www.kvadromir.com ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Два ненулевых коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону. Два ненулевых коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они направлены в разные стороны. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Свойства: Для любых векторов a , b , c и любых чисел k , l , справедливы равенства: 1. a b b a ; a b c a b c ; 2. 3. a 0 a ; a b a b ; 4. 5. kla k la ; 6. k l a ka la ; k a b ka kb . 7. Лемма: Если векторы a и b коллинеарны и a 0 , то существует такое число k , что b ka . Координаты вектора, с началом в точке Ax1 ; y1 и концом в точке Bx2 ; y 2 , равны разностям координат конца и начала, то есть ax2 x1 ; y2 y1 . Координаты середины отрезка АВ, с концами в точках Ax1 ; y1 и Bx2 ; y 2 , равны x x2 y y2 . x 1 , y 1 2 2 Длина вектора ax; y вычисляется по формуле a x 2 y 2 . Расстояние между точками Ax1 ; y1 и Bx2 ; y 2 выражается формулой d AB x2 x1 2 y 2 y1 2 . Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r имеет вид: x2 y2 r 2 . www.kvadromir.com 1 www.kvadromir.com Уравнение окружности с центром в точке С x0 ; y 0 и радиусом r имеет вид: x x0 2 y y0 2 r 2 . Уравнение прямой принимает вид ax by c 0 . ПЛАНИМЕТРИЯ Прямоугольный треугольник a2 b2 c2 ; Теорема Пифагора : 90 0 ; a c sin c cos b tg b ctg ; b c sin c cos a tg a ctg ; a a b b ; sin cos sin cos a b b a sin ; sin ; cos ; cos ; c c c c a b b a tg ; tg ; ctg ; ctg ; b a a b 1 1 Площадь треугольника : S a b c hc ; 2 2 c c b h a 2 www.kvadromir.com www.kvadromir.com Произвольный треугольник Теорема косинусов : c 2 a 2 b 2 2ab cos ; a 2 c 2 b 2 2cb cos ; b 2 c 2 a 2 2ca cos ; Теорема синусов : a b c ; sin sin sin 180 0 ; Площадь треугольника : S S 1 1 1 a b sin b c sin c a sin ; 2 2 2 1 1 1 a ha b hb c hc ; 2 2 2 abc полупериметр. 2 Связь площади треугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей : Формула Герона : S S r p p p a p b p c , где p abc ; 4R c b hb a www.kvadromir.com 3 www.kvadromir.com Четырёхугольники. Площадь трапеции: S ab h 2 Здесь a, b длины оснований; h высота. . S a b sin . Площадь параллелограмма: Здесь a, b стороны, угол между ними. Площадь ромба: S 1 d1 d 2 . 2 Здесь d1 , d 2 диагонали ромба. 1 d1 d 2 sin . 2 Здесь d1 , d 2 диагонали четырёхугольника, угол между ними . S Площадь произвольного четырёхугольника: Правильные многоугольники Угол правильного многоугольника: n n2 180. n Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. 1 P r. 2 Здесь P - периметр многоугольника, а r - радиус вписанной окружности. Площадь правильного n-угольника: S Сторона правильного многоугольника равна: a n 2 R sin 180 . n Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением: 180 r R cos . n 4 www.kvadromir.com www.kvadromir.com Окружность и круг Площадь круга: S R2. Длина окружности: L 2 R. Здесь R радиус. Длина дуги окружности с углом : Площадь сектора с углом : l S R 2 360 R 180 . . СТЕРЕОМЕТРИЯ Куб V a3. Объём куба со стороной a : Площадь полной поверхности куба: S 6a 2 . Призма Объём призмы (или параллелепипеда): V S h. Пирамида Объём пирамиды: V Цилиндр Объём цилиндра: V S h R 2 h; Конус 1 S h. 3 Площадь боковой поверхности цилиндра: S бок 2 R h; Площадь полной поверхности цилиндра: S 2 R R h . Объём конуса: V 1 1 S h R 2 h; 3 3 S бок R L; Площадь боковой поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса: S R R L. Здесь R радиус основания, h высота, L образующая . Сфера и шар Площадь сферы: Объём шара: S 4R 2 . V 4 3 R . 3 www.kvadromir.com 5