Методы определения весовых коэффициентов

Тема: Методы определения весовых коэффициентов
Введение. Можно сказать, что веса критериев – самое тонкое место в
проблеме критериального анализа. Чаще всего веса назначают, исходя из
интуитивного представления о сравнительной важности критериев. Однако
исследования показывают, что человек (эксперт) не способен непосредственно
назначать критериям корректные численные веса. Необходимы специальные
процедуры получения весов.
В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает
необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в
аддитивный, мультипликативный или минимаксный критерии оптимальности,
метод последовательных уступок, для сужения множества Парето. Оценивают
важность частных критериев Fi(X) с помощью коэффициентов i:
f(X)= ifi(X) - аддитивный критерий;
m
f(X)=
 f  ( X ) - мультипликативный критерий;
i
i
i 1
ifi(X)=K, - равенство частных критериев,
где fi(X)= Fi(X)/ Fi0(X), Fi0(X) – нормирующий множитель.
Для рассматриваемых методов многокритериальной оптимизации
существенным является исходное упорядочивание критериев. Иногда их порядок
очевиден ("кошелёк или жизнь") или общепризнан (как порядок букв в алфавите),
но бывает, что этот вопрос не тривиален, а привлекаемые для его решения
эксперты дают несовпадающие упорядочения критериев. Выход состоит в том,
чтобы установить, какое из предложенных экспертами упорядочений является
"средним", “типичным” для данной группы. Это опять-таки можно делать поразному. Среди специалистов пользуется признанием упорядочение, называемое
медианой Кемени.
Весовые коэффициенты должны качественно отражать важность
соответствующих частных критериев. Значения i выбираются исходя из анализа
мирового уровня развития данной отрасли, из требований к проектируемому
объекту и из существующих возможностей реализации этих требований.
Открытие новых физических принципов и разработка новых методов
проектирования могут существенно влиять на значения весовых коэффициентов.
Величина i определяет важность i  го критерия оптимальности и задает в
количественном измерении предпочтение i  го критерия над другими
критериями оптимальности. Весовые коэффициенты i должны удовлетворять
условию
m
 i 1 .
В связи с этим возникает вопрос: "Как выбирать численные
i 1
значения весовых коэффициентов i?". Получить ответ на этот вопрос, в какойто
степени можно, если имеется дополнительная информация о важности частных
критериев оптимальности.
§1. Экспертные оценки
Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать
интеллект людей, их способность искать и находить решение слабо
формализованных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов
проведения экспертизы. Наиболее эффективными оказались методы
ранжирования и приписывания баллов.
§1.1. Метод ранжирования
Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза
проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными
специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования
основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии
проектируемого объекта в порядке их важности. Цифрой 1 обозначают наиболее
важный частный критерий, цифрой 2 - следующий по важности частный критерий
и т.д. Эти ранги преобразовываются таким образом, что ранг 1 - получает оценку
m (число частных критериев), ранг 2 - оценку m-1 и т.д. до ранга m, которому
присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки rik - где i это номер i - го
эксперта, k это номер k - го критерия. Тогда результаты опроса экспертов можно
свести в таблицу
Эксперты
1
2
.
.
.
L
 оценок
Критерии
F1
r11
r21
.
.
.
rL1
r1
F2
r12
r22
.
.
.
rL2
r2
...
...
.
.
.
...
...
Fm
r1m
r2m
.
.
.
rLm
rm
L
r   r , i=1,2, …,m.
i
ji
j 1
В (L+1) - строке стоят суммы оценок, полученных критериями от экспертов.
Тогда весовые коэффициенты определяются следующим образом
i 
ri
m
r
i 1
- (i=1,2, . . . , m) - формула для вычисления весовых коэффициентов i по
i
методу ранжирования.
Рассмотрим пример. Пусть имеются группа из трёх экспертов и два
критерия F1 и F2. Эксперты их расставили в следующем порядке.
Места
Эксперты
1
F1
F2
F1
1
2
3
2
F2
F1
F2
Определим элементы матрицы согласно алгоритму (первому месту – два балла, а
второму - один балл): r11=2, r12=1, r21=1, r32=1.
Критерии
Эксперты
F1
2
1
2
1
2
3
Сумма
m
r1=5
 r =5+4=9;
i 1
i
F2
1
2
1
r2=4
1=r1/9=5/9; 2=r2/9=4/9.
Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го.
§1.2. Метод приписывания баллов
Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного
критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными
величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы
нескольким критериям. Обозначим через hik - балл i - го эксперта для k- критерия,
тогда
rik 
hik
m
h
,
где
m
h
ik
- сумма i - ой строки.
k 1
ik
k 1
rik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда,
учитывая, что
ri 
L
r
ji
j 1
, получим i 
ri
m
r
i 1
i
Пример. Пусть имеются два критерия F1 и F2. Эксперты поставили им следующие
баллы.
F1
F2
1 9
6
h11=9, h12=6;
1=15
2 10
6
h21=10, h22=6;
2=16
3 10
5
h31=10, h32=5;
3=15
Построим матрицу оценок
Эксперты
1
2
3
критерии
F1
F2
h11=9
h21=10
h31=10
h12=6
h22=6
h32=5
Находим сумму значений каждой строки
Эксперты
1
2
3
критерии
F1
9
10
10
F2
6
6
5
Сумма
15
16
15
Вычислим веса rik
r11=h11/15=9/15, r12=h12/15=6/15, r21=h21/16=10/15, r22=h22/16=6/16,
r31=h31/15=10/15, r32=h32/15=5/15.
Построим матрицу весов и найдём сумму значений каждого столбца
Эксперты
1
2
3
Сумма
критерии
F1
9/15
10/16
10/15
r1=1.892
F2
6/15
6/16
5/15
r2=1.108
ri=1.892+1.108=3.
Вычисляем весовые коэффициенты
1=1.892/3=0.631, 2=1.108/3=0.369.
Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го критерия.
Выше подразумевалось, что эксперты имеют равную компетентность.
Однако если компетентность экспертов различна и может быть оценена
некоторым числом, то полученные формулы нуждаются в уточнении. Пусть
компетентность j - го эксперта оценивается положительной величиной j (вес
L
эксперта). Будем считать эти величины нормированными (  j  1 ).
j 1
Тогда для метода ранжирования ri будем рассчитывать по формулам
L
ri   rji   j . Аналогично получаем для метода приписывания баллов
j 1
L
ri   rji   j .
j 1
Замечание. Иногда значения j выбирают из интервала (0   1).
§1.3. Обработка результатов экспертных оценок
Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как
реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы
математической статистики. Среднее значение оценки для i - го критерия
L
r
ji
ri 
j 1

L
1 L
r
rji  i .

L j 1
L
Среднее значение ri выражает коллективное мнение группы экспертов.
Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной
 i2 
1 L
( rji  ri ) 2 , называемой дисперсией оценок. Ясно, что чем меньше значение

L j 1
дисперсии, чем с большей уверенностью можно опираться на найденные значения
ri оценки степени важности частного критерия Fi(X). В качестве меры надёжности
приведённой экспертизы принимают  
i
ri
и называют вариацией. По среднему
значению оценки ri определяются весовые коэффициенты
i 
ri
m
r
i 1
, i  1, m.
i
Статистическая обработка результатов экспертных оценок
подобна
статистической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы
существенно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы,
уровень компетентности экспертов; состав вопросов, представляемых экспертам и
т.д.
Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать
случайности: настроение, самочувствие, обстановка, а также знание и опыт.
§2. Формальные методы определения весовых коэффициентов
Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по
информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять
значения весовых коэффициентов λi.
Способ 1. Для каждого частного критерия оптимальности Fi(X)>0,
i  1,2,...,m вычисляется коэффициент относительного разброса по формуле:
Fi  Fi
i 
1
Fi
где
Fi  min Fi ( X ), Fi  max Fi ( X ) ,
X D
X D
Fi
Fi
,
который
определяет
максимально
возможное отклонение по i -му частному критерию. Весовые коэффициенты λi
получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс
которых в области оценок наиболее значителен
i 
i
m
(i 1,...,m) .
 k
k 1
Пример 1. В качестве примера рассмотрим конкретную числовую задачу в
следующей постановке:
min F1  x   min 4( x  2) 2  5,
xD
xD
min F2  x   min ( x  4) 2  1,
xD
xD
D  0  x  5.
При этом имеем следующие значения промежуточных вычислений:
41  5 36
17  1 16
 .
F1  41, F1  5 , 1 
 , F2  17, F2  1 ,  2 
17
17
41
41
Тогда весовые коэффициенты будут иметь следующие значения:
1
36  36 16 
1 

    0,48 ,
1   2 41  41 17 
2
16  36 16 
2 

    0,52 .
1   2 17  41 17 
Способ 2. Пусть все Fi  0, i1,2,..., s , тогда рассматриваются коэффициенты
i ( X ) 
Fi ( X )  Fi
Fi
,
которые характеризуют отклонение частного критерия оптимальности от его
наименьшего значения.
Предположим, что важность i -го критерия оптимальности зависит от
выполнения неравенства

i (x)   i .
(1)
Здесь величины  i задаются ЛПР из условия, что чем важнее критерий, тем
меньше выбирается значение  i .
Пусть Ri* - наибольший радиус шара, построенного около точки минимума
X i* — i-го критерия оптимальности, внутри которого точки X  d ( X i* Ri* ) (шар
радиуса Ri* с центром в X i* ) удовлетворяют условию (1).

 Fi ( X )  Fi
 n

*
* 2
Тогда Ri  max   ( x k  x k )  , при условии  i ( x ) 
 i .



F
X D  k 1

i
*
Теперь очевидно, что чем больше радиус шара Ri , в котором относительное
отклонение i-го критерия от его минимального значения не превосходит i , тем
меньше надо выбирать значение весового коэффициента λi:
1
i 
Ri*
s

i  1,...,m .
1
*
i 1 Ri
Пример 2. Рассмотрим задачу из примера 1 и положим, что ЛПР задал
 1  0,4 ,  2  0,6 . Тогда будем иметь
4( x  2) 2  5  5
R  max ( x  2)
 0,4 при ( x  2) 2  0,5 ,
0 x5
5
2
*
2 ( x  4)  1  1
 0,6 при ( x  4) 2  0,6 .
R2  max ( x  4)
0 x5
1
R1*  0,5 
6
5
 1   0,55 2   0,45 ,
Откуда

11
11
R2*  0,6
т.к. λ1>λ2, то локальный критерий F1 важнее локального критерия F2.
*
1
2