Решения задач для старших курсов

Задания для студентов 3–5 курсов
№1
Вдоль прямой
движется тело, скорость которого пропорциональна квадрату
расстояния от начала координат. В точке с координатой х = 5 м скорость тела
составляет 2 м/с. Определить ускорение тела в данной точке.
Решение
v   x ,   const ,
2
dv d
 ( x 2 )  2 xv  2 2 x3 ,
dt dt
v
2v 2
  2 a
 1, 6 м / с 2 .
x
x
a
Ответ: a = 1,6 м/с2.
№2
Однородный стержень длины L может вращаться вокруг
горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей
через один из его концов. Систему равномерно вращают с угловой
скоростью ω вокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением,
найти угол θ между стержнем и вертикалью.
ω
θ
L
Решение
Перейдем в СК, связанную с точкой закрепления стержня, ось х
направим вдоль стержня. На каждый элемент dх с массой dm
стержня в этой СК действует сила тяжести dmg , центробежная
сила инерции dFин и направленная к точке подвеса сила dT со стороны других
элементов стержня.
Условие равновесия: сумма всех действующих на стержень
сил и сумма их моментов должны быть равны 0. Так как
O
момент силы dT относительно т. О равен 0, то отсюда для
элемента dх с радиус-вектором r получаем следующее
θ
dT
уравнение:  r , dmg    r , dFин   0 или в скалярном виде:
T
dx
dFин
dmg
x
xdmg sin    2 x 2 sin  cos  dm. Масса
стержню
непрерывно,
поэтому
интегрирования:
L
распределена по
задача
требует
L
2 2
 gx sin  dm    x sin  cos dm .
0
Стержень
однороден,
0
массу dm можно представить как произведение линейной
плотности на элемент длины: dm = ρdx, где ρ = m/L = const.Тогда получим:
L
L
 g sin   xdx   sin  cos   x 2 dx  g
2
0
 cos  
0
3g
2 2 L
Ответ: cos  
L2
L3
  2 cos  
2
3
.
3g
2 2 L
.
1
№3
Один моль Не расширяется так, что его давление линейно зависит от объема.
Температуры в исходном и конечном состоянии одинаковы. Вычислите работу,
совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность
между максимальной и минимальной температурой равна ΔТ, а объем гелия
увеличивается в k раз, k > 1.
P
P0
P
V0
V
V
Решение
Так как давление по условию изменяется по линейному
закону, то его зависимость от V имеет вид: P  a  bV .
Рисунок изображает эту зависимость при b < 0.
PV
0 0  PV  P  PV
0 0 / V  P0 / k .
Работа A численно равна площади под кривой P(V), т.е.
площади трапеции в данном случае и определяется как
PV
1
1 P
A  ( P  P0 )(V  V0 )  ( 0  P0 )(kV0  V0 )  0 0 (k 2  1).
2
2 k
2k
Найдем выражение для произведения неизвестных P0V0 .
 RT
 RT
aV  bV 2

Из уравнения состояния идеального газа P 
 a  bV  T 
.
V
V
R
Получили закон изменения температуры от объема для данного процесса. Видно, что
температура сначала будет расти, затем, после достижения своего максимального
значения Tm = T0 + ΔТ, уменьшаться до первоначального значения T0. Найдем объем
Vm и давление Pm, соответствующие температуре Tm:
dT
a
 0  a  2bV  0  Vm   ;
dV
2b
P
1 k
P0  a  bV0 , P  a  bV  P  P0  b(k  1)V0  b   0 , a  P0
;
kV0
k
PV
k 1
k 1
Vm  V0
, Pm  P0
 PmVm  0 0 (k  1) 2   R(T0  T ) 
2
2k
4k
1
 PV
  RT  P0V0  (k  1) 2  1  0 0 (k  1) 2 .
 4k
 4k
Сравнивая данное выражение и полученное выше выражение для работы A,
k 1
окончательно записываем: A  2 RT
(с учетом того, что количество в-ва   1 ).
k 1
k 1
.
Ответ: A  2 RT
k 1
2
№4
Перемычка MN скользит по двум вертикальным
направляющим под действием силы тяжести без потери
контакта. Длина перемычки L, масса m. Вверху цепь
замкнута на конденсатор емкости С. Вся система
находится в однородном магнитном поле с индукцией
В. Каково ускорение перемычки? Сопротивлением
проводников и силами трения пренебречь.
C
M
N

В
Решение
При движении перемычки со скоростью v возникает ЭДС индукции   BvL  q / C ,
где q – заряд конденсатора. На перемычку в процессе движения действуют две силы:
направленная вниз сила тяжести и направленная вверх сила Ампера. Уравнение
движения в проекции на вертикальную ось запишется в виде: ma  mg  IBL , где a –
dq
mg
 BLCa  ma  mg  B 2 L2Ca  a 
.
ускорение, I – сила тока. I 
dt
m  B 2 L2C
Ответ: a  g
m
.
m  B 2 L2C
№5
На поверхности воды плавает надувной плот шириной а = 4 м и длиной b = 6 м. Небо
затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет.
Определить глубину тени под плотом. Глубиной погружения плота и рассеиванием
света водой пренебречь. Показатель преломления воды относительно воздуха принять
4
равным .
3
Решение
Область тени – это пирамида, боковые грани которой очерчивают те лучи света,
которые до преломления у краев плота распространялись вдоль поверхности воды
(см. рисунок). Согласно рисунку, h  a /(2 tg ), sin  / sin   n,   90 . Отсюда
tg  3 / 7  h  2 7 / 3.
Ответ: h  2 7 / 3  1,76 м.
а/2
γ
h
γ
3