Danilevskiyx - Сибирский федеральный университет

advertisement
УДК 519.24
ПРОГРАММА ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД
ГИСТОГРАММНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Данилевский В. В.,
научный руководитель д-р физ.-мат. наук, профессор Добронец Б. С.
Сибирский федеральный университет
Введение
В тех случаях, когда в интервальном анализе известны не только границы, но и
функции плотности вероятности случайных величин, возможно применение
численного вероятностного анализа, предметом которого является решение задач со
стохастическими неопределенностями в данных [1]. Одним из главных элементов
численного вероятностного анализа является гистограммная арифметика, применение
которой позволяет снизить уровень неопределенности в данных и получить
дополнительную информацию о распределении случайных величин.
Гистограммная переменная
Для разработки арифметики и построения законов распределения функций от
случайных аргументов вводится последовательно понятие гистограммной переменной
(гистограммного числа) и разрабатываются численные процедуры гистограммной
арифметики.
Идея гистограммного подхода заключается в следующем: так же как
представление случайных величин своими плотностями в виде непрерывных функций,
можно рассматривать случайные величины, плотность распределения которых
представляет гистограмму. Например, в случае одномерной случайной величины
гистограмма  — кусочно-постоянная функция, определенная сеткой { | = 0, … , } и
−1
{+1 −
на каждом отрезке [ , +1 ] принимает постоянное значение  , ℎ = =0
 }.
Рассмотрим вопрос построения гистограммы  по некоторой  . Тогда значение
 на отрезке [−1 ,  ] определится как среднее:

 ()
 = ∫
−1 ( − −1 )
Операции над двумя гистограммными переменными
Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин {1 , 2 } с
плотностью распределения {1 , 2 }. Известны аналитические формулы для
определения плотности вероятности результатов арифметических действий над
случайными величинами. Например, для нахождения плотности вероятности 1 +2
суммы двух случайных величин 1 + 2 используется соотношение:
∞
∞
1 +2 () = ∫ ( − , ) = ∫ (,  − )
−∞
−∞
Однако эти формулы не всегда удобны для численных расчетов.
Основные принципы разработки гистограммных операций продемонстрируем на
примере операции сложения. Пусть  = 1 + 2 , и носители 1 — [1 , 2 ], 2 — [1 , 2 ],
(1 , 2 ) — плотность распределения вероятностей случайного вектора (1 , 2 ).
Заметим, что прямоугольник [1 , 2 ]×[1 , 2 ] — носитель плотности распределения
вероятностей (1 , 2 ) и плотность вероятности  отлична от нуля на интервале [1 +
1 , 2 + 2 ]. Обозначим  ,  = 0,1, … ,  — точки деления этого интервала на  отрезков.
Тогда вероятность попадания величины  в интервал [1 , 2 ] определяется по формуле:
1 = ∬
(1 ,2 )1 2

(+1 − )
, где  = {(1 , 2 )| ≤ 1 + 2 ≤ +1 }.
Численная реализация этого метода заключается в следующем. Пусть случайная
величина  задана сеткой  и вероятностями  , y соответственно  и  . Носители
плотности вероятности этих величин — [0 ,  ] и [0 ,  ]. Носитель совместной
вероятности (1 , 2 ) — прямоугольник [0 ,  ]×[0 ,  ] и разбит на 2
прямоугольников [ , +1 ]×[ , +1 ], вероятность попадания в которые является
постоянной величиной   — для независимых случайных величин и  — для
зависимых.
Для вычисления искомой гистограммы совершаем обход по всем
прямоугольникам [ , +1 ]×[ , +1 ], для каждого из них вычисляем его вклад в
каждый отрезок [ , +1 ] итоговой гистограммы. С этой целью мы определяем область
′ , по которой рассматриваемый прямоугольник [ , +1 ]×[ , +1 ] пересекается с
 :
 ′  =  ∩ ([ , +1 ] × [ , +1 ]).
Вычислим по ′ интеграл
 = ∫ (, ).
′
Заметим, что на каждом [ , +1 ]×[ , +1 ] совместная плотность вероятности
(, ) является константой, и поэтому этот интеграл равен отношению площади  ′  к
площади прямоугольника [ , +1 ]×[ , +1 ]. Совершив обход по всем
прямоугольникам вычисляем искомую гистограмму  . При этом число
арифметических операций для построения гистограммы (2 ).
Гистограммная арифметика
Пусть имеется две независимые случайные величины 1 ∈ [, ] и 2 ∈ [, ] с
плотностями распределения (1 ) и (2 ). В силу определения нахождение плотности
распределения композиции двух независимых случайных величин получаем (1 , 2 ) =
(1 ) ∙ (2 ). Известны аналитические формулы для определения плотности
вероятности результатов арифметических действий над случайными величинами.
Опишем, например, сложение пары случайных величин, представленных в виде
гистограммных переменных.
Пусть  = 1 + 2 , заметим, что z ∈ [a, b] × [c, d], в силу арифметических
операций над интервальными числами получим, что z ∈ [a, b] + [c, d] = [a+c, b+d].
Обозначим  ,  = 0,1, … ,  — точки деления этого интервала на n отрезков, h = ((b + d)
− (a + c))/n — шаг от  , до +1 . Тогда вероятность попадания величины z в интервал
[ , +1 ] определяется по формуле:
( <  < +1 ) = ∬ (1 , 2 )1 2 ,
где  = {(1 , 2 )| < 1 + 2 < +1 }.

И окончательная формула:
 = ∬

(1 , 2 )1 2
(+1 −  )
Пример алгоритма
Алгоритм работы гистограммной операции сложения.
Рассмотрим две непрерывные, независимые случайные величины 1 ∈ [0, 1] и
2 ∈ [1, 2], а (1 ) = 1 и (2 ) = 1, (1 , 2 ) = (1 ) ∙ (2 ) = 1 ∙ 1 = 1. Пусть,  = 1 +
2 , значит z ∈ [0, 1] + [1, 2] = [0 + 1, 1 + 2] = [1, 3]. Так же пусть n = 100, следовательно,
наш шаг h = (3 − 1)/100 = 0.02. Получаем, что значения  = +1 + 0.02.
На рисунке 1 мы видим визуализацию гистограммы  = 1 + 2 . Рядом
представлена гистограмма, полученная сложением 1 + 2 методом Монте-Карло,
используя 1 000 000 бросаний.
а)
б)
Рисунок 1 — 1 + 2 . Выполнение сложения случайных
Гистограммная арифметика б) Метод Монте-Карло
величин
а)
Использованные источники
[1] Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: учебное пособие / Б.В. Годенко. Москва: Наука, 1988. - 448 с.
[2] Добронец, Б.С. Элементы численного вероятностного анализа / Б.С. Добронец, О.А.
Попова // Вестн. Сибирского гос. аэрокосмического ун-та. - 2012. - № 2 (42). - C. 19-23
[3] Добронец, Б.С. Численные операции над случайными величинами и их приложения
/ Б.С. Добронец, О.А. Попова // Journal of Siberian Federal University. Mathematics &
Physics. - 2011. - № 4 (2). - C. 229- 239. 5.
[4] Попова, О. А. Применение гистограммной математики в экономических задачах
исследования операций / Б.С. Добронец, О. А. Попова // Тр. VI Моск. междунар. конф.
по исслед. операций / отв. ред. П.С. Красноще-ков, А. А. Васин. - Москва: МАКСПресс, 2010. - С. 90-92.
[5] Добронец, Б.С. Интервальная математика: учебное пособие / Б.С. Доб-ронец. Красноярск: КГУ, 2004. - 216 с.
Скачать