Ответы, решения, критерии В-2

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ
Вариант 2
C1. Найдите наибольшее целое значение p, при котором функция
y  x3  px 2  x  1 возрастает на всей области определения.
Решение:
1) y  x3  px 2  x  1, y  3x 2  2 px  1;
2) функция y  x3  px 2  x  1 возрастает на множестве действительных
чисел R тогда и только тогда, когда y   0 на R;
3) 3x 2  2 px  1  0 на R, тогда и только тогда, когда D  0 ;
D  p2  3 , p2  3  0
4

 3 p 3
(*).
Наибольшее целое значение p, удовлетворяющее условию (*), равно 1.
Ответ: 1.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С1
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) установлено условие возрастания функции y  x3  px 2  x  1 на
множестве действительных чисел R;
2) найдено наименьшее целое значение p, при котором функция
y  x3  px 2  x  1 возрастает на множестве R.
Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
1
0
Приведена верная последовательность всех шагов решения, но
неверно сформулировано условие возрастания данной функции ―
вместо условия y   0 рассматривается условие y  0 и «условие»
для р не содержит границ отрезка.
Допустима описка или вычислительная ошибка.
В результате может быть получен неверный ответ.
Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления
оценок в 1 и 2 балла.
C2.
Найдите все значения x, при каждом из которых выражения cos 2x
и 4 cos 2 x  3sin 2x принимают равные значения.
Решение:
1) cos 2 x  4cos 2 x  3sin 2 x .
cos 2 x  0,
cos 2 x  0,
 
 2 x    2k
2) а) 
4
cos 2 x  4 cos 2 x  3sin 2 x
 tg 2 x  1


x    k ; k  Z ;
8
б)
cos 2 x  0,
cos 2 x  0,
 
 2 x    arctg 5  2k 

5
3
 cos 2 x  4 cos 2 x  3sin 2 x
 tg 2 x  3
 x    1 arctg 5  k , k  Z .
2
Ответ:
2
3
  k ;   1 arctg 5  k ;
8
2 2
3
k Z .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С2
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) составлено уравнение по условию задачи;
2) найдены корни полученного уравнения.
Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
0
Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления
оценок в 1 и 2 балла.
C3. Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство
log a3 | x |  4   2 верно при всех действительных значениях x.
Решение:
a  3  0,
3  a  4 ,
 
Согласно определению логарифма 
a  3  1
 a  4.
1) Если 3  a  4 , то данное неравенство не имеет решений, поскольку
| x |  4  1 , а, значит, log a3 | x |  4   0 на множестве действительных
чисел.
2) В случае a  4 имеем:
2
log a3 | x |  4   2  log a3 | x |  4   log a3  a  3 
Так как множеством значений функции y  | x |  4
является
промежуток
неравенство
[4;  ) ,
| x |  4  (a  3)2 верно при всех действительных
значениях x тогда и только тогда, когда (a  3)2  4
(см. рисунок). Учитывая условие a  4 , получаем:
(a  3)2  4,
2  a  3  2,
 
 4  a  5.

a

4
a

4


| x |  4  (a  3) 2 .
y
y  | x| 4
4
y  (a  3)2
0
x
Ответ: a  (4; 5] .
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценки выполнения задания С3
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) доказано отсутствие решений данного неравенства при 3  a  4 ;
2) доказано наличие решений данного неравенства при a  4 ;
3) найдены все значения a, при каждом из которых неравенство
log a3 | x |  4   2 верно при всех действительных значениях x.
Все преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно;
Допустима описка или вычислительная ошибка.
В результате может быть получен неверный ответ.
Верно выполнен шаг 1), а шаги 2) и 3) выполнены неверно.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
C4. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD,
плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC. Тангенс угла FAC равен
15 , а тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен 2. Точка M
7
лежит на ребре BC так, что BM  6 . Точка L лежит на прямой AF и
5
равноудалена от точек M и С. Вокруг пирамиды FABCD описана сфера
радиуса 4. Найдите объём пирамиды LAMC, если известно, что центр
сферы, описанной вокруг пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания
пирамиды.
Решение:
L
Опустим из точки L перпендикуляр LH на
плоскость АВС, а из точки H перпендикуляр
F
HP на прямую ВС (см. рисунок). Поскольку
плоскости AСF и ABC перпендикулярны,
точка H лежит на их линии пересечения ―
D
прямой АС. Кроме того, поскольку плоскости
H
C
P
AСF и ABC перпендикулярны, прямая AC
M
B
является проекцией прямой BC на плоскость A
AСF. Следовательно, угол между прямой BC и плоскостью AСF равен
углу между прямой BC и прямой AC, т.е. равен углу ACB. Отрезки HM
и HC ― проекции равных наклонных LM и LC на плоскость АВС,
следовательно, HM  HC . Таким образом, отрезок HP является высотой
равнобедренного треугольника CMH, а, следовательно, является и его
медианой, откуда CP  1 CM .
2
Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости
АВC и АВCD ― прямоугольник, следовательно, АС ― диаметр 2R этой
сферы, откуда AC  8 .
Далее имеем:
1) Из ABC : а) BC  AC cos ACB 
AC
1 tg ACB
2
CM  BC  BM  2 ; CP  1 CM  1 ;
2
5
5
 8 , откуда
5
б) AB  BC tg ACB  16 .
5
2) Прямые HP и АB параллельны, так как они лежат в одной плоскости
и перпендикулярны прямой ВС, следовательно, HPC ~ ABC , откуда
CH  CP  1 , CH  1 AC , а, значит, AH  7 AC  7 .
AC
BC
8
8
8
3) В прямоугольном треугольнике АLH тангенс угла A равен
значит, LH  AH  15  7  15  15 .
7
7
4) VLACM  1 SACM  LH  1  1  CM  AB  LH  1  1  2  16  15  16 .
2
Ответ: 16.
3 2
3 2
5
5
15 ,
7
Баллы
4
3
2
1
0

Критерии оценки выполнения задания С4
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) указано положение основания перпендикуляра LH, опущенного
из точки L на плоскость АВС;
2) установлено равенство отрезков HM и HC, а также параллельность
отрезков HP и AB;
3) указано положение центра сферы, описанной около пирамиды
FABCD;
4) указан угол между прямой ВС и плоскостью AFС;
5) найден объем пирамиды LACM.
Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве
положения теории:
а) свойство перпендикулярных плоскостей;
б) свойства проекций и их наклонных; в) определение угла между
прямой и плоскостью; г) подобие треугольников; д) свойство
прямоугольника.
Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен
верный ответ.
Приведены все шаги решения 1) ― 5).
Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения
теории а) ― д). Допустимы отсутствие обоснований некоторых
ключевых моментов или неточности в обоснованиях.
Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не
влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате
этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
Приведены все шаги решения 1) ― 5).
Ссылки на используемые при доказательстве положения теории
а) ― д) либо отсутствуют, либо приведены с ошибками, но сами эти
положения теории использованы при решении.
Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на
правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок
или описок может быть получен неверный ответ.
Ход решения правильный, но решение не завершено: частично
приведены шаги решения, которые отражены и ясно видны на
чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы,
равные 90 , отмечены равные углы и т.п.) или описаны словесно.
Найдены некоторые числовые характеристики пирамиды LBDM.
Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат
грубых ошибок, влияющих на правильность хода решения.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение, свойства на признак
или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.
C5. Пусть n ― число различных действительных корней уравнения
a
выбирается так, что
ax3  x 2  x  a  0 . Значение параметра
n  1  2a  a 2 . Решите уравнение 2 x  x  1  a  n  4 при каждом
значении a, выбранном таким образом.
Решение:
y
По условию, n  1  2a  a 2 . Так как x  1
y  f (a)
2
является корнем уравнения ax3  x 2  x  a  0 при
любом значении параметра a, то n ― число
1
натуральное.
1) Рассмотрим функцию f (a)  1  2a  a 2 .
a
0 1 2
a0  1, f (a0 )  2, f (0)  f (2)  1 (см. рисунок).
Ясно, что выражение n  1  2a  a 2 может
принимать только два натуральных значения: 1 или 2.
Если n  2 , то a  1 и уравнение ax3  x 2  x  a  0 принимает вид
x3  x 2  x  1  0 , откуда x 2 ( x  1)  ( x  1)  0  ( x  1) 2 ( x  1)  0 . Таким
образом, при a  1 уравнение действительно имеет ровно 2 различных
корня. В этом случае a  n  3 .
Если n  1, то a  0 или a  2 .
При a  0 уравнение ax3  x 2  x  a  0 принимает вид x 2  x  0 ,
откуда x  0 , x  1 ― два различных корня, что противоречит условию
n  1.
При a  2 имеем 2 x3  x 2  x  2  0  ( x  1)(2 x 2  3x  2)  0 .
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2 x 2  3x  2 отрицателен,
уравнение действительно имеет ровно один корень, а, значит, и в этом
случае a  n  3 .
2) Подставляя теперь a  n  3 в уравнение 2 x  x  1  a  n  4 ,
получаем уравнение 2 x  x  1  7 . (*)
Область определения этого уравнения ― промежуток [0;  ) .
Если 0  x  1, то уравнение (*) принимает вид 2 x  x  6 . При
0  x  1 имеем: 2 x  2 , x  6  6 . Следовательно, уравнение не имеет
корней на промежутке [0;1) .
Если x  1, то уравнение (*) принимает вид 2 x  8  x . Так как y  2 x
― функция возрастающая, а y  8  x ― функция убывающая, то на
промежутке [1;  ) уравнение (*) имеет не более одного корня. Подбором
находим x  4 .
Ответ: {4} .
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценки выполнения задания С5
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) доказано, что число корней данного уравнения может равняться 1
или 2;
2) приведен полный разбор случаев n  1 и n  2 ;
3) решено данное уравнение при a  n  3 ;
Обоснованы все ключевые моменты решения:
а) доказательство равенства a  n  3 ;
б) единственность решения уравнения 2 x  x  1  7 .
Все преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Обоснованы все ключевые моменты решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно, в том
числе ― неверно обоснован.
Допустимы 1 ― 2 вычислительные ошибки, в результате которых
может быть получен неверный ответ.
Верно выполнен шаг 1) решения, а остальные ― либо отсутствуют,
либо выполнены неверно.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
Ответы к заданиям варианта 2
A1
4
B1
3,6
A2
1
B2
2
A3
4
B3
11
A4
2
B4
0,5
A5
2
B5
8
A6
1
B6
47
A7
1
B7
1
A8
3
B8
2
A9
1
B9
32
B10
60
A10
2
B11
80
C1
C2
C3
C4
C5
p 1
  k ,   1 arctg 5  k ; k  Z
8
2 2
3
a   4; 5
16
{4}