Вписанные и описанные сферы

Вписанные и описанные сферы.
1. Описанная сфера.
Сфера и ограниченный ею шар называются описанным около некоторого
многогранника М, если все вершины многогранника М лежат на этой сфере (на
шаровой поверхности).
В этом случае многогранник М называется вписанным в сферу.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Из определения сферы следует два факта:
1. Все вершины вписанного в сферу многогранника равноудалены от некоторой точки
(от центра описанной сферы).
2. Каждая грань вписанного в сферу многогранника является вписанным в некоторую
окружность многоугольником, именно в ту окружность, которая получается в сечении
сферы плоскостью грани; при этом основания перпендикуляров, опущенных из центра
описанной сферы на плоскости граней, являются центрами описанных около граней
окружностей.
Центр описанной сферы – это точка пересечения перпендикуляров к плоскостям
граней многогранника, проходящих через центры описанных около граней окружностей.
Теорема 1. Около любой правильной призмы М = А1А2А3…В1В2В3… (А1А2…В1В2… основания призмы) можно описать сферу, причем ее центр О есть середина отрезка
ОАОВ, соединяющего центры оснований призмы. (рис.3)
Задача 1. Найдите радиус шара, описанного около куба со стороной a.
Задача 2. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания
призмы равно a. Найдите высоту призмы при n=6.
Теорема 2. Около любой правильной пирамиды М = PА1А2А3… можно описать сферу,
причем ее центр О лежит на оси пирамиды. (рис.2)
Задача 3. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром a.
1
2. Вписанная сфера.
Сфера и ограниченный ею шар называются вписанными в некоторый многогранник
М, если они касаются всех граней многогранника (т. е. касаются их плоскостей, причем
точки касания лежат на гранях).
В таком случае многогранник М называется описанным около сферы (шара).
Рис.4
Рис.5
Теорема 3. В любую правильную пирамиду М= PА1А2А3…можно вписать сферу,
причем ее центр О лежит на оси пирамиды, а точки касания сферы с боковыми гранями
лежат на апофемах пирамиды. (рис.4)
Задача 4. Вычислить радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a.
Задача 5. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды,
если сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом  .
Задача 6. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а
плоский угол при вершине равен  . Найдите радиусы вписанного и описанного
шаров.
Задача 7. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими
углами  при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
Задача 8. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к
плоскости нижнего основания конуса равен  . Найдите радиусы оснований и
образующую усеченного конуса.
2