8 класс. Цель: - познакомить учащихся с определением числового неравенства; со свойствами

8 класс.
Тема: Числовые неравенства и их свойства (лекция).
Цель:
- познакомить учащихся с определением числового неравенства; со свойствами
числовых неравенств;
- развивать умение воспринимать материал лекционно и работать с учебником.
Ход урока.
1.Мы можем сравнивать любые числа a и b и результат сравнения записать в виде
равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел a и b
выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, a< b, a>b.
2.Примеры 1-4 по учебнику на стр. 144.
3.В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ
сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все
случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли
она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ сравнения
чисел основан на следующем определении.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: число a больше числа b, если разность a-b положительное число;
число a меньше числа b, если разность a-b отрицательное число.
Если разность a-b=0,то a=b.
5. Рис.21, стр.145.
6. Числовые неравенства обладают различными свойствами, которые позволяют
выполнять с ними различные действия.
Например, 5<9
-3>-8
+ 8<10
+ 1>-5
____
____
13<19 верное неравенство
-2>-13 верное неравенство
Но вот перемножив почленно верные неравенства -3<-2 и -5<6 , получим неравенство
15< -12, которое не является верным! В чем же дело? Что же это за свойства и как ими
пользоваться?
Рассмотрим доказательства свойств числовых неравенств и свойств почленного
сложения и умножения числовых неравенств.
7.Теоремы, выражающие свойства числовых неравенств:
ТЕОРЕМА 1.
Если a>b, то b<a; если a<b, то b>a.
Доказательство:
Если a-b>0, то b-a<0 и наоборот.
Например, если 5>-3,то -3<5; -18<-4,то -4>-18.
ТЕОРЕМА 2.
Если a<b и b<c,то a<c.
Доказательство:
a-с = a-c + b-b=(a-b)+(b-c).
По условию a<b, b<c. Поэтому слагаемые a-b<0, b-c<0. Значит, их сумма является
отрицательным числом. Следовательно, a<c.
Например, если -23,4<-10,1 и -10,1<2,8, то -23,4<2,8.
ТЕОРЕМА 3.
Если a<b и c-любое число, то a+c<b+c .
Доказательство:
(a+c)-(b+c)=a-b.
По условию a<b, поэтому a-b – отрицательное число. То и разность (a+c)-(b+c)
отрицательна. Следовательно, a+c < b+c.
Вывод: Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то
получится верное равенство.
Например: если -8<4 и c =-6, то -8+(-6)<4+(-6), -14<-2.
ТЕОРЕМА 4.(стр.148)
Если a<b и c-положительное число, то ac<bc.
Если a>b и c-положительное число, то ac>bc.
Если a>b и c-отрицательное число, то ac<bc.
Если a<b и c-отрицательное число, то ac>bc.
Доказательство.
ac-bc=c(a-b). a<b, то a-b<0.Если c>0, то произведение c(a-b) отрицательно, и,
следовательно, ac<bc. Если c<0, то произведение c(a-b) положительно, и, следовательно,
ac>bc.
Вывод: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже
положительное число, то получится верное неравенство;
если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже
отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится
верное неравенство.
Например: если 35>16 и c =2,то 70>32;
9<15 и c=-3,то -27>-45.
8. СЛЕДСТВИЕ.
Если a и b –положительные числа и a<b,то 1/a>1/b.
Например: a =23, b=145, 23<145, то1/23>1/145.
9. Теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.
ТЕОРЕМА 5.
Если a<b и c<d,то a+c<b+d.
Доказательство.
Прибавив к обеим частям неравенства a<b число c,получим a+c< b +с. Прибавив к обеим
частям неравенства c<d число b, получим b+c<b+d.Из неравенств a+c<b+c и b+c<b+d
следует, что a+c<b+d.
Вывод: Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное
неравенство.
Например: -5<12
-6>-10
+ 8<20
+ 11>-6
____
____
3<32 верное неравенство
5>-16 верное неравенство
ТЕОРЕМА 6.
Если a<b и c<d,где a, b, c, d-положительные числа, то ac<bd.
Доказательство.
Умножив обе части неравенства a<b на положительное число c, получим
ac<bc.Умножив обе части неравенства c<d на положительное число b, получим bc<bd.Из
неравенства ac<bc и bc<bd следует, что ac<bd .
Вывод: если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые
части которых положительные числа, то получится верное неравенство.
Например: 8>3
0,9>0,1
* 10>2
* 1/3> 1/10
____
______
80>6
0,3>0,01
10. ЗАМЕЧАНИЕ: если среди чисел a,b,c,d в неравенствах a<b, c<d имеются
отрицательные, то неравенство ac<bd может оказаться неверным.
ОКАЗЫВАЕТСЯ: перемножив почленно верные неравенства -3<-2 и -5<6 , получим
неравенство 15< -12, которое не является верным.
11. СЛЕДСТВИЕ.
Если числа a и b положительные и a<b, то an <bn (n-натуральное число).
Например: а=3, b=5, n=2, то 32<52 .