Квадратичная функция

Квадратичная функция y  ax 2  bx  c
x – независимая переменная (или аргумент); y – зависимая переменная (или функция)
a, b, c – заданные числа
Область определения – все значения переменной x.
Область определения квадратичной функции – все действительные числа
(любое число).
Значение х, при котором у равно 0, называется нулём (корнем) функции.
Чтобы найти нули функции y  ax 2  bx  c надо решить уравнение ax 2  bx  c  0 .
Нули функции на графике – это абсцисса (координата х) точки пересечения графика функции с
осью ОХ.
График квадратичной функции y  ax 2  bx  c – парабола.
b
. Чтобы найти координату
2a
у вершины, надо полученное значение хв подставить в данную функцию.
Вершиной параболы y  ax 2  bx  c является точка  xв ; yв  , где xв  
Ось симметрии, вертикальная прямая, которая проходит через вершину (см. рис).
Точка пересечения параболы с ее осью называется – вершиной параболы.
Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх,
если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
.
y  x x2
2
вершина
y   x2  x  2
Ось симметрии
Нули функции
Чтобы построить график функции y  ax 2  bx  c , надо:
- найти нули функции (решив уравнение);
b
- координаты вершины xв  
, ув
2a
- найти точку пересечения графика с осью ОУ (координата точки (0;с))
- построить все точки и точку симметричную предыдущей
- соединить все точки в виде параболы
Пример. Рассмотрим функцию y  x 2  2 x  8
1) Найдем нули функции y  x 2  2 x  8
x2  2x  8  0
a  1, b  2, c  8
D  b2  4  a  c
D  (2) 2  4 1 (8)  36
b  D
2a
b  D
x2 
2a
x1 
(2)  6
 2 í óëè ô óí êöèè
2 1
(2)  6
x2 
 4 í óëè ô óí êöèè
2 1
x1 
2) Найдем вершину графика y  x 2  2 x  8
b
xв  
2a
2
xв  
1
yв  12  2 1  8  9
2 1
3) Определим, проходит ли график данной функции y  x 2  2 x  8 через точку А(2; -3)
3  2 2  2  2  8
3  4  4  8
3   8
Равенство не выполняется, следовательно, график не проходит через данную точку.
4) Вычислим значение переменной х, если у = –8.
8  x 2  2 x  8
x2  2 x  0
D  b 2  4ac D   2   4 1 0  4
2
b  D
2a
(2)  2
(2)  2
x1 
 2 x1 
0
2 1
2 1
т.е. получили точки, через которые проходит график функции А(2;8), В(0;8)
x1,2 
Пример: Составить уравнение параболы, которая проходит через точки (-3;0), (0,3), (3,0).
Мы знаем, что парабола - график квадратичной функции. В общем виде квадратичная функция
выражается y  ax 2  bx  c
Подставим координаты точек в выражение квадратичной функции
0  a  (3) 2  b  (3)  c

2
из второго уравнения системы получаем, что с = 3, подставляем его в
3  a  0  b  0  c
0  a  32  b  3  c

первое и третье уравнение и получаем систему:
9a  3b  3  0
1
1
откуда a   , b  0 . Получаем уравнение параболы в виде y   x 2  3

3
3
9a  3b  3  0