Интегральное исчисление функции одной переменной

1. 4.03.01.1 #Неопределенный интеграл: таблица интегралов
Найдите интеграл
e x dx
 1  e2x .
1 ex 1
1)  ln x
C
2 e 1
 
2) arctg e x  C
1
2
4) arcsin e x  C
3)  ln 1  e 2 x  C
2. 4.03.02.1 #Первообразная
Первообразная функции y  ln x , график которой проходит через точку 1, 2
, имеет вид…
1) F x   x ln x  1  3
2) F x   x ln x  1  3
3) F x   x ln x  1
4) F x   x ln x  1  1
3. 4.03.02.2 #Первообразная
Найдите значение первообразной функции f  x   sin 4 x 
2
 3
,  .
 8 4
при x  
16
,
график которой проходит через точку M 
1
4. 4.03.03.1 #Основные методы интегрирования: интегрирование по частям
Найдите интеграл
1)
 3x  1e
5x
dx .
3
2
x e 5 x + e5 x + C
25
5
2) 15 x e5 x  70 e5 x  C
3
1
3) x 2 e 5 x + x e 5 x + e 5 x + C
5
2
4) 15 x e 5 x  10e5 x + C
5. 4.03.04.1 #Основные методы интегрирования: интегрирование по частям в
определённом интеграле
2
Вычислите интеграл
x
1
15
16
2) 4 ln 2  1
1) 4 ln 2 
3
ln x dx .
3) ln 2  1
4) 4 ln 2 
5
16
6. 4.03.05.1 #Основные методы интегрирования: интегрирование
рациональных дробей
Запишите разложение дроби
2x  5
x 2  x  3x  3x  5 на простейшие, не
находя неопределенных коэффициентов.
Ax  B
C
D

x2  x  3 x  3 x  5
A
B
C
2)


x2  x  3 x  3 x  5
Ax  B
Cx  D Ex  F


3) 2
x3
x5
x  x3
Ax
B
C


4)
x2  x  3 x  3 x  5
1)

7. 4.03.06.1 #Основные методы интегрирования: интегрирование
рациональных дробей
Найдите lim
x 
1) 5
2) 1
F x 
x
4
, если F  x  - первообразная функции
5x5
x 1
2
.
4
5
3) 5
4) 5
2
8. 4.03.07.1 #Интегрирование рациональных дробей в определенном
интеграле
1
x
Вычислите интеграл 
dx .
x

2
0
3
1) 1  2 ln
2
2) ln 3
3
3)
4
4) 1  2ln 3
9. 4.03.07.2 #Интегрирование рациональных дробей в определенном
интеграле
2 3
1
x dx
Вычислите значение интеграла
.
 2
1  ln 2 0 x  4
2
10. 4.03.08.1 #Интегрирование тригонометрических выражений
Найдите интеграл  sin 2 5 xdx .
x 1

sin10 x  C
2 20
x 1
2)

sin10 x  C
2 20
1)
1
sin10 x  C
10
sin 3 5 x
C
4)
15
11. 4.03.09.1 #Интегрирование тригонометрических выражений
3) x 
Укажите подстановку, с помощью которой интеграл
dx
 4 cos x  2 sin x  3
приводится к интегралу от рациональной функции относительно t .
1) tg
x
t
2
2) cos x  t
3) sin x  t
4) tgx  t
12. 4.03.10.1 #Интегрирование иррациональных выражений
Укажите подстановку, с помощью которой интеграл
x  1dx
 3 3x  1  4 3x  1
3x  1
приводится к интегралу от рациональной функции относительно новой
переменной t .
1) 12 3 x  1  t
2)
4
3x  1  t
3x 1  t
4) 6 x  t
13. 4.03.11.1 #Интегрирование иррациональных выражений в определенном
интеграле
4
dx
Вычислите интеграл 
.
1

x
0
1) 4  2 ln 3
2) 2 ln 3
3)
3) 2arctg 2
4) 1/5
14. 4.03.12.1 #Формула Ньютона-Лейбница
1
Вычислите определенный интеграл:
 2x e 
 e  2 dx .
x 
1 / 2

e
e  1
2
1
2
2) e  e
2
1
2
3) e  e
2
2
4) e  e
1)
15. 4.03.12.2 #Формула Ньютона-Лейбница
2
Дан интеграл J   x 2 e x
3
1
dx . Найдите значение выражения 3J  e 
0
1
16. 4.03.13.1 #Свойства определенного интеграла
Найдите среднее значение функции f  x   x 3 на отрезке 1, 2.
1) 15
4
2) 15
3) 15
4) 7
2
4
17. 4.03.14.1 #Свойства определенного интеграла

 f x dx ,
Вычислите определенный интеграл
0, если    x  0
если f ( x )  
2
 x , если
0 x

.
3
1)
3
2 3
2)
3
3) 0
4) 2 2
18. 4.03.14.2 #Свойства определенного интеграла
1
e9
.
 2,  1  x  0

Вычислите определенный интеграл  f  x dx , где f ( x)   1, 0  x  1 .
 3, 1  x  3
1

5
19. 4.03.15.2 #Свойства определенного интеграла
3
/ 2
Вычислите определенный интеграл
 x sin xdx , используя свойства.
 / 2
0
20. 4.03.16.2 #Свойства определенного интеграла
График непрерывной функции y  f x  , симметричный относительно точки
A(1,2) , изображен на рисунке.
y
2 A
-3
0 1
5 x
5
Вычислите интеграл
 f x dx .
3
16
21. 4.03.17.2 #Свойства определенного интеграла
Вычислите интеграл
3
x
2
x

dx .
1
22. 4.03.18.1 #Интеграл с переменным верхним пределом

d  2 x sin 2t

e
ln
t
dt
Найдите производную



dx  

x  0 .
1) 2e sin 4 x ln 2 x
2) 2e sin 4 x ln 2 x  e ln 
3) e sin 4 x ln 2 x
4) e sin 2 x ln x
23. 4.03.18.2 #Интеграл с переменным верхним пределом
x

dt

Найдите 2 f   , где f  x   
.
2
4
1

2
sin
t
0
1
24. 4.03.19.2 #Свойства определенного интеграла
Функция f x  – непрерывная, нечетная. Найдите среднее значение функции
 x   4   f x 3 на отрезке  3, 3.
4
25. 4.03.20.1 #Геометрические приложения определенного интеграла:
площадь
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2 и y  1.
y
1
y=x2
-1
0
1 x
4
3
2
2)
3
1
3)
3
1)
4) 1
26. 4.03.21.1 #Геометрические приложения определенного интеграла:
площадь
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x , x   y  2 , х =0.
1) 7/6
2) 3
3) 5/6
4) 3/2
27. 4.03.22.1 #Геометрические приложения определенного интеграла: длина
дуги кривой
Найдите длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:
x  cos t , y  sin t , t  0,  .
1) 

2

3)
4
4) 2
2)
28. 4.03.23.1 #Геометрические приложения определенного интеграла: объем
тела вращения
Найдите объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной
линиями y  x 2  2 x , x  3, y  0 .
38

15
4
2) 
3
3) 9
253
4)

15
1)
29. 4.03.24.1 #Геометрические приложения определенного интеграла: объем
тела вращения
Найдите объем тела вращения вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
линиями x  y 2  2, y  1, y  0, x  0 .
83
15
73
2)
15
7
3)
3
4) 2
1)
30. 4.03.25.1 #Несобственные интегралы I рода
Вычисление несобственного интеграла I 


2
xe  x dx приводит к
0
следующему результату…
1
1) I 
2
1
2) I  
2
3) интеграл расходится
4) I  2
31. 4.03.26.1 #Несобственные интегралы II рода
Вычисление несобственного интеграла I 
1/ 3

0
следующему результату…
1) I  1 / ln 3
2) I  3
3) I  ln 3
4) интеграл расходится
dx
x ln 2 x
приводит к