
Номера
треугольников
1
2
3
4
Номера
треугольников
5
6
7
8
f 
+10
- 9
- 5
+2
f 
+2
-8
+6
+6
3.8 Справочные сведения
3.8.1 Округление приближенных чисел
Если отбрасывается часть больше 0.5 единицы предшествующего разряда, то округляемая цифра увеличивается на
единицу, если меньше 0.5 единицы, то округляемая цифра
остается без изменения.
Если отбрасываемая часть равна 0.5 единицы предшествующего разряда, округление производят до ближайшего четного числа.
Пример: 15.458  15.46; 22.144  22.14; 36.655  36.66.
39
3.8.2 Точность приближенных чисел
Точность приближенных чисел определяется числом значащих цифр.
Пример: число 28,3 имеет три значащих цифры. Число
0,00422 имеет тоже три значащих цифры. Число 0,06005 имеет
шесть значащих цифр. Число 2500,0 имеет пять значащих
цифр, так как оно верно до десятых долей единицы.
Если вместо числа 25643 взять число 26000, то говорят,
что в округленном числе имеется две верные цифры; рекомендуемая запись этого числа - 26·103.
3.8.3 Абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная ошибка есть  = а - l, где а - истинное значение, l - результат измерения.
Пример. Число 3,14 есть приближенное значение числа.
Так как 3,14159 также является приближенным значением
числа с пятью цифрами после запятой, то  = 0,0016 есть абсолютная (истинная) ошибка.
Относительная ошибка равна 0.0016/3.14 = 1/2000.
3.8.4 Приближенное представление некоторых
элементарных функций
sin x  x - x3/6 ;cos x  1 - x2/2; tg x  x + x3/x;
_____
 a2 + x  a + x/2 a ; lx  1 + x; ln(1 + x)  x;
3.8.5 Основные правила дифференцирования
Производная алгебраической суммы ( а + b + . . . + t) =
= а' + b' + . . . + t'.
Производная произведения (u·v)' =u v + vu.
40
Производная дроби (u / v) = (uv - vu) / v2.
Производная сложной функции y = f (u) и u =  (x),
y =f (u)  (x) или y / x = (y / u)  (u / x).
3.8.6 Таблица производных элементарных функций
Функция
y = f (x)
a = const
a+x
xn
axn
x
n __
x
1/x
1 / xn
ax
Производная
y = f (x)
0
1
nxn - 1
anxn - 1
1 / 2x
n ____
1 / nxn - 1
- 1 / x2
- n / xn + 1
ax ln a
Функция
y = f (x)
ex
ln x
sin x
cos x
tg x
Производная
y = f (x)
ex
1/x
cos x
- sin x
1 / cos2x
ctg x
- 1 / sin2x
u
e
au
ln u
eu u
au u
u / u
Вопросы для самопроверки:
1. Какие измерения называют равноточными?
2. Что называется погрешностью (ошибкой) измерений?
3. Как классифицируются погрешности измерения?
4. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
5. Что называется средней квадратической погрешностью?
6. Что называется предельной погрешностью измерения?
7. По какой формуле вычисляется СКП линейной функции
измеренных величин?
8. По какой формуле вычисляется СКП функции общего вида?
9. Чему равна СКП алгебраической суммы измеренных величин в случае равноточных измерений?
10. Что называется арифметической серединой или средним арифметическим значением?
11. По какой формуле вычисляется средняя квадратическая
погрешность одного измерения, если имеется ряд результатов
равноточных измерений одной и той же величины, точное
значение которой неизвестно?
41
12. Во сколько раз СКП арифметической средины меньше
СКП одного измерения, имея в виду равноточные измерения
одной и той же величины?
13. Какие измерения называются неравноточными?
14. Что называется весом измерения?
15. Какими свойствами обладают веса измерений?
16. Что называется средней квадратической погрешностью
единицы веса?
17. Что такое обратный вес?
18. По какой формуле вычисляется обратный вес линейной
функции измеренных величин?
19. По какой формуле вычисляется обратный вес функции
общего вида?
20. Чему равен вес алгебраической суммы измеренных величин, если вес каждого измерения равен единице?
21. Чему равен вес арифметической средины, если вес
каждого измерения равен единице?
22. Что называется общей арифметической срединой или
средним весовым значением?
23. Что называют вероятнейшим значением измеряемой
величины в случае неравноточных измерений этой величины?
24. Чему равен вес общей арифметической средины?
25. По какой формуле вычисляется СКП единицы веса, если известны погрешности результатов измерений величины?
26. По какой формуле вычисляется СКП единицы веса, если имеется ряд результатов неравноточных измерений величины и их веса?
27. По какой формуле вычисляется СКП общей арифметической средины, если известны СКП единицы веса и веса измерений?
28. Что называется обработкой результатов неравноточных
измерений одной и той же величины?
29. По какой формуле вычисляется СКП измерения угла по
невязкам в полигоне?
30. По какой формуле вычисляется СКП нивелирования
хода, длиной 1 км, по невязкам в полигонах или ходах?
42
4. УРАВНИВАНИЕ СИСТЕМЫ ТЕОДОЛИТНЫХ
ХОДОВ
4.1 ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Координаты пунктов могут быть определены проложением
через них теодолитных ходов, опирающихся в начале и в конце хода на пункты с известными координатами и стороны с
известными дирекционными углами. При математической обработке результатов таких измерений координаты определяемых пунктов получают однозначно, а их точность зависит от
точности полевых измерений, точности исходных данных и
принятого метода обработки измерений.
На практике возможно появление ситуаций, когда в геодезических построениях возникает неоднозначность получения
определяемых величин, например координат пунктов.
С этой точки зрения рассмотрим геодезическое построение
в виде системы трех теодолитных ходов с одной узловой точкой (рис. 4.1). Практическая необходимость построения такой
системы обусловлена невозможностью определения положения пунктов путем проложения через них одного теодолитного хода (например, из-за отсутствия на местности необходимых видимостей). Ограничивающим фактором может быть
превышение допустимой длины одиночного теодолитного
хода или нарушение каких-либо других нормативных требований.
В системе теодолитных ходов, показанных на рис. 4.1, положение пунктов определено от трех исходных - B, D, F, тогда
как для этой цели достаточно было двух из них. Следовательно, в сети имеются избыточные измерения (избыточные в
смысле их необходимого числа при безконтрольном определении координат пунктов). Эта избыточность и приводит к
неоднозначности решения. Так, например, координаты любого
определяемого пункта сети, показанной на рис.4.1, могут быть
получены, как минимум, дважды. В таком случае говорят о
необходимости уравнивания.
43
Рис.4.1
Примечание: на рис. представлены данные, которые
должны быть изменены в соответствии с вариантом (см.
табл. 4.2).
Способы уравнивания разделяются на строгие, когда уравнивание производится под условием минимума суммы произведений квадратов поправок в измеренные величины, и нестрогие (раздельные), когда сначала уравнивают углы, а затем
раздельно между собой приращения координат.
При выборе способа уравнения исходят прежде всего из
необходимой точности получения координат пунктов. Если
раздельное уравнивание обеспечивает указанное требование,
то его применение в настоящее время предпочтительно, т. к.
упрощает процесс вычислений. Последний может быть выполнен как посредством традиционных средств, так и с помощью микрокалькуляторов или ЭВМ.
При раздельном уравнивании системы теодолитных ходов
с одной узловой точкой уравнивают сначала измеренные углы,
44
а затем по полученным вероятнейшим значениям дирекционных
углов и измеренным горизонтальным проложениям линий вычисляют приращения координат, которые уравнивают отдельно, приращения по оси абсцисс и приращения по оси ординат.
4.2 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Вычислить координаты пунктов системы теодолитных ходов с одним узловым пунктом.
Таблица 4.1
Координаты и дирекционные углы
Координаты, м
№№
Пунктов
Х
У
D
4740.84
6451.27
B
3687.80
5761.83
F
3263.23
6767.63
Дирекционные углы линий
СД
18858.7
ЕF
24504.1
AB
8035.4
Схема сети показана на рис. 4.1. Исходные данные (координаты известных пунктов и дирекционных углов соответствующих линий) представлены в табл. 4.1 и 4.2.
Результаты полевых измерений показаны на рис. 4.1. В соответствии с вариантом индивидуального задания, который
выбирают по сумме трех последних цифр шифра, на схеме
определяют значение линии и угла.
4.3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
4.3.1 Выбор узловой линии
Выбирают узловую линию, т. е. линию, выходящую из узлового пункта, который разделяет всю сеть на отдельные теодолитные ходы.
45
При выборе в качестве узловой линии 2-3 (что рекомендуется сделать) решаемая система разделится на три одиночных
теодолитных хода, все из которых в своем начале опираются
на исходные пункты и стороны с известным дирекционным
углом, а в конце - на узловой пункт.
Уравнивание системы теодолитных ходов с одним узловым пунктом выполняется в следующем порядке.
4.3.2 Вычисление дирекционного угла узловой линии
Вычисляют дирекционный угол узловой линии 2-3 по первому 123, второму 223 и третьему 323 ходам.
Таблица 4.2
Варианты индивидуальных заданий
№ варианта
Название линии
Длина линии, м
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2
В-2
2-3
3-7
7-F
3-4
4-5
5-D
В-2
2-3
3-7
7-F
3-4
4-5
5-D
В-2
2-3
3-7
7-F
3-4
4-5
5-D
B-2
2-3
3
200.48
322.31
508.79
335.49
345.70
292.89
439.40
200.22
322.14
508.56
335.25
345.56
292.32
439.24
200.02
322.00
508.96
335.65
345.96
293.02
439.64
200.32
322.24
46
Вершина
угла
4
2
4
5
7
2
4
5
7
2
4
5
7
2
4
5
7
2
4
5
7
2
4
5
Значение угла, 

5
223 43.0
133 45.0
187 35.5
113 14.0
223 42.5
133 44.5
187 35.0
113 13.5
223 43.5
133 45.5
187 35.0
113 14.0
223 42.0
133 44.0
187 34.5
113 13.0
223 44.0
133 46.0
187 36.5
113 15.0
223 42.5
133 44.5
187 35.0
Окончание таблицы 4.2
1
24
25
26
27
28
29
30
2
3-7
7-F
3-4
4-5
5-D
В-2
2-3
3
508.66
335.35
345.66
292.72
439.34
200.00
322.34
4
7
2
4
5
7
2
4
5
113 13.5
223 42.0
133 44.0
187 34.5
113 13.0
223 43.0
133 45.0
Результаты вычислений рекомендуется оформить в виде
таблицы.
Таблица 4.3
Вычисление дирекционного угла*
1
Дирекционный угол
узловой линии
123
2
223
3
323
Номер хода
* Для контроля вычисления выполняют два раза, при этом,
если первое решение получено по левым углам, то второе решение необходимо получить по правым.
4.3.3 Вычисление среднего весового значения
дирекционного угла узловой линии
Вычисляют среднее весовое значение дирекционного угла узловой линии.
Ввиду того, что точность дирекционного угла узловой линии зависит от точности m, собственно измерений углов и от
количества n j измеренных углов, то (при условии, что m во
всех ходах одинаковая) за вес Pj (j = 1, 2, 3) значения дирекционного угла узловой линии, полученной по j ходу принимают:
47
Pj = K / nj,
где К - любое положительное число (рекомендуемое значение при решении данной задачи равно шести).
Таким образом, среднее весовое значение ок2-3 дирекционного угла узловой линии определится выражением:
ок2-3 = (n1 12-3 + n2 22-3 + n3 32-3) / (n1 + n2 + n3)
Внимание: контролем вычислений служит равенство
3
 P  f
j 1
j
i
0
где fi = ок2-3 -  j2-3 (для правых углов).
Это равенство должно выполняться с точностью 20% от
величины fi.
Полученные значения fi дают возможность установить
допустимость невязок (т. е. проконтролировать полевые измерения). С этой целью вычисляют суммарные значения невязок:
f  j,i = f j + f i
j = 1, 2, 3;
i = 2, 3.
и сравнивают их с соответствующими допустимыми значениями:
_____
(f j,i ) доп = 1 nj + ni
48
4.3.4 Вычисление окончательных значений дирекционных
углов линий сети
Окончательные значения дирекционных углов всех линий
сети получают путем соответствующих вычислений (см. «Обработка теодолитного хода»), при этом в качестве дирекционного угла конечной линии каждого хода используют средневзвешенное значение ок2-3 дирекционного угла узловой линии.
Рекомендуется результаты вычислений оформить в «ведомости вычисления координат пунктов теодолитного хода”.
4.3.5 Вычисление координат узлового пункта
Используя координаты исходных пунктов (пункты В, Д, F)
путем последовательного решения прямых геодезических задач (по уравненным значениям дирекционных углов линий и
измеренным горизонтальным проложениям) вычисляют координаты Хj,y3, Yj,y3 по каждому ходу (j = 1, 2, 3).
Результаты вычислений рекомендуется оформить в виде
таблицы 4.4.
Таблица 4.4
Вычисление координат пункта*
Координаты
Х3
У3
Номер хода
2
Х2
У2
1
Х1
У1
3
Х3
У3
* Для контроля вычисления выполняют дважды.
Для проверки доброкачественности линейных измерений вычисляют невязки по двум наиболее коротким ходам, например:
f X1+2 = X 1,3 - X 2,3;
f Y1+2 = Y 1,3 - Y 2,3;
f X2+3 = X 2,3 - X 3,3;
49
fY2+3 = Y 2,3 - Y 3,3;
Затем вычисляют значения:
___________
f S1+2 = f2X1+2 + f2Y1+2,
___________
f S2+3 = f2X2+3 + f2Y2+3
и выразив их в относительной мере:
(fS1+2) / (S1+2); (fS2+3) / (S2+3) ,
сравнивают с допустимым значением относительной невязки
хода (1:2000).
Выяснив, что невязки допустимы, переходят к вычислению
средневзвешенных значений координат узлового пункта.
4.3.6 Вычисление средневзвешенного значения координат
узлового пункта
Вычисляют средневзвешенное значение координат узлового пункта.
Ввиду того, что значение дирекционных углов используемые при вычислении, были уравновешены ранее, за вес
Рj (j = 1, 2, 3) значения координаты узлового пункта, полученного по j ходу, принимают:
Рj= K / [S] j,
где К - любое положительное число (рекомендуемое значение при решении данной задачи равно единице, а значения
[S] j выражают в километрах).
Таким образом, среднее весовое значение X3ок, Y3ок координат узловой линии определится выражениями:
50
X3ок = (p1X1,3 + p2X2,3 + p3X3,3) / (p1 + p2 + p3),
Y3ок = (p1Y1,3 + p2Y2,3 + p3Y3,3) / (p1 + p2 + p3).
4.3.7 Вычисление окончательных координат всех
пунктов сети
Значения координат всех пунктов сети получают путем соответствующих вычислений (см. [1], гл. III), при этом в качестве исходных принимают координаты соответствующего исходного пункта (в зависимости от номера хода) и средневзвешенного значения координат узлового пункта.
Рекомендуется результаты вычислений оформить в “ведомости вычисления координат пунктов теодолитного хода”.
В табл. 4.1; 4.2; 4.3; 4.4 приведены формы записи результатов расчетов на отдельных этапах решения задачи, при традиционных методах вычисления (см. [1], § 166).
Таблица 4.5
Ведомость вычисления координат
№
точек
Углы 
измер
испр
155 175
2
155 175
-1
223 430
3
[]п =
[]т =
f
f доп
379 005
379 004
+0,1
1,4
Дирекционные
углы
Гориз.
проложения
Приращения
вычисленные
исправленные
Х
У
Х
У
1 ход
(левые)
Координаты
Х
А
80 35.4
В
С
5
4
187 205
3687.80
55 59.9
200.42
522.76
fx =
fабс =
+58.68
-58.75
- 0.07
0.08
2 ход
(правые)
188 587
51
fотн =
fy =
1: 6500
У
Таблица 4.6
Вычисление окончательного значения  2-3
N
ходов
1
2
3
Дирекц.
углы, 
9935,9
9935,2
. . ..
Число
углов, n

P=K/n
K=...
P
Невязки
fp
Pf
Примеч.
Проверка
допустимости
угл. невяз

0 = ....
 = ....
Контроль [P] = ... = ...
1) f1+3 = 3 - 1 =
f  доп = ...
2) 2+3 = 3 - 2 = ...
Таблица 4.7
Вычисление окончательных значений координат узловой точки 3
№
ходов
1
2
3
Х,
м
Х,
см
Px ,
см
f x,
см
....
P fx,
см
....
S, км
0.52
1.08
....
....
Х0 = ....
Контроль: ... = - х[P];
Х = ...
P=k/s
k = ...
1.94
P fy,
см
f у,
см
....
....
....
Py ,
см
 у,
см
У,м
У0 = ....
- y[P] = ...
У = ...
Таблица 4.8
Проверка допустимости линейных невязок
№ ходов
1+2
2+3
S i + j, м
1601
f x = x i - x j, м
f y = y i - y j, м
52
f абс, м
f отн
Вопросы для самопроверки
1. По какой формуле вычисляется дирекционный угол узловой линии при передаче его от твердой стороны по ходу с
левыми углами? с правыми углами?
2. По какой формуле вычисляется окончательное значение
дирекционного угла узловой линии?
3. Как вычисляется угловая невязка в ходе, если известны
значения дирекционного угла узловой линии - окончательное
и вычисленное по ходу, если углы в ходе левые? правые?
4. Как контролируется доброкачественность угловых измерений в сети?
5. По какой формуле вычисляется вес дирекционного угла
узловой линии, полученный по ходу?
6. В чем состоит контроль правильности вычисления угловых невязок в ходах, сходящихся к узловой точке?
7. Как распределяются угловые невязки на углы в каждом ходе?
8. По какой формуле вычисляется вес координаты узловой
точки, если координата получена по ходу от твердой точки?
9. По каким формулам вычисляются окончательные значения координат узловой точки?
10. Как вычисляются невязки в приращениях координат в
каждом ходе, если известны значения координат узловой точки, вычисленные по ходу, и окончательные?
11. Как контролируется доброкачественность измерений в
системе ходов?
12. В чем состоит контроль правильности вычисления невязок в приращениях координат по каждому ходу?
13. Как распределяются невязки в приращениях координат
внутри каждого хода?
53
5. ОПРЕДЕЛЕНИЮПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ ОТДЕЛЬНЫХ ПУНКТОВ
5.1 СОСТАВ РАБОТЫ
В состав работы входит решение следующих задач:
- снесение прямоугольных координат с вершины знака
на землю;
- определение координат отдельного пункта прямой засечкой (формулы Гаусса);
- определение координат отдельного пункта прямой, засечкой (формулы Юнга);
- определение координат отдельного пункта обратной засечкой (формулы Кнейсселя);
- определение координат отдельного пункта линейной
засечкой.
Пояснения к лабораторной работе построены по следующему принципу:
- кратко изложена идея задачи, определены исходные данные и измеренные величины;
- приведены в аналитическом виде формулы решаемой задачи;
- раскрыт ход решения задачи по отдельным этапам;
- решение задачи иллюстрировано числовым примером;
- выполнена оценка точности определения дополнительного пункта.
5.2 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СНЕСЕНИИ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ С ВЕРШИНЫ
ЗНАКА НА ЗЕМЛЮ
При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на
пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т. п.). Тогда и возникает задача по снесению координат
пункта триангуляции на землю для обеспечения производства
геодезических работ на данной территории.
54
Схема решения задачи представлена на рис. 5.1.
Рис 5.1
Исходные данные: пункт А с координатами хА, уА; пункты
геодезической сети В (хВ, уВ) и С (хС, уС).
Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов B1 и B2; измерения горизонтальных углов 1, 2; 1,
2; , .
Требуется найти: координаты точки Р - Хр, Уp.
Решение задачи разделяется на следующие этапы:
1) Определение недоступного расстояния - DAP. Из треугольников АМР и АNР по теореме синусов получим:
D2 = B2 sin2 / sin(1+2).
D1 =B1 sin2 / sin(1+2),
Разность (D1 - D2 ) не должна превышать величины 2D / T,
где 1 / T - относительная погрешность линейных измерений. D = (D1 + D2) / 2 окончательное значение.
2) Определение дирекционных углов AB и АC, а также
расстояний SAB и SAC. Эти элементы находятся из решения обратных задач между пунктами А и B, А и С.
55
tg AB = (YB - YA) / (XB - XA),
tg AC = (YC - YA) / (XC - XA),
по значениям тригонометрических функций находят значения румбов; знаки Y и X определяют четверть, в которой
находится направление, после чего вычисляются дирекционные углы AB и АC. Расстояния находят по формулам:
SAB = (YB - YA ) / sin AB;
SAC = (YC - YA ) / sin AC
Для контроля, вычисления производят через (XB - XA) и
(XC - XA).
3) Вычисление дирекционного угла направления АР - AP
Решение числового примера
Таблица5.1
Исходные данные
Обозначения
Численные
значения
A
XA, YA
6327.46
12351.48
B
XB, YB
8961.24
10777.06
C
XC, YC
5604.18
7125.76
B1
B2
266.12
198.38
2
2
382600
422636
1
1
700854
872800


1383349
715502
Таблица 5.2
Вычисление расстояния DAP
Обозначения
Численные
значения
B1
B2
266.12
198.38
sin 2
sin 2
0.62160
0.67482
sin(1+2)
sin(1+2)
0.94788
0.76705
56
B1 sin2
B2 sin2
165.420
133.871
D1
D2
174.52
174.52
D1 - D2
2D / T
0.00
D ср
174.52
Таблица 5.3
Решение обратных задач
sin 
X
Y
X
tg 
tg
sin 
Y
X
Y
X


cos 
B
Обозначения
A
B
C
A
A
C
AB
A
AC
AB
AC
S
AB
Y
AB
AC
AB
S
cos 
AC
AC
численные
значения
10777.06
12351.48
8961.24
6327.46
7125.66
12351.48
5605.08
6327.46
- 0.5977
3290755
7.23421
2620751
-0.51309
-0.99058
0.85833
-0.13693
3068.48
5275.51
Таблица 5.4
Вычисление дирекционных углов AP = D
Обозначения
численные
значения
D
174.52
sin 
sin 
S
S
AB
AC
sin 
sin 







AB
D
 - 
D
m

AC
D
D
0.66179
3068.48
0.03950
...
391041
3290755
81836
=1
0.95061
5275.51
0.03292
...
1061146
2620751
81837
30
Вычисление складывается из следующих этапов:
а) вычисление вспомогательных углов  и  по теореме
синусов из треугольников АВР и АСР:
sin  = Dsin / SAB,
sin  = Dsin / SAC;
б) вычисление углов  и  по формулам:
 = 180  ( + ),
 = 180  ( + );
в) вычисление двух значений дирекционного угла:
D = AB  ,
D = AС  
Контролем служит выражение (D  D)  m,
где m - СКП измерения горизонтальных углов. Знак «+»
или «  » в формулах вычисления дирекционного угла берет57
ся в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р,
В и С.
4) Вычисление координат точки Р
Координаты вычисляются путем решения прямой геодезической задачи между пунктами А и Р по формулам:
XP = XA + X,
XP = XA + X,
YP = YA + Y;
YP = YA + Y.
Приращения координат вычисляются по двум значениям
дирекционного угла D , что обеспечивает соответствующий
контроль:
X = D cos D, Y = D sin D;
X = D cos D,
Y = D sin D.
Расхождение координат не должно превышать величины
mD / , где  = 206265, m - средняя квадратическая погрешность измерения углов.
Таблица 5.5
Решение прямых задач (вычисление координат т. P)
Обозначения

sin 
cos 
D cos 
D sin 

sin 
cos 
D cos 
D sin 
численные
значения
81836
81837
D
D
D
D
0.14453
0.14454
D
D
0.98950
0.98950
D
D
172.69
172.69
D
25.22
25.22
D
XX
YY
m D / 
XA
YA
xp=xA+x
xp=xA+x
yp=yA+y
y p=yA+y
=00.00
=00.00
доп=25см
6327.46
12351.48
6500.15
12376.70

Оценка точности определения положения пункта Р.
Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формулам: Мр2 = mх2 + mу2 , Мp2 =
mD2 + (Dm / )2, где mD - определяется точностью линейных
измерений, а m - точностью угловых измерений.
58
Примем следующие значения величин:
____________________
mD = 2 см, m = 5, тогда Мp =  (0,02)2 + (170 5 / 2·105)2 
2 10 -2 м = 0,02 м.
5.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПУНКТА ПРЯМОЙ
ЗАСЕЧКОЙ (формулы Гаусса)
Для решения задачи с контролем необходимо иметь три
твердых пункта. Формулы Гаусса применяются в том случае,
когда между твердыми пунктами нет видимости.
Схема решения задачи представлена на рис. 5.2.
Исходные данные: твердые пункты A (XA, YA), В (XB,YB),
С (XC ,YC); дирекционные углы твердых линий. Полевые измерения: горизонтальные углы 1, 2, 3. Определяется пункт Р.
Формулы для решения задачи:
XP  XA = (XA tg 1  YA  XB tg 2 + YB) / (tg 1  tg 2) =
= ((XA  XB)  tg 2  (YA  YB)) / (tg 1  tg 2) ,
XP = XA + XA,
YP = (XP  XA)  tg 1 + YA, YP = (XP  X A) tg 2 + YB.
Контроль вычислений:
tg 1  tg 2 = (tg 1  tg 2 + 1)  tg(1  2)
Если значение 1 или 2 близко к 90° или 270°, то за окончательное значение Yр берут то, которое получилось по
меньшему по абсолютной величине значению тангенса. Для
контроля вычисляют приращения координат с пункта В.
59
Рис. 5.2
Таблица 5.6
Определение координат пункта P
1
2
XA
XB
XA XB
3029.4
31713.5
1380.25
1630.16
- 249.91
2
3
31713.5
25417.8
XB
XC
XB XC
1630.16
3401.04
-1770.88
tg 1
tg 2
(XA-XB)tg 2
tg 1tg 2
0.58881
-0.92520
+231.22
+1.51401
tg 2
tg 3
(XB-XC)tg 3
tg 2tg 3
-0.92520
+3.55600
-6297.25
-4.48120
YA
YB
YAYB
A
XP=XA+XA
1260.50
3230.00
-1969.50
YB
YC
YBYC
2833.82
1380.25
1453.57
1453.57
2833.82
B
XP=XB+XB
3230.00
4133.41
-903.41
1203.66
2833.82
Среднее
2833.82
XP
XA
XPXA
XP
XB
XPXB
2833.82
1630.16
1293.56
tg 1
(XPXA)tg 1
YA
YP
+0.58881
+855.88
tg 2
(XPXB)tg 2
1260.50
2116.38
YB
YP
-0.92520
-1113.53
3230.00
2116.47
2116.42
Контроль определения: для выявления ошибок полевые
измерений задачу решают дважды: от пунктов А, В и, второй
раз, от пунктов В, С.
Оценка точности определения пункта Р.
60
Расхождение между координатами пункта Р из двух решений определяется формулой
_____________________
r = (XP  XP) 2 + (YP  YP)2 < 3 Mr;
_________
M r = M12 + M22;
_________
M1 = (m  (S12 + S22) / (  sin 1));
________
M2 = (m  (S22 + S32) / (  sin 2)).
Длины линий S1, S2, S3 определяют из решения обратных
геодезических задач.
При допустимости расхождений за окончательные значения принимают среднее арифметическое полученных координат пункта Р.
5.4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПУНКТА ПРЯМОЙ
ЗАСЕЧКОЙ (формулы Юнга)
Для однократной засечки необходимо иметь два твердых
пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твердого пункта.
Схема решения задачи представлена на рис. 5.3.
Исходные данные: твердые пункты А (XA, YA), В (XB, YB),
С (XC,УC).
Полевые измерения: горизонтальные углы 1, 2, 1, 2.
Определяется пункт Р.
Формулы для решения задачи:
XP  XA = ((XB  XA) ctg 1 + (YB  YA)) / (ctg 1 + ctg 2);
XP = XA + XA;
61
Рис. 5.3
Оценка точности определения пункта Р.
Вычисление СКП из 1-го и 2-го определений.
_______
M1 =(m S12 + S22) /  sin1;
_______
M1 =(m S12 + S22) /  sin2.
Значения величин, входящих в приведенные формулы следующие: m = 5',  =2062б5", 1 = 7315.9, 2 = 62°55.7,
S1=1686,77 м; S2 = 1639,80 м; S3 = 2096, 62 м.
Стороны засечки найдены из решения обратных задач.
_________
М1 = ( 52.86 + 2.69 / (2 1050.958) = 0,06 м.
_________
М2 = ( 5  2.69 + 4.41 ) / (2 1050.890) = 0,07 м.
________
_____________
Мr =  М12 + М22 ,
Mr = (0,06)2 + (0,07)2 = 0,09 м.
Расхождение между координатами из двух определений
____________________
r = (XP  XP)2 + (YP  YP)2 не должно превышать величины 3 Mr.
62
____________________________________
_____
2
2
г = (2833.82  2833.82) + (2116.38  2116.32) = 0.0036 =
= 0.06 м.
На основании неравенства r = 0,06 м < 3·0,09 можно сделать вывод о качественном определении пункта Р.
За окончательные значения координат принимают среднее
из двух определений.
Таблица 5.8
Решение числового примера
1
2
5216.7
5427.4
1
2
6948.5
4715.8
XB
XA
XB XA
1630.16
1380.25
+249.91
XC
XB
XC XB
3401.04
1630.16
+1770.88
ctg 1
ctg 2
(XB-XA)ctg 1
ctg 1+ctg 2
0.77349
0.71443
193.30
1.48792
ctg 1
ctg 2
(XC-XB)ctg 1
ctg 1+ctg 2
0.36777
0.92402
651.28
1.29175
YB
YA
YBYA
3230.00
1260.50
+1969.50
A
XP=XA+XA
1453.57
2833.82
A
YP=YA+YA
1523.39
855.88
2116.38
YB
YC
YB
YCYB
4133.41
3230.00
+903.41
(YBYA)ctg 1
(YCYB)ctg 1
1203.56
2833.82
YP=YA+YA
332.24
2833.82
- 1113.68
2116.32
2116.35
5.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ
ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПУНКТА МЕТОДОМ
ОБРАТНОЙ ЗАСЕЧКИ
(аналитическое решение задачи Потенота)
Необходимо иметь три твердых пункта, для решения задачи с контролем используют четвертый твердый пункт.
Схема задачи представлена на рис. 5.4.
Исходные данные: А (Ха, Уа); B (Xb, Yb); C (Xc, Yc), D (Xd, Yd).
Полевые измерения: горизонтальные углы 1, 2, 3.
Определяемый пункт - P.
Формулы для вычисления:
63
1. ctg 1 = a; ctg 2 = b;
2. k1 = a(Yb - Ya) - (Xb - Xa);
3. k3 = b(Yc - Ya) - (Xc - Xa);
4. k2 = a(Xb - Xa) + (Yb - Ya);
5. k4 = b(Xc - Xa) + (Yc - Ya);
6. c = (k2 - k4) / (k1 - k3) = ctg AP;
7. k2 - ck1 = k1 - ck3 (контроль вычислений);
8. Y = (k2 - ck1) / (1 + c2);
9. X = cY;
10. XP = XA + X; YP = YA + Y.
Рис. 5.4
Таблица 5.10
Решение численного примера
1
2
1
2
a = ctg 1
b = ctg 2
XB
XC
XA
XB = XB - XA
XC = XC - XA
XC - XB = XC - XB
1094842
2241521
- 0.360252
+1.026320
5653.41
8143.61
6393.71
- 740.30
1749.90
2490.20
64
Окончание таблицы 5.10
3
4
YB
YC
YA
YB = YB - YA
YC = YC - YA
YC - YB = YC - YB
k1
k3
k1 - k3
k2
k4
k2 - k4
c = ctg 
c2 + 1
k2 - ck1
k4 - ck3
Y
YA
Y
X
XA
X
1264.09
1277.59
3624.69
- 2360.60
- 2347.16
13.5
+1590.71
- 4158.78
+5749.49
- 2093.91
- 551.14
- 1542.77
- 0.268332
1.072002
- 1667.07
- 1667.07
- 1555.0
3624.65
+2069.56
+417.28
6393.71
+6810.99
Таким образом, координаты из первого определения получились следующие: Xр = 6810.99 м, Yр = 2069,56 м.
Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т. е. по пунктам А, С, D (схема решения аналогичная).
Исходными данными являются: 1=109°4842, 3 =
1512624, Xd = 6527,81 м, Yd = 893,64 м.
Координаты пункта Р из второго определения получились
следующие: Xр = 6810,96 м, Yр = 2069,53 м.
Контроль вычислений можно осуществить следующим образом:
Определяют ctg PD = (XD - XP) / (YD - YP) ,
В данном случае имеем PD = 256°2738". Из схемы первого решения имеем:
С = ctg PA = - 0.26833, откуда PD = 105°0113".
65
Разность дирекционных углов PD и PA даст контрольное
значение угла 3. Имеем ()выч = 151°2625", ()выч - ()изм <  m
Оценка точности положения пункта Р.
Средние квадратические погрешности положения пункта
из двух определений:
2
2
M1 
m  S BP
  sin ABC   2 
 S CP

 S CB
  S AP  ;
  

  S AB 
M2 
m  S BP
  sin ABD   3 
 S AP   S DP 

  

 S AB   S DB 
2
2
Для вычисления по этим формулам на клетчатой бумаге в
произвольном (мелком) масштабе наносят по исходным и вычисленным координатам все пять пунктов.
С полученной схемы с точностью до 1° снимают углы
АВС и ABD. Длины сторон можно получить графическим путем с той же схемы, приняв их в формулах до сотых долей километра. Длины сторон также можно получить из решения
обратных задач между исходными пунктами и определяемым.
Контроль определения пункта Р заключается в соблюдении неравенства:
___________________
r =  (XP - XP)2 + (YP - YP)2 < 3 M r,
_________
где r, как и в случае прямой засечки, Мr = 1/2М12 + М22.
5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПУНКТА
МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОЙ ЗАСЕЧКИ
Решение задачи по определению прямоугольных координат пункта P производится путем измерения расстояний S1 и
S2 от твердых пунктов А и В. Для контроля определения пунк66
та P, задача решается вторично от двух других пунктов,
например, от А и С.
Схема определения пункта P показана на рис.5.5.
Исходные данные: А (ХА, УА); В (ХВ, УВ); С (ХС, УС).
Полевые измерения S1, S2, S3, < .
Определяемый пункт - P.
Формулы для вычислений:
XP = XA + q(XB - XA) + h(YB - YA);
YP = YA + q(YP - YA) + h(XB - XA).
где:
q
2
2
1   S1   S 2  
1







2   B   B  
2
Q
H
S 
.
h   1   q2 ; q  ; h 
B
B
B
Величины Q и Р показаны на рис. 5.5.
Рис 5.5
67
Таблица 5.12
Решение однократной линейной засечки
Исходные
данные
S1
S2
B
Значение
Обозначение
516.205
1873.366
2250.788
XA
XB
XB - XA
1+(S1 / B)2 
 (S2 / B)2

q
XA
q(XB - XA)
h(YB - YA)
XP
Численное
значение
688.31
1435.01
746.70
1.05260
- 0.69275
0.35985
0.17992
688.31
134.35
- 301.97
520.69
Обозначение
YA
YB
YB - YA
(S1 / B)2
q2
R
h
YA
q(YB - YA)
h(YB - YA)
YP
Численное
значение
- 1435.01
688.31
2123.92
0.05260
0.03237
0.02023
0.14222
- 1435.01
382.04
106.19
- 946.78
Для контроля задача решается от твердых пунктов В и С.
Контроль вычислений.
Вычисляют S2 по формуле:
__________________
(S2)выч = (XP - XB)2 + (YP - YB)2
Расхождение [(S2)выч - (S2)изм] не должно превышать трех
единиц, последнего знака измерения расстояния.
Оценка точности положения пункта Р
_____________
mX = ( mS sin2 1 + sin2 2) / sin ;
_____________
mY = ( mS cos2 1 + cos2 2) / sin .
где  - угол засечки, определяется по формуле  = 2 - 1;
1 и 2 - дирекционные углы направлений S1, и S; определяются из решения обратных геодезических задач между
твердыми пунктами и определяемым.
Средняя квадратическая погрешность положения пункта Р
определяется по формуле:
mP = mS 2 / sin .
68
XC = 973.25;
YC = 1570.32.
Вопросы для самопроверки
1. Цель и методы определения дополнительных пунктов.
2. В каких случаях выполняют передачу координат с вершины знака на землю?
3. Последовательность вычислений при передаче координат с вершины знака на землю.
4. Последовательность вычислений при определении координат дополнительного пункта методом прямой засечки (формулы Гаусса).
5. Последовательность вычисления при определении координат дополнительного пункта методом прямой засечки (формулы Юнга).
6. Последовательность вычисления при определении координат дополнительного пункта методом обратной засечки.
7. Последовательность вычислений при определении координат дополнительного пункта методом линейной засечки.
8. Назовите необходимое число пунктов при линейной,
прямой и обратной засечках?
69
6. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ПРИ
СЪЕМКЕ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ЗЕМЕЛЬ НА
БОЛЬШОЙ ТЕРРИТОРИИ
Кратко описывается назначение и классификация геодезических сетей при съемке больших территорий, устройство
государственных геодезических сетей, схемы построения плановых и высотных геодезических сетей сгущения, плановые и
высотные съемочные сети.
70
7. УСТРОЙСТВО И ИЗМЕРЕНИЯ
СВЕТОДАЛЬНОМЕРОМ СТ-5 (“БЛЕСК”),
ТЕОДОЛИТАМИ 3Т2КП, 3Т5КП, ЭЛЕКТРОННЫМ
ТАХЕОМЕТРОМ 2ТА5
Устройство и измерения светодальномером СТ5
(“БЛЕСК”), теодолитами 3Т2КП, 3Т5КП, электронным тахеометром 2Та5 описываются на лабораторных занятиях с
этими приборами в период сессии.
71
Содержание
стр.
Цель и задачи
1. Методика изучения курса студентами заочной формы обучения
1.1 Основные разделы программы курса
1.2 Рекомендуемая литература
1.3 Рекомендации по изучению основных разделов курса
Задание на выполнение курсовой работы по теме “Геодезические сети”
Самостоятельная работа студентов очной формы обучения
2. Тахеометрическая съемка
2.1 Задание
2.2 Вычислительная обработка тахеометрического хода
2.3 Вычисление координат съемочных точек тахеометрического хода
2.4 Вычисление высот съемочных точек тахеометрического хода
2.5 Вычисление высот съемочных пикетов
2.6 Составление плана участка
3. Теория погрешностей измерений
3.1 Рекомендации по обработке вычислений
3.2 Оценка точности результатов измерений по истинным
погрешностям
3.3 Оценка точности функций измеренных величин
3.4 Математическая обработка равноточных измерений
3.5 Веса измерений и их функции
3.6 Математическая обработка неравноточных измерений
3.7 Оценка точности по невязкам в полигонах и ходах
3.8 Справочные сведения
3.8.1 Округление приближенных чисел
3.8.2 Точность приближенных чисел
3.8.3 Абсолютная и относительная погрешность
3.8.4 Приближенное представление некоторых элементарных
функций
3.8.5 Основные правила дифференцирования
3.8.6 Таблица производных элементарных функций
4. Уравнивание системы теодолитных ходов
4.1 Общая постановка задачи
4.2 Исходные данные
4.3 Последовательность выполнения работы
4.3.1 Выбор узловой линии
4.3.2 Вычисление дирекционного угла узловой линии
4.3.3 Вычисление среднего весового значения дирекционного угла
узловой линии
4.3.4 Вычисление окончательных значений дирекционных углов
линий сети
4.3.5 Вычисление координат узлового пункта
72
3
4
4
4
5
7
8
9
9
9
12
13
14
15
18
18
19
24
28
31
34
37
39
39
40
40
40
40
41
43
43
45
45
45
46
47
49
49
4.3.6 Вычисление средневзвешенного значения координат узлового пункта
4.3.7 Вычисление окончательных координат всех пунктов сети
5. Определение прямоугольных координат отдельных пунктов
5.1 Состав работы
5.2 Снесение прямоугольных координат с вершины знака на землю
5.3 Определение координат пункта прямой засечкой (формула Гаусса)
5.4 Определение координат пункта прямой засечкой (формулы Юнга)
5.5 Определение координат пункта обратной засечкой (задача Потенота)
5.6 Определение дополнительного пункта методом линейной засечки
6. Построение геодезических сетей при съемке сельскохозяйственных земель на большой территории
7. Устройство и измерения светодальномером СТ5 (“БЛЕСК”),
теодолитами 3Т2КП, 3Т5КП, электронным тахеометром 2Та5
73
50
51
54
54
54
59
61
63
66
70
71
Составитель:
Лысов Анатолий Васильевич
ГЕОДЕЗИЯ
Методические указания
по изучению дисциплины и выполнению курсовой работы
студентами 2 курса очной и 3 курса заочной формы обучения
специальностей 310900 «Землеустройство» и
311000 «Земельный кадастр»
Верстка:
Лопатин Илья Петрович
Чистопольский Владимир Александрович
В авторской редакции
Подписано в печать 15.01.04. Формат 6084 1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Times.
Печ. л. 4,6.
Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 300. Заказ 27/62.
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова»
410600, Саратов, Театральная пл., 1.
74