Образец по теории вероятности

Задача №1. В класс вошло 20 учеников. За каждой партой может сидеть по два
ученика. Определить число возможных вариантов (сочетаний).
Решение.
2

Число возможных вариантов = С 20
20!
20  19

 190 .
2!18!
2
Задача №2. Определить число появления события ровно 2 раза при проведении
n=20 опытов в одинаковых условиях, если вероятность появления события равна P  0,2 .
Решение.
Учитывая, что количество испытаний
n = 20
довольно велико, можно
использовать формулу Муавра — Лапласа.
Используем локальную теорему Муавра — Лапласа. Находим:
npq  20  0,2  0,8  1,8
x
2  20  0,2
 1,11
1,8
Значение функции f(x) найдем из таблицы:
f (1,11)  f (1,11)  0,2155 , P2 20 
0,2155
 0,12 .
1,8
Задача №3. На заводской склад поступают изделия из трех цехов, производящих
одинаковую
продукцию.
Изделие
соответствует
государственному
стандарту
с
вероятностью p1  0,96 , если оно изготовлено в 1-м цехе, с вероятностью p2  0,97 , если
оно изготовлено в 2-м цехе и с вероятностью p3  0,95 , если оно изготовлено в 3-м цехе.
На складе находится 30% изделий, изготовленных в 1-м цехе, 40% изделий,
изготовленных во 2-м цехе и 30% изделий, изготовленных в 3-м цехе. Оказалось, что
изделие, полученное со склада, не соответствует государственному стандарту. В каком
цехе вероятнее всего изготовлено это изделия?
Решение.
В данном случае необходимо использовать формулу полной вероятности событий.
Введем обозначения:
А – изделие не соответствует государственному стандарту;
гипотезы Н i – изделие изготовлено в i -ом цехе.
Тогда P( A)  P( H1 ) P( A \ H1 )  P( H 2 ) P( A \ H 2 )  P( H 3 ) P( A \ H 3 ) .
P( A \ H1 )  0,04 ,
P( H 1 )  0,3, P( H 2 )  0,4, P( H 3 )  0,3 ,
P( A \ H 2 )  0,03 ,
P( A \ H 3 )  0,05 .
Полученные результаты подставим в формулу полной вероятности:
P( A)  0,3  0,04  0,4  0,03  0,3  0,05  0,012  0,012  0,015  0,039 .
Теперь используем формулу Байеса P( H i \ A) 
P( H 1 \ A)  P( H 2 \ A) 
0,012
 0,308 ,
0,039
P( H i ) P( A \ H i )
.
P( A)
P( H 3 \ A) 
0,015
 0,385 . Т.е. вероятнее
0,039
всего, что изделие изготовлено в 3-м цехе.
Задача №4.
Количество путевок, проданных по месяцам по отношению к
проданному их числу в январе месяце прошлого года, указано в таблице. Рассчитать
среднее квадратическое отклонение выборки.
Вариант
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
Доля
0,9
1,3
1,4
1,5
1,4
1,6
1,5
1,3
1
0,9
1
1,1
Решение.
Найдем среднее значение по формуле средней арифметической простой:
x
x
n
i

0,9  1,3  1,4  1,5  1,4  1,6  1,5  1,3  1  0,9  1  1,1
 1,3 .
12
Найдем
 x
дисперсию:
 x
2
0,16  0  0,01  0,04  0,01  0,09  0,04  0  0,09  0,16  0,09  0,04
 0,06
n
12
Тогда среднее квадратическое отклонение   0,25 .
2 
i

Задача №5.. В условиях задачи №4 записать уравнение линейной регрессии и
сделать прогноз на февраль следующего года. Решение задачи отобразить графиком.
Решение.
Для расчетов параметров a и b линейной регрессии y  a  b  x решаем систему

n  a  b   x   y
нормальных уравнений относительно a и b: 
.
2

a   x  b x   y  x
№
x
y
x2
xy
y2
1
1
0,9
1
0,9
0,81
2
2
1,3
4
2,6
1,69
3
3
1,4
9
4,2
1,96
4
4
1,5
16
6
2,25
5
5
1,4
25
7
1,96
6
6
1,6
36
9,6
2,56
7
7
1,5
49
10,5
2,25
8
8
1,3
64
10,4
1,69
9
9
1
81
9
1
10
10
0,9
100
9
0,81
11
11
1
121
11
1
12
12
1,1
144
13,2
1,21
Сумма
78
14,9
650
93,4
19,19
12  a  b  78  14,9
a  1,398
.


a  78  b  650  93,4 b  0,024
y  1,398  0,024  x
Выполним прогноз на февраль следующего года: yˆ х 14  1,398  0,024  14  1,062 .
1,8
1,6
1,4
Y
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
Х
10
12
14
Задача №6. Программа подготовки к зачету включает 20 вопросов и 20 типовых
задач. Студент изучил n=17 вопросов и умеет решать k=12 задач. В каждом из 20 билетов
один вопрос и одна задача. Считается, что при положительной оценке либо за ответ, либо
за решение задачи зачет сдан успешно. Определить вероятность успешной сдачи зачета.
Решение.
Р
17 12 3 12 17 8





 0,51  0,09  0,34  0,94 .
20 20 20 20 20 20