Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. 4.02.01.1 #Производная функции
Найдите производную функции f x   ecos 2 x .
1) f  x   2 sin 2 x  ecos 2 x
2) f  x   e sin 2 x
3) f  x   2e  sin 2 x
4) f x   2 sin x  ecos x
2. 4.02.02.1 #Производная функции
Вычислите производную функции y  arctg 2
1) 
1
в точке x0  1.
x

4

2

3)
4
2)
4) 1
3. 4.02.02.2 #Производная функции
Вычислите производную функции y 
arcsin x
1 x
2
в точке x0  0 .
1
4. 4.02.03.1 #Уравнения касательной и нормали к кривой
Найдите уравнение касательной к графику функции y  5 x 2  2 x  2 в
точке с абсциссой x0  1.
1) y  4 x  1
2) y  5 x  1
3) y  2 x  3
4) y  9 x  9
5. 4.02.04.1 # Уравнения касательной и нормали к кривой
Уравнение касательной, проведенной к графику функции y  f x  , заданной
уравнением 2 y ln y  x , в точке 0, 1 имеет вид…
5
x
1
2
2) y  2 x  1
3) y  1  2 x
x
4) y  1 
2
1) y 
6. 4.02.05.2 #Геометрический смысл производной
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y  f x  ,
заданной параметрическими уравнениями x  t  sin t , y  1  cos t в точке,
соответствующей значению параметра t   .
0
7. 4.02.06.1 #Геометрический смысл производной
Точка графика функции y  x 2  7 x  3 , касательная в которой параллельна
прямой y  5 x  2 , имеет координаты…
1) 6,  3
2)  6, 3
3)  6,  3
4) 6, 3
8. 4.02.06.2 #Геометрический смысл производной
Найдите абсциссу точки, в которой касательная, проведенная к параболе
y  4 x  x 2 , перпендикулярна прямой x  2 y  1  0 .
1
9. 4.02.07.2 #Геометрический смысл производной
Найдите угол наклона к оси Ox касательной к графику функции

x  13
y
3
в точке пересечения графика с осью Ox .
0
10. 4.02.08.1 #Уравнения касательной и нормали к кривой
Уравнение нормали к графику функции y   x  2 в точке пересечения его
с биссектрисой первого координатного угла имеет вид…
1) 2 x  y  1  0
2) 2 x  y  1  0
3) x  2 y  1  0
4) x  2 y  1  0
11. 4.02.09.1 #Уравнения касательной и нормали к кривой
27
в точке с отрицательной абсциссой проведена
x 1
касательная параллельно прямой y  3x  2 . Тогда уравнение касательной
К графику функции y  
имеет вид…
1) y  3x  15
2) y  3x  1
3) y  3x  1
4) y  3x  6
12. 4.02.10.1 # Уравнения касательной и нормали к кривой
x
проведена касательная в точке с абсциссой
4
x0  2 . Тогда ордината точки пересечения касательной с осью Oy равна…

1)
2

2) 
2
3) 2
4) 2
К графику функции y  cos
13. 4.02.11.2 # Уравнение касательной к кривой
1
 1 , проведенная в точке с абсциссой
x
x0 , проходит через начало координат. Найдите значение x0 .
Касательная к графику функции y 
2
14. 4.02.12.2 #Геометрический смысл производной
Касательная, проведенная к графику функции y   x 2  5 x  6 , образует с
осью Ox угол в 135о. Найдите сумму координат точки касания.
3
15. 4.02.13.1 #Механический смысл производной
Тело, брошенное вверх, движется по закону h  2  14t  4 ,9t 2 (h – в метрах,
t – в секундах, начало движения t0  0 ). В конце второй секунды тело имеет
скорость (м/с), равную…
1)  5,6
2)  4,9
3) 0
4) 5,6
16. 4.02.14.1 #Механический смысл второй производной
Точка движется прямолинейно по закону xt   2t 3  t  1 ( x – в метрах, t – в
секундах, t0  0 – начало движения). Ускорение точки равно 2 м/c2 в момент
времени t, равный…
1
1)
6
1
2)
12
1
3)
6
4) 0
17. 4.02.14.2 #Механический смысл первой и второй производных
t3 2
Тело движется прямолинейно по закону st     t  3t  1 (s – в метрах,
3
t – в секундах, t0  0 – начало движения). Найдите скорость (м/с) тела в
момент времени, когда ускорение (м/с2) его равно нулю.
4
18. 4.02.15.1 #Механический смысл производной
Закон прямолинейного движения материальной точки по прямой имеет вид
xt   0,25t 4  4t 3  16t 2 ( х – в метрах, t – в секундах, t0  0 – начало
движения). Направление движения совпадает с положительным
направлением оси Ox при значениях t, удовлетворяющих условию
1) t  0, 4  8,  
2) t  4, 8
3) t  0, 2  4,  
4) t  2, 4
19. 4.02.16.2 #Механический смысл производной
Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону
st   1  2 ln1  t   1  t 3 (s – в метрах, t – в секундах, t0  0 – начало
движения). Найдите кинетическую энергию (кг·м2/с2) через 1 секунду после
начала движения E  mv2 / 2 .
507
20. 4.02.17.2 #Механический смысл производной
Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени.
Первый оборот был сделан колесом за 8 секунд. Найдите значение

выражения
1


1  2 , если 1 (рад/с) - угловая скорость колеса через 16
секунд после начала движения, 2 (рад/с) - угловая скорость колеса через 32
секунды после начала движения.
3
21. 4.02.18.2 #Механический смысл первой и второй производных
Тело движется прямолинейно так, что v 2  4 s , где v – скорость (м/с), s t  –
пройденный путь (м). Найдите ускорение движения (м/с2).
2
22. 4.02.19.2 #Механический смысл производной
Материальная точка движется вдоль оси Ox по закону
xt   t 3  3t 2  9t  3 ( х – в метрах, t – в секундах, t0  0 – начало
движения). Найдите максимальную скорость (м/с) движения точки.
12
23. 4.02.20.1 #Геометрический смысл производных первого и второго
порядка
Для функции y  f x  (см. её график) верно утверждение…
y
x2
0
x1
x3
x
1) f x2   f x1 
2) f x2   f x2   f x2   0
3) f x3   f x1 
4) f x1   f x3 
24. 4.02.21.1 #Геометрический смысл дифференциала и приращения
функции
Для функции y  f x  (см. её график) в точке x0 при x  0 верно
утверждение…
y
x0 x0   x
0
x
1) y  dy
2) y  dy
3) y  dy
4) dy  x
25. 4.02.22.1 #Производная функции, заданной параметрически
Найдите производную y x для функции, заданной параметрическими
уравнениями: x  1  t 2 , y  arcsin t , t  0,1 .
1
1) 
t
2)  t
2t
3) 
1 t2
4) 2t 1  t 2
26. 4.02.23.1 #Производная функции, заданной параметрически
Для функции, заданной параметрическими уравнениями: x  t 1  sin t ,
y  t cos t , найдите значение производной
3
4
4
2)
3
1)
dy
3
при t 
.
2
dx
3) 0
3
4
27. 4.02.24.1 # Производная функции, заданной неявно
Производная функции y  x , заданной неявно уравнением
y
arctg  ln x 2  y 2 , равна…
x
x y
1)
x y
4) 
x2  y 2
2)
x y
2x 2  x
y
1
4)
2x
28. 4.02.25.1 #Производная функции, заданной неявно
Значение производной функции y  x , заданной неявно уравнением
3)
e y  xy  e , в точке M 0, 1 равно…
1) 
1
e
2) e
3) e
1
4)
e
29. 4.02.25.2 #Производная функции, заданной неявно
Найдите значение производной y x в точке M 1, 0, если y 5  x 2 y  ln x  0 .
1
30. 4.02.26.1 #Производная показательно-степенной функции
2
Производная функции y  x x равна…
2
1) x x 1 2 ln x  1
2) x x
2
1
3) x x
2
1
ln x
2
4) x x ln x
31. 4.02.27.1 #Дифференциал функции
Дифференциал функции y  1 ln2 x имеет вид…
1) dy 
2) dy 
3) dy 
4) dy 
 ln x dx
x 1  ln 2 x
dx
x 1  ln 2 x
ln x dx
x 1  ln 2 x
 dx
x 1  ln 2 x
32. 4.02.28.1 #Дифференциал и приращение функции
Разность между приращением и дифференциалом функции f x   2 x 2  3
в точке x0  1 при x  0,1 равна…
1)  0,02
2) 0,02
3) 0,021
4) 0,022
33. 4.02.29.1 #Линеаризация функции
Результат линеаризации функции y   x  2 e  x  x в точке x0  0 имеет
вид…
1) 2  3x
2) 2  3x
3) 1  3x
4) 2  x
34. 4.02.30.2 #Дифференциал функции
Определите значение выражения 10  df ( x ) при x  0,1, если известно, что
2
lim
x  0
f  x  x   f  x  7 x 
 3 .
2x
1
35. 4.02.31.2 #Дифференциал функции
x 3  16
Дифференциал функции f  x  
в точке x0 при x  0 равен нулю.
x
Найдите значение x0 .
2
36. 4.02.32.1 # Правило Лопиталя
ln  x  3  ln x
равно…
x 0
x
Значение предела lim
1
3
2) 1
1)
3) 
1
3
4)  1
37. 4.02.32.2 #Правило Лопиталя
Вычислите предел lim
e x  e x
x  
xe
x
.
0
38. 4.02.33.2 #Правило Лопиталя
Вычислите предел
2
lim x e  x .
x  
0
39. 4.02.34.1 #Правило Лопиталя
1 
 x

 .
x 1 ln x 2 x  1 
Вычислите предел lim 
1) 
1
2)
2
1
3) 
2
4) 0
40. 4.02.34.2 #Правило Лопиталя
2 x 2
 .
x  0 sin x
x
Вычислите предел lim 
1
41. 4.02.35.1 #Правило Лопиталя
Вычислите предел
1
lim x 1 x
x1
.
1
e
2) 1
3) 0
4) e
42. 4.02.35.2 #Правило Лопиталя
1)
Вычислите предел lim
x  / 2
 tgx2 cos x .
1
43. 4.02.36.1 #Интервалы возрастания, убывания функции
( x  1)2
Укажите интервал убывания функции y  2
.
x 1
1)
2)
3)
 1, 1
 ,  1
1,  
 , 1
4)
44. 4.02.36.2 #Интервалы возрастания, убывания функции
1
3
Найдите длину промежутка возрастания функция f  x    x 3  4 x 2  15 x .
2
45. 4.02.37.1 #Экстремумы функции
Пусть x0 – точка минимума функции y   x  1 e3 x . Тогда значение x0
равно…
2
1)
3
2)  1
1
3) 
2
1
4)
3
46. 4.02.37.2 #Экстремумы функции
Пусть x0 – точка минимума функции y 
x3
x2
. Найдите значение x0 .
6
47. 4.02.38.2 #Экстремумы, интервалы монотонности функции
x
Функция y  2
имеет экстремум при x0  2 . Найдите значение "a" .
x a
4
48. 4.02.39.2 #Экстремумы функции
Найдите число точек экстремума функции y   x  2 e1 / x .
2
49. 4.02.40.2 #Экстремумы функции
Найдите минимум функции y  3 3 ( x  1 )2  2 x .
2
50. 4.02.41.1 #Наибольшее и наименьшее значения функции
Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции
x2  x  4
на отрезке 0, 4, то значение выражения m  M равно…
f x  
x 1
1) 7,8
2) 7
3) 8,8
4)  0,2
51. 4.02.42.2 #Элементы исследования функции
График функции y  f x  имеет вид:
y
0
х
Пусть m – количество нулей функции f ( x) , n – количество экстремумов.
Найдите значение m  n .
6
52. 4.02.43.1 #Интервалы выпуклости, вогнутости
График функции y 
2x
вогнутый на интервале…
x3
1) (3; )
2) (;  12)
3) (12;  6)
4) (6;0)
53. 4.02.43.2 #Интервалы выпуклости, вогнутости
Найдите количество целых значений x , принадлежащих интервалу


выпуклости кривой y  ln 1  x 2 .
1
54. 4.02.44.2 #Точки перегиба
Пусть вторая производная функции f x  , определенной при всех x  R ,
имеет вид f x   e x 1 x  1 x 3 . Найдите число точек перегиба графика
функции y  f x  .
1
55. 4.02.45.2 #Точки перегиба
2
2
Найдите число точек перегиба графика функции y  e 2 x  x  5 x  6 .
2
56. 4.02.46.1 #Точки перегиба
Если Px0 , y0  - точка перегиба кривой y  x e x , то значение выражения
x0  y0 равно…
4
1) 2
e
4
2)  2
e
1
3) 2
e
4) 
2
e2
57. 4.02.46.2 #Точки перегиба
Пусть Px0 , y0  - точка перегиба кривой y   x  4  4 x  4 . Найдите
значение выражения x0  y0 .
24
58. 4.02.47.2 #Точки перегиба
Найдите значение выражения a  b , при котором точка 1, 4 служит точкой
5
перегиба кривой y  ax 3  6 x 2  b.
2
59. 4.02.48.1 #Асимптоты
4 x 2  18 x  11
Уравнение наклонной асимптоты графика функции y 
имеет
x7
вид…
1) y  4 x  10
2) x  7
3) y  8x  18
4) y  2 x  1
60. 4.02.49.1 #Асимптоты
Найдите все вертикальные асимптоты графика функции f  x  
1) x  0 , x  2
2) x  0
3) x  2, x  1
4) x  2
61. 4.02.49.2 #Асимптоты
Найдите число вертикальных асимптот графика функции y 
1
62. 4.02.50.1 #Асимптоты
x2  4x x  5
Асимптотой кривой y 
является прямая…
x 1
1) асимптот нет
2) x  1
3) y  x  5
4) y  x  3
63. 4.02.51.1 #Асимптоты
Найдите все асимптоты графика функции f  x  
x3 3
 .
x3 x
x
1
 .
x2 x
x2  6x  8
x  2x
2
.
1) x  0, y  1, y  1
2) x  3  0
3) x  0
4) x  0 , x  3
64. 4.02.51.2 #Асимптоты
Найдите количество асимптот графика функции f  x  
x3 3

x3 x
3
65. 4.02.52.2 #Асимптоты
Найдите сумму x0  y0 , где x0 , y0   точка пересечения асимптот графика
функции y  x arctgx.
1
66. 4.02.53.2 #Асимптоты
Найдите число вертикальных асимптот графика функции y 
1
67. 4.02.54.1 #Элементы исследования функции
Графику функции y  f x 
y
0
х
x0
соответствуют условия…
1) f x0  не существует, f x0    0
2) f x0   0 , f x0    0
3) f x0  не существует, f x0    0
4) f x0  не существует, f x0    0 , f x0     0
68. 4.02.55.1 #Элементы исследования функции
График функции y  f x  на отрезке a ,b имеет вид:
y
0
a
b х
Тогда на этом отрезке выполняются условия…
1) f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0
2) f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0
3) f ( x)  0, f ( x)  0 f ( x)  0
4) f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0
sin x
x2  x
.
69. 4.02.56.1 #Элементы исследования функции
Функция y  f x  определена на всей числовой прямой. Если для любых x1
и x2 , удовлетворяющих условию x1  x2  0 , выполняется равенство
f x1   f x2   0 , то f x обязательно
1) нечетная
2) периодическая
3) четная
4) ограниченная
70. 4.02.57.2 #Элементы исследования функции
На рисунке изображен график производной дважды дифференцируемой
функции y  f x  в интервале a , b.
y
y  f  x 
a
0
b
x
Пусть n  количество точек перегиба графика функции y  f x  , а k 
количество точек экстремума этой функции в интервале a , b . Найдите
значение n  k .
9
71. 4.02.58.2 #Элементы исследования функции
На рисунке изображен график производной дважды дифференцируемой
функции y  f x  в интервале a , b.
Найдите количество точек перегиба графика функции y  f x  в интервале
a, b.
2
72. 4.02.59.2 #Элементы исследования функции
График функции y  f ( x ) имеет вид:
y
0
х
Пусть n – количество экстремумов функции f ( x ) , k – количество точек
перегиба. Найдите значение n  k .
4