2014 Применение свойств функций. Четность.

Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
2014
Применение свойств функций. Четность.
Функция y = f (x) , заданная на множестве X, называется нечетной, если выполнены следующие условия:
(1) множество X симметрично относительно начала координат;
(2) для любого x ∈ X справедливо равенство f (-x) =- f (x) .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция y = f (x) , заданная на множестве X , называется четной, если выполнены следующие условия:
(1) множество X симметрично относительно начала координат;
(2) для любого x ∈ X справедливо равенство f (-x) = f (x) .
График четной функции симметричен относительно оси Oy .
Задание1
Определите, является ли четной или нечетной функция
а) у=х4-5х2-8cos x;
б) у= х5-5х-8sin x;
в) у=|𝑥 − 4|+|𝑥 + 4|;
г) у=√𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + √𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ;
д) у=√(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) + √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) .
Задание2
На рисунке 1 ( а-г) показана часть графикафункцииу=f(х). Пострройте весь график, если
известно, что эта функция а) четная; б) нечетная.
1
Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
а)
2014
б)
в)
г)
Рис.1
Справедливы следующие утверждения:
1) если функции f и g четные, то h(x)=f(x)±g(x) и p(x)=f(x)g(x) –четные;
2) если функции f и g нечетные, то h(x)=f(x)±g(x) – нечетные, а p(x)=f(x)g(x) – четная;
3) если одна из функций f и g – четная, а другая – нечетная, то p(x)=f(x)g(x) –
нечетная.
Пример 1. Какие из функций обладают свойством четности:
а) f(x)=5x-5-x;
б) f(x)=cos(x-7)cos(7+x)?
Решение:
Каждая из заданных функций определена на всей числовой
прямой. Вычислим f(-x):
а) f(-x)=5-x-5x=-f(x) – функция нечетная;
б) f(-x)=cos(-x-7)cos(7-x)=cos(x+7)cos(x-7)=f(x) – функция чётная.
2
Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
2014
Пример 2. Найдем значение функции y(х)=f(x)·g(-x)-f(-x) в точке х0, если известно, что
функция f- чётная, g – нечётная, f(х0) = -3, g(х0) = -2.
Решение:
Так как функция y = f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а так как функция g(x) нечётная, то
g(-x) = -g(x). Преобразуем данную функцию:
y(х) = f(x) · g(-x) - f(-x) = f(x) · (-g(x)) - f(x) = - f(x) · g(x) - f(x).
Тогда при х= х0 получим:
y(х0) = - f(х0) · g(х0) - f(х0) = -(-3) · (-2) - (-3) = -6 + 3 = -3.
Пример 3. Чётная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции
𝑓(𝑥−9.5)
g(x)=2,1 + 𝑥−9.5 вычислим
сумму g(9)+g(10).
Решение:
𝑓(9−9,5)
𝑓(−0,5)
𝑓(10−9,5)
𝑓(0,5)
g(9)=2,1+ 9−9,5 =2,1+ −0.5 ,
g(10)=2,1+ 10−9,5 =2,1+ 0.5 ,
Т. к. функция f по условию является четной, то f(-0.5)= f(0.5).
𝑓(0,5)
𝑓(0,5)
𝑓(0,5)
𝑓(0,5)
Тогда, g(9)+ g(10)= 2,1+ −0.5 + 2,1 + 0.5 = 4,2 + 0.5 − 0.5 = 4,2.
Пример 4. При каких значениях параметра а функция
f (x) = √12 − 𝑥 2 − 4𝑥+2√36 − 𝑥 2 + 16𝑥 − 3√𝑥 2 − 4 + ax
является четной?
Решение:
Найдем область определения заданной функции:
(𝑥 + 6)(𝑥 − 2) ≤ 0
12 − 𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 0
{36 − 𝑥 2 + 16𝑥 ≥ 0
⇔
{(𝑥 − 18)(𝑥 + 2) ≤ 0 ⇔
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≥ 0
𝑥2 − 4 ≥ 0
x∈ {−2; 2}
Оказалось, что область определения функции состоит из двух симметричных
относительно начала координат точек. Для четности функции нужно, чтобы значения
функции в этих точках были равными: f(2)=f(-2), а значит 4-2a=16+2a, откуда а=-3.
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите значение функции в точке х0, если функция f – четная, g – нечетная, f(х0)=1,
g(х0)=-3
Ответ: -0,4
2. Найдите значение функции y(x)=f(x)g(-x)+2f(-x) в точке х0, если известно, что функция
f – четная, функция g – нечетная, f(х0)=2,
g(х0)=-3
Ответ: 10
3. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции
g(x)=2,3+f(x-9) вычислите сумму g(6)+g(8)+g(10)+g(12).
Ответ: 9,2
3
Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
2014
4. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для
𝑓(𝑥−3,5)
функции𝑔(𝑥) = 3,8 + 𝑥−3,5 вычислите сумму g(3)+g(4).
Ответ: 7,6
5. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого
неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=(x-1)(x-3)(x+7).
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
Найдите значение функции ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) при x=-3.
Ответ: -1
6. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого
неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=(x+1)(x+3)(x-7).
Найдите значение функции ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
при x=-3.
Ответ: 1
7. При каких значениях параметров а и b функция f (x) =√𝑎𝑥 + 3 + √𝑥 + 𝑏 является
четной?
Ответ: a=-1, b=3.
Задания на количество корней уравнения f(x)=0.
Пример 5. Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого
неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=x(2x+1)(x2-5x+6). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?
Решение:
График нечетной функции у=f(х) симметричен относительно начала координат. Функция
у=g(х) обращается в нуль на области х≥ 0 в точках с абсциссами х1=0, х2=2, х3=3. Числам
2 и 3 соответствуют противоположные числа -2 и -3. Поэтому график функции у=f(х)
пересекает ось абсцисс в 5 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 5 корней.
Ответ: 5
Пример 6. Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого
неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=x(x+1)(5x-2)(2х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?
Решение:
График четной функции у=f(х) симметричен относительно оси ординат. Функция у=g(х)
обращается в нуль на области х≤ 0 в точках с абсциссами х1=0, х2=-1. Значит, числу -1
соответствует противоположное число 1. Поэтому график функции у=f(х) пересекает ось
абсцисс в 3 точках. Следовательно, уравнение f(x)=0 имеет 3 корня.
Ответ: 3.
Пример 7. Даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x). Решите уравнение
f(x)= g(x),если для всех действительных значений х выполняется равенство
f(x)+ g(x)=2х+7.
4
Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
2014
Решение:
Т.к. даны четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x), то выполняются равенства
f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х). Заменим х на -х, получаем :
f(-x)+ g(-x)= 2(-х)+7
f(-x)+ g(-x)= -2х+7
Учитывая равенства f (-x) = f (x) и g(-х)=-g(х),получаем
f(x)-g(x)=-2х+7
Составим и решим систему уравнений
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 2х + 7
{
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −2х + 7
Отсюда f(x)=7, g(x)=2х.
Следовательно, f(x)= g(x), 7=2х; х=3,5
Ответ: 3,5.
Задания для самостоятельного решения
8) Нечетная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого
неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=x(2x+1)(5x+2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?
Ответ: 3.
9) Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого
неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением
функции g(x)=x(5x+1)(x-2)(х-3). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?
Ответ: 5.
Задания с параметрами
Пример 8. Может ли при каком- нибудь значении а уравнение 2х6-х4-ах2=1 иметь три
корня?
Решение:
Функция f(х)= 2х6-х4-ах2 четная . При замене х на –х данное уравнение не изменится,
значит, если число х0 является корнем данного уравнения, - х0 также является его корнем,
т.е. корни, отличные от 0, входят в множество решений уравнения «парами».Так как 0 не
является корнем, то уравнение имеет четное число корней.
Ответ: не может.
Задания для самостоятельного решения
10) Может ли при каком- нибудь значении а уравнение 2х8-3ах6+4х4-ах2=5 иметь пять
корней?
Ответ: не может.
11) Докажите, что уравнение 3х+3-х=ах4+2х2+2 имеет нечетное число корней.
12) Докажите, что уравнение 4х+4-х=х3+2ах имеет нечетное число корней.
Пример 9. (С- 5 Математика. 11 класс. )
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
x2− |𝑥 − 𝑎 + 6 | =|𝑥 + 𝑎 − 6 | − (a - 6)2
имеет единственный корень.
Решение.
5
Подготовка к ЕГЭ. Учитель высшей категории Кобзенко Е.Е.
2014
Запишем уравнение в виде
x2 + (a – 6) 2 =| 𝑥 + 𝑎 − 6 | + |х − а + 6| .
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и −x0 является его
корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только
если x0 = − x0 , то есть x0 = 0 . Подставим значение x = 0 в уравнение:
|𝑎 − 6 | × (|𝑎 − 6 | − 2) = 0 ,
( a – 6)2 = 2 |𝑎 − 6 |;
откуда либо |𝑎 − 6 | = 0; a = 6, либо |𝑎 − 6 | = 2 ; a = 4 или a = 8 .
При a = 6 уравнение принимает вид x2 = 2 |х| . Корнями этого уравнения
являются числа − 2, 0 и 2 , то есть уравнение имеет ровно три корня.
При a = 4 и при a = 8 уравнение принимает вид x2 + 4 = |х − 2| + | х + 2|.
При x < - 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0 , которое не
имеет корней.
При −2 ≤х≤ 2 получаем уравнение x2 = 0 , которое имеет единственный
корень.
При x > 2 получаем уравнение x2 - 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
Таким образом, при a = 4 и при a = 8 исходное уравнение имеет
единственный корень.
Ответ: a = 4 и a = 8.
Задания для самостоятельного решения
12) Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
x2 + (1- a) 2 = |𝑥 − 1 + 𝑎 | +|𝑥 − 𝑎 + 1|
имеет единственный корень.
Ответ: a = -1 и a = 3.
Литература:
1) Математика Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс
средней школы. М. « Дрофа», 2000г.
2) ЕГЭ. Математика. Справочные материалы. Контрольно- тренировочные
упражнения. Челябинск, «Взгляд», 2006г.
3) КИМ Диагностическая работа № 1 по МАТЕМАТИКЕ от 24 сентября 2013 года.
6