домашнее задание для 10-11 классов на 30.11.2014 г.

Задачи.
1. Найдите все целые числа а, для которых число
𝑎2 +1
𝑎+2
будет целым.
2. Пусть х и y – целые числа такие, что 3х+7y делится на 19. Докажите, что 43х+75y
тоже делится на 19.
3. Найдите все числа, которые оканчиваются цифрами …1969 и уменьшаются в целое
число раз после вычёркивания этих цифр.
4. Найдите все простые числа p и q, для которых верно равенство 𝑝2 − 2𝑞 2 = 1.
5. Докажите, что для чётных натуральных чисел n число 𝑛3 + 20𝑛 делится на 48.
6. Решите в целых числах уравнение 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 24.
7. Докажите, что сумма квадратов десяти последовательных натуральных чисел
никогда не является полным квадратом.
8. Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых
является полным квадратом.
9. Докажите, что число 354-327*212+224 является составным.
10. Найдите все пары (х,y) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х2+y2=х3.
11. Найдите наибольшее натуральное число n такое, что 1995! делится на 10 n.
12. Найдите все натуральные числа n и m такие, что 1!+2!+…+n!=m2.
13. Докажите, что не существует таких целых чисел n и m, что
m3+6m2+5m=27n3+9n2+9n+1.
14. Докажите, что не существует простого числа p такого, что n!+1<p≤n!+n (n≥2).
15. Найдите наименьшее простое число, являющееся делителем числа 311+513.
16. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих равенству х2-xy-2x+3y=11.
17. Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма остальных двузначных
чисел в 50 раз больше одного из этих двух чисел.
18. При каких натуральных n число n2+17n-2 делится а) на 11, б) на 121?
19. Найдите наибольшую степень двойки, на которую при любом нечётном а делится
число а12-а8-а4+1.