xxxxxxxxxxxxxx

advertisement
Задача № 1.
В сферу радиуса  вписана пирамида , основанием которой служит прямоугольник , а
высота пирамиды совпадает с боковым ребром . Боковое ребро  наклонено к плоскости основания
под углом 45° , а плоскость, проходящая через  и параллельная диагонали основания , образует с
высотой пирамиды угол 30° . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через диагональ основания  ?
T
30
R
O
R
R
A
B
M
Q
R
R
H
N
L
45
D
C
K
P
Решение.
1. Пусть т.  – центр сферы (Т.  равноудалена от вершин пирамиды), т.е.
 =  =  =  =  = .
2. ∠TCA=45° - угол между  и ().
3. Построим плоскость, проходящую через  и параллельную диагонали основания : в плоскости
  ∥ ,  ∩  = . Плоскость  ∥  и  ⊂ ().
4. ∠ − линейный угол двугранного угла  =>  ⊥ () => () ⊥ (), т.к.
 ⊂ () =>  содержит проекцию  на плоскость  => ∠ = 30° - угол, образованный
плоскостью  и высотой пирамиды .
5. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания , − ∆,
вершина которого  лежит на ребре . Площадь этого треугольника тем меньше, чем меньше
его высота.
1
6. ∆:  = 2; ∠ = 90° ; ∠TCA=45° =>  =  = √2;  =  = 2  =
√2
2
.
7. ∆ подобен ∆ по двум углам, т.к. ∠ANH=∠LQH=90° ; ∠AHN=∠LHQ как вертикальные =>


=

1
1
1
;  = 2  = 2  ∙ 30° = 2 √2 ∙

1
1
√3
2
8. ∆:  = √2 + 2 = √2 +  2 = √
2
= 2 √3 =
3

√6

√6
. Т.о.

2
+
3
2
2
4
4
ℎ′ () =
8
−√2
3
, ℎ′ () = 0, если
2
4

2√  2 −√2∙+
3
ℎ′ ()
|
0
3√2∙
, 0<<
2
2
2
=

√3
|
|
3√2∙
√2
8
2
3√2∙
8
− ;  =
√2
2
− ).
.
√2
2
 − √2 = 0, т. е.  =
3
3√2∙
8
4
, (2√3  2 − √2 ∙  +
2
2
> 0).
3
функция достигает своего наименьшего значения
6
2
4
) = √8  2 − 8  2 + 8  2 = √ 8 =
1
1
2
4
√2
4
=
2
4
√2
4
.
2
+
 = 2 ∙  ∙ ℎ = 2 √2 ∙
Ответ:
2
√2
∙∙2
√6∙√2

В точке  =
8
;  =
2
−
ℎ()
ℎ(
2
8

2
− √2 ∙  + 2 = √3 2 − √2 ∙  +
Рассмотрим функцию ℎ() = √3  2 − √2 ∙  +
√2
2

√2
+  2 = √ 3 + ( 2 − )
(в. ∆ ∠ = 90° ; ∠С = 45° =>  = ;  =  −  =
Т. о.  = ℎ = √
=
.
. ( =  как диагонали прямоугольника).
.
Замечание:
Возможен другой способ решения задачи, если замети, что высота  треугольника  будет
наименьшей, если  ⊥  (т.  ∈ , || − расстояние от т.  до );  – общий
перпендикуляр между скрещивающимися прямыми  и.
Скачать