TeoriaPolya - Пермский государственный технический

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Теория поля
Индивидуальные задания
Пособие разработано ассистентом Оглезневой А.
Н..
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Образец решения варианта.
Пример 1: Найти производную скалярного поля U ( x, y, z)  ln( 1  x 2  y 2 )  x 2  z 2 в
точке M (3; 1; 4) по направлению
а. вектора s  2i  3 j  2k
б. нормали к поверхности  : x 2  6 x  9 y 2  z 2  4 z , образующей острый угол с
положительным направлением оси Oz
в. перпендикулярному к поверхности уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M1 (0, 0, 1) .
Решение:
Производную по направлению ищем по формуле:
U
U
U
U
 ( gradU  l 0 ) 
 cos  
 cos  
 cos 
l
x
y
z
U
2x
x
U
6 3
3


  
2
2
x 1  x 2  y 2
x M 11 5
55
x z ,
U
2
U
2y


,
2
2
y M 11
y 1  x  y
U
z
U
z

,
z
x2  z2

M
4
5
а. Найдем вектор l 0  cos   i  cos   j  cos   k , т.е. l 0 
s
,
|s|
3
2 
 2
Т.к. | s | 2 2  (3) 2  (2) 2  17 , тогда получаем l 0  
, 
, 
.
17
17 
 17
Таким образом
U
3
2
2 
3  4 
2 
52
52 17
 
 

.
  

l M
55 17 11 
935
17  5 
17  55 17
б. Найдем вектор l 0  cos   i  cos   j  cos   k , т.е. l 0 
N
, где N - вектор нормали
|N |
к поверхности  .
F ( x, y, z )  x 2  6 x  9 y 2  z 2  4 z  0
 F F F 
, ,
Тогда N   ,
 x y z 
F
 (2 x  6) M  12
x M
F
y
M
F
z
M
 18 y M  18
 (2 z  4) M  4


9
2
6
,
Получаем N  12, 18, 4 , | N | 12 2  18 2  4 2  22 , l 0   ,
.
11 11 11
Заметим, что cos   0 , то найденный вектор образует острый угол с осью Oz ,
следовательно, требование задачи выполнено.
Таким образом
U
3 6 2 9 4 2
16
      
.
l M
55 11 11 11 5 11
605
в. Найдем поверхность уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M1 :
U ( x, y, z )  C  ln( 1  0  0)  0  1  1 .
Получаем поверхность  1 : ln( 1  x 2  y 2 )  x 2  z 2  1 .
Аналогично предыдущему пункту находим вектор l 0 
N
, где N
|N|
- вектор
перпендикулярный поверхности уровня  1
F ( x, y, z)  ln( 1  x 2  y 2 )  x 2  z 2  1  0
F
6 3
3
F
2
   ,
 ,
x M 11 5
55
y M 11
2
F
4

z M
5
2
2
2045
2
4
 3   2   4
 3
N   ,
,   , | N |           
,
55
5
 55   11   5 
 55 11
3
10
44 

l 0  
,
, 

2045
2045
2045 

Таким образом
U
3  2
10
44 
2045
 3 
 4 
  
 
      
      

l M  55  
2045  11 2045  5  
2045  55 2045
2045
.
55
Пример 2: Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z )
а.
U ( x, y, z )  x 2  y 2  y  z  x
б. U ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 . Построить поверхности уровня для заданных значений
U ( x, y, z )  0, 1 .
Решение
а. По определению градиента скалярного поля gradU 
U
U
U
i 
 j
k .
x
y
z
Находим частные производные функции U ( x, y, z ) :
U
U
U
 2x  1,
y
 2 y  z ,
x
z
y
Таким образом gradU  (2x  1)  i  (2 y  z)  j  y  k .
б. Аналогично пункту а), получим:
U
U
U
 2x ,
 2 z
 2y ,
x
z
y
Таким образом gradU  2x  i  2 y  j  2z  k .
Построим поверхности уровня: U ( x, y, z )  0
Тогда x 2  y 2  z 2  0 ,
x 2  y 2  z 2 - конус с вершиной в начале координат.
z
y
x
Если U ( x, y, z )  1 , то x 2  y 2  z 2  1 :
U ( x, y , z )  1
U ( x, y, z )  1
x2  y2  z 2  1
x 2  y 2  z 2  1
z
z
-1
y
y
x
x
Однополостный
гиперболоид вращения
вокруг оси Oz
Двуполостный
гиперболоид вращения
вокруг оси Oz
Пример 3: Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
а. a   y  i  x  j
б. a  y  i  x  j  z  k
Решение:
а. Согласно определению, векторных линий:
dx dy dz

 , или
y
x
0
 xdx   ydy
.

 0  dy  xdz
Решая систему, получаем x 2  y 2  C1 , z  C2 . Таким образом, векторные линии
данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz , лежащие в
плоскостях, перпендикулярных этой оси.
б. Аналогично предыдущему пункту, составляем систему
dx dy dz
.


y
x
z
Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:
dx dy
Равенство
образует первую интегрируемую

y
x
комбинацию.
Получаем
x 2  y 2  C1 . Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство
a
k a  k 2 a2  k3 a3
a
a
пропорции: 1  2  3  1 1
.
b1 b2 b3 k1b1  k 2b2  k3b3
d ( x  y ) dz
Тогда, в нашем случае
. Интегрируя данное равенство, получаем

x y
z
x  y  C2 z .
Таким образом, векторные линии задаются системой:
 x 2  y 2  C
1

 x  y  C 2 z
Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических
цилиндров x 2  y 2  C1 с плоскостями x  y  C2 z  0 .
Пример 4. Вычислить поток векторного поля a  x  i  z  k через внешнюю сторону
боковой поверхности цилиндра y  R 2  x 2 , ограниченного плоскостями z  0, z  h,
( h  0) .
Решение:
z
h
n0
-R
y
R
x
Вычислим поток векторного поля по формуле:
   (a  n 0 )d , где n 0 - нормальный единичный вектор к поверхности  . Найдем

n0 .
вектор
Запишем
уравнение
поверхности
в
неявном
виде:

2
2
2
F ( x, y, z )  x  y  R  0 .
gradF ( x, y, z )
Тогда n 0  
. Т.к. y  0 (по условию задачи), то n 0 образует острый угол с
gradF ( x, y, z )
осью Oy :
n0 
grad ( x 2  y 2  R 2 )

grad ( x  y  R )
2
2
2
Следовательно, (a  n 0 ) 
x i  y  j
x2  y2

x i  y  j
R
x2
.
R
Поток векторного поля   

x2
d . Спроектируем поверхность  : y  R 2  x 2 на
R
плоскость
получим
xOz ,
x  R, x  R, z  0, z  h .
d  1  ( y x ) 2  ( y z ) 2 dx dz = 1 
область
x2
dx dz 
R2  x2
D,
R
R  x2
2
ограниченную
линиями:
dx dz
Таким образом,
R
h
R
x2
x2
R
x 2 dx
x 2 dx
   d   
dx dz  
dz  h  
 (применяя
2
2
2
2 
2
2
R
R
R

x
R R  x 0
R R  x


подстановку x  R sin t , получаем) =
1
  R2  h .
2
Пример 5. Вычислить поток векторного поля
 x2 y

2 xz  (1  y)  1  y 2

a  

6
yz

i

2
x

arctgy

j

k
2

1 y2
1 y

через внешнюю сторону части поверхности
плоскостью xOy .
Решение:
z
1
z  1  x 2  y 2 , расположенной над
n0
1
k
i
2
j
y
x
Замкнем данную поверхность куском плоскости xOy , который ограничен окружностью
x 2  y 2  1, z  0 . Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.
Пусть V - объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой
поверхностью  , состоящей из части  1 параболоида вращения z  1  x 2  y 2 и части  2
плоскости z  0 .
Поток данного векторного поля через поверхность  по теореме Гаусса-Остроградского
равен:
   (a , n 0 ) d   div (a ) dv

V
a x a y a z
, где a  a x  i  a y  j  a z  k .


x
y
z
2 xy
2x
2 x(1  y )
div (a ) 


 0.
2
2
1 y
1 y
1 y2
Следовательно, поток
   (a , n 0 ) d   div (a ) dv  0 .
div (a ) 

V
В силу аддитивности потока будем иметь
   (a , n 0 ) d   (a , n 0 ) d  0
1
2
Отсюда искомый поток
 1   (a , n 0 ) d    (a , n 0 ) d
1
2
Найдем  2   (a , n 0 ) d . Так как на плоскости z  0 , имеем
2
 x y 
  i  2 x  arctgy  j  k , n 0   k и тогда (a , n 0 )  1
a  
2 
1 y 
Таким образом, поток  2 через круг  2 будет равен площади круга  2 :  2   d   .
2
2
1   .
Искомый поток
Пример 6. Вычислить работу векторного поля F ( x, y, z )  x  i  y  j  z  k вдоль линии
L , являющейся пересечением параболического цилиндра z  y 2 с плоскостью z  x  1 от
точки A(0,1,1) до точки B (1,0,0) .
Решение:
Зададим линию L параметрически: положив y  t , получим z  t 2 , а x  1  z  1  t 2 .
Тогда dx  2t dt , dy  dt , dz  2t dt . Точке A соответствует значение параметра t  1 , а
точке B - значение t  0 .
Таким образом:
0
0
A   Pdx  Qdy  Rdz   (1  t 2 )  ( 2t ) dt  t dt  t 2  2t dt   (2t  2t 3  t  2t 3 ) dt 
L
1
0

t2
  (4t 3  t ) dt   t 4 
2

1
1
0

1
 1
  0  1     .
2
 2
1
Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля
a  ( x  2 z )  i  ( x  3 y  z )  j  (5x  y)  k
вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1) .
Решение:
По определению циркуляции С   a dr   Pdx  Qdy  Rdz , получаем
L
L
С   ( x  2 z )dx  ( x  3 y  z )dy  (5 x  y)dz 
L

AB


BC


.
CA
На отрезке AB : x  y  1, z  0 , следовательно
0
3
.
2
AB
1
На отрезке BC : z  y  1, x  0 , следовательно

  ( x  0)dx  ( x  3  3x  0)( dx)  0 
0
3
BC  1 0  (0  3 y  1  y)dy  (0  y)(dy)   2 .
На отрезке CA : x  z  1, y  0 , следовательно

CA
1
  ( x  2  2 x)dx  0  (5 x  0)( dx)  3 .
0
Следовательно, С 

ABCA


AB



BC


CA
3  3
     (3)  3
2  2



 x 2  y 2  4,

2
a

y
i

x
j

z
k
Пример 8. Найти циркуляцию вектора
по контуру  : 
 z  3,
непосредственно и по формуле Стокса.
Решение:
z

n
y
x
I способ.
Контур  - окружность радиуса R  2 , лежащая в плоскости z  3 . Выберем ориентацию
как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения
 x  2 cos t ,

окружности
имеют
вид
так
что
 :  y  2 sin t , t  0,2  ,
 z  3,

dx  2 sin tdt, dy  2 cos tdt, dz  0.
 
C   a  dr   a x dx  a y dy  a z dz   ydx  x 2 dy  zdz 


  4 sin
2

2


t  8 cos 3 t dt  4
0
2

0
2
 2 sin t  2 sin t   4 cos
2

t  2 cos t  3  0 dt 
0


2
1  cos 2t
2
dt  8  1  sin 2 t cos tdt   2t  sin 2t  0 
2
0
2

sin 3 t 
8 sin t 
 4


3

0
II способ.
Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь
поверхность  , натянутую на контур  . Естественно в качестве  взять круг, имеющий
 z  3,
контур  своей границей. Уравнение поверхности  имеет вид:  2
. Согласно
 x  y 2  4
 
выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной n  k .



i
j
k





Далее rota 
 2 x  1k .
x y z
y x2  z
В силу теоремы Стокса
x   cos 
 : z  3  d  dxdy
 
C   rota , n0 d   2 x  1d 
  2 x  1dxdy  y   sin 

D : x2  y2  4


D
dxdy    dd
2
2
0
0
  2  cos   1dd   d  2  cos   1d  4 .
D




Пример 9. Доказать, что векторное поле a   y  z i  x  z  j  x  y k является
потенциальным. Найти его потенциал.
Решение:
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю
вихря поля. В нашем случае



i
j
k
 






rota 
 1  1i  1  1 j  1  1k  0 .
x
y
z
yz xz x y
Таким образом, поле является потенциальным.
Обозначим ux , y , z  - искомый потенциал. По определению потенциального поля,

поле градиента искомой функции u ,, должно совпадать с векторным полем a . Поэтому
u
 y  z . Отсюда ux, y , z   xy  xz    y , z  , где  , - некоторая функция аргументов
x
u

y и z . Из условия
 x
 x  z , можно сделать вывод, что   y , z   zy  z  .
y
y
Таким образом, ux, y , z   xy  xz  zy  z . Неопределенную функцию   найдем из
u
 x  y  x  y    z  . Решением последнего уравнения является функция
z
 z   const .
В итоге потенциал имеет вид ux, y , z   xy  xz  zy  const .
условия
 
Пример 10. Пусть a , b
- произвольные векторные поля. Показать, что


 


div a  b  b , rota  a , rotb
(символом , обозначено скалярное произведение
векторов).
Решение:








Пусть a  a x i  a y j  a z k и b  bx i  b y j  bz k - произвольные векторные поля. Найдем
 
векторное произведение a  b .



i
j
k



 
a  b  a x a y a z  a y bz  a z b y i  a z bx  a x bz  j  a x b y  a y bx k .
bx b y bz

 
 





a y
b
a
   a y bz  a z b y   a z bx  a x bz   a x b y  a y bx 
div a  b 


 bz
 a y z  by z 
x
y
z
x
x
x
b y
b y
a y
b
a
a
b
a
b
 az
 bx z  a z x  bz x  a x z  b y x  a x
 bx
 ay x 
x
y
y
y
y
z
z
z
z


a y 
b
 a
 a
 b
a 
a 
 a
  b y  x  z   bz  y  x   a x  z  y
 bx  z 
z 
x 
y 
z
 z
 y
 x
 y






 i
  i

j
k
j
k

 


 b y bx   


   

  
  b ,
 a z 

_ a,
 b , rota




y 
x y z
x y z
 x
 a


a y a z   bx b y bz 
x



b 
 b
  a y  x  z  
x 
 z

  a, rotb .

Вариант 1.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  4 ln( x 2  y 2 )  8x  y  z ,
 : x 2  2 y 2  2z 2  1,
M (1; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z )  ln | r | ,
где r - радиус-вектор точки поля,
U  1, U  0 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  4 y  i  9x  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 x  i  ( x  y)  j  z 2  k через
а)
полную поверхность цилиндра x 2  z 2  4, y  0, y  2 ;
б)
основание этого цилиндра, лежащее в плоскости y  2 в положительном
направлении оси Oy .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y j  z  k через плоскость
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz).
Задание 6. Вычислить поток векторного поля a  x  i  y  j  x 2  y 2  1  k через
внешнюю сторону однополостного гиперболоида
z
x2  y2  1 ,
ограниченного
плоскостями z  0, z  3 .
Задание 7. Найти работу силы F  x 2  2 y   i   y 2  2 x   j , при перемещении
материальной точки вдоль линии L : MN от точки M  4,0 до точки N 0,3 .
1
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  y  i  3 x  j  x  k вдоль контура
3
 x  2 cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  2 sin t ,
 z  1  2 cos t  2 sin t


 

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  y  i  x  j  k по контуру
 x 2  y 2  1,
 :
 z  1,
непосредственно и по формуле Стокса.
 y
  x  xy 
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a    2 x   i   j  2  k .
z
z
z

Найти его потенциал.
  4 
 

Задание 11. Найти diva  c  , где a  r r , r - радиус-вектор точки поля, c постоянный вектор.
Вариант 2.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  x y  y z ,
 : 2x 2  y 2  4z  0 ,
M (0; 2; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
12 z
,
U ( x, y , z ) 
U  0, 1, 3 .
2
x  y2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  2 y  i  3x  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  z 2  i  y 2  j  4 x  z  k через
а) полную
поверхность
призмы,
ограниченной
плоскостями
x  y  3, x  0, y  0, z  0, z  3 ;
б) верхнее основание этой призмы в положительном направлении оси Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  y  j  z  k через плоскость P : x  y  z  1 ,
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).
Задание 6. Вычислить поток векторного поля a  3x  i  y  j  z  k через внешнюю
сторону параболоида x 2  y 2  9  z , расположенного в первом октанте.
Задание 7. Найти работу силы F  x 2  2 y   i   y 2  2 x   j , при перемещении
материальной точки вдоль линии L : MN от точки M  4,0 до точки N 0,2 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a   x 2 y 3  i  4 j  x  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  4





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  y  z  i  2 x  z  j  x  y  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  25,
 : 2
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  y 2  9,  z  0,



 y z i  x z  j  x yk
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
.
1 x2 y2 z2
Найти его потенциал.


 
Задание 11. Доказать, что векторное поле a  f  r r , где r - радиус-вектор точки поля,

3
будет соленоидальным, если f  r   1 r .
Вариант 3.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z )  2 ln( x 2  5)  4 x  y  z ,
 : x 2  2 y 2  2z 2  1,
M (1; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
9x 2  y 2  1
,
U  0, 1, 9 .
z2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  2x  i  4 y  j .
U ( x, y , z ) 
Задание 4. Найти поток векторного поля a  ( x  y)  i  ( y  z )  j  ( x  z 2 )  k через
а) полную
поверхность
пирамиды,
вершины
которой
S (0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3) ;
б) грань ASC в положительном направлении оси Oy .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  z  k через плоскость
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  i  y 2  j через часть поверхности
x  y 2  z 2 , отсеченной плоскостью x  2 в направлении внешней нормали.
Задание
7.
Найти
работу
силы




F  x 2  2 y  i  y 2  2x  j ,
при
перемещении
2
x
от точки M  4,0 до точки N 0,2 .
8
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  2 z 2  j  y  k вдоль контура
 x  3 cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  4 sin t ,
 z  6 cos t  4 sin t  1





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  y  i  x  j  x  y   k по контуру
материальной точки вдоль линии L : y  2 
x 2  y 2  z 2  R 2 ,
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  0, y  0, z  0,
 :
Задание
10.
Показать
потенциальность

 
z   
1  1 y 
a   y  2   i   x    j    2   k . Найти его потенциал.
z
x 


x z 
векторного
поля



Задание 11. Доказать, что rot   a     rota  grad  a , где  - произвольная скалярная

функция, a - векторное поле.
Вариант 4.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
1
U ( x, y , z )  x 2  y  x 2  5 z 2 ,
4
 : z 2  x2  4y2  4 ,
M (2; 0,5; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y , z )  e
x2  y2  z2
,
U  1, e, 4 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  x  i  3y  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 y  i  2 x 2  j  4 z ( x  1)  k через
а)
полную поверхность цилиндра x 2  y 2  4, z  0, z  4 ;
б)
сечение этого цилиндра плоскостью x  0 в положительном направлении
оси Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  3 y  j  2 z  k через плоскость
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a   y  x   i  z  y   j  x  z   k через боковую
поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями x  y  z  1, x  y  z  1, x  0, z  0 .
Задание 7. Найти работу силы F  x  y   i  2 x  j , при перемещении материальной
точки вдоль линии L : x 2  y 2  4, y  0 от точки M 2,0 до точки N  2,0 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  2 z  i  x  j  y  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  1





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  y  z  j  x  k по контуру
2
2

 x  y  1,
непосредственно и по формуле Стокса.
:
2
2
2

x

y

4
z
,
z

0




 xi  y j  z k
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
. Найти его
x 2  y 2  z 2 3
потенциал.
 
 
Задание 11. Вычислить div  f  r r . Доказать, что векторное поле f  r r будет

3

соленоидальным только тогда, когда f  r   c r , где c - произвольный скаляр, r радиус-вектор точки.
Вариант 5.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z )  x  z 2  x 3  y ,
 : x 2  y 2  3z  12  0 ,
M (2; 2; 4) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z )  x 2  2 y 2  z 2 ,
U  0, 1, 4 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  x  i  4y  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3x  i  4 y  j  7 z 2  k через
а) полную поверхность сферы x 2  y 2  z 2  1 ;
б) сечение сферы плоскостью z  1/ 2 в положительном направлении оси Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  3 y  j через плоскость P : x  y  z  1 ,
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  z  k через замкнутую
поверхность  : x 2  y 2  z 2  4, 3z  x 2  y 2 .
Задание 7. Найти работу силы F  x 3 i  y 3 j , при перемещении материальной точки вдоль
линии L : x 2  y 2  4, x  0 от точки M 2,0 до точки N 0,2 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  z 2  j  y  k вдоль контура
 x  cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  2 sin t ,
 z  2 cos t  2 sin t  1





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  y  z  i  x  z  j  xy  4 y   k по
 z 2  4 y 2  4,
контуру  : 
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  2,



 x2  i  y2  j  z2  k
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
. Найти
x3  y3  z 3
его потенциал.

  


Задание 11. Найти   , если   a, r   r , где a - постоянный вектор, r - радиус-вектор
точки поля, , - скалярное произведение векторов.
Вариант 6.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z )  x y  y  z 2 ,
 : x 2  y 2  4z ,
M (1; 1; 0,5) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
x  3y 2
,
U  0, 1, 3 .
z2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  3x  i  6 z  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  ( x  y)  i  ( y  z )  j  ( x  z 2 )  k через
U ( x, y , z ) 
а) полную поверхность конуса x 2  y 2  z 2 , 0  z  4 ;
б) сечение этого конуса плоскостью y  0 в положительном направлении оси Oy .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  z  k через плоскость
P : x  2 y  2 z  2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a   x  i  y  j  y  z  k через внешнюю сторону
боковой поверхности конуса y 2  x 2  z 2 0  y  1 .
Задание 7. Найти работу силы F  x  y   i  x  y   j , при перемещении материальной
точки вдоль линии L : y  x 2 от точки M  1,1 до точки N 1,1 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2 y 3  i  2 j  x  z  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  1





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  2 z  i  3x  z   j  x 2 z  k по контуру
 y 2  1  x  z,
непосредственно и по формуле Стокса.
 :
 x  0, y  0, z  0,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
 1 z   1 x   1 y  
a    2   i    2   j    2   k . Найти его потенциал.
x z 
y x 
z y 

  n
Задание 11. При каком значении n поле вектора a  r r , где r - радиус-вектор точки,
будет соленоидальным?
Вариант 7.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  7 ln( x 2  1 / 13)  4 x  y  z ,
 : 7x 2  4 y 2  4z 2  7 ,
M (1; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
x2
,
U  0, 1, 2 .
y2  z2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  4z  i  9x  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  y(2 x  1)  i  3 y  z  j  3x  k через
а) полную поверхность конуса, если конус стоит на плоскости Oxy , высота его
совпадает с осью Oz и равна 3, радиус основания равен единице;
б) сечение этого конуса плоскостью x  0 в положительном направлении оси Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  2 y  j  z  k через плоскость
1
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
2
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  2 x  i  1  2 y   j  2 z  k через внешнюю
сторону параболоида 1  2 y  x 2  z 2 , отсеченного плоскостью y  0  y  0 .
U ( x, y, z ) 
Задание 7. Найти работу силы F  x 2 y  i  y  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : MN от точки M  1,0 до точки N 0,1 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  z  i  y 2  j  x  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .

 z  2 cos t

 

x3  

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  y  z  i   x  z    j  x  y  k по
8 

 x  2 y  4 z  8,
контуру  : 
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  0, y  0, z  0,
 yz  1  1 
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a  2  i   j   k . Найти
x
x
x
его потенциал.
 




Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a  c sin r , где r - радиус-вектор точки

поля, c - постоянный вектор.
Вариант 8.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
y
U ( x, y, z )  arctg  x  z ,
x
2
2
 : x  y  2 z  10 ,
M (2; 2; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :



2y
U  0,  ,  ,  .
,
U ( x, y, z )  arcsin 2
2
6
4
2
x z
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  2 z  i  3x  k .
Задание 4. Найти поток вихрей вектора a  7 y  i  y  j  2 y  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностью z  9  x 2  y 2 и
плоскостью z  0 ;
б) боковую поверхность этого тела.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  y  j  3z  k через плоскость
P : x  2 y  2 z  2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  4 x  i  2 y  j  z  k через боковую
поверхность
и
верхнее
основание
тела
ограниченного
плоскостями
3x  2 y  12, 3x  y  6, x  y  z  6, y  0, z  0 .
Задание
7.
Найти
работу


F  2 xy  y   i  x 2  x  j ,
силы
при
перемещении
материальной точки вдоль линии L : x  y  9, y  0 от точки M 3,0 до точки N  3,0 .
2
2
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a   x 2 y 3  i  j  z  k вдоль контура
 x  3 4 cos t ,

L :  y  3 4 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  3





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a   y  z   i  z  j  y  k по контуру
y  9  x2  z 2 ,
 :
 x  0, y  0, z  0,
непосредственно и по формуле Стокса.

  2x   x 2 
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a    1  i  2  j  6 z 2  k .
y
 y

Найти его потенциал.
 

     
  
Задание 11. Найти div a  r  b , где a  i  j  k , b  i  2 j  4k , r - радиус-вектор
точки.
 

Вариант 9.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  ln( 1  x 2 )  x  y  z ,
 : 4 x 2  y 2  z 2  16 ,
M (1; 2; 4) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
x2 y2 z2


,
U  0, 1, 4, 5 .
4
9
4
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
U ( x, y , z ) 
a  4 y  j  8z  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  4 x  i  4 y  j  (3x  z 2 )  k через
а) полную поверхность полушара x 2  y 2  z 2  1, z  0 ( z  0 );
б) внешнюю поверхность полусферы x 2  y 2  z 2  1, ( z  0 ).
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  z  k через плоскость
1
1
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
2
3
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  8 x  i  2 y  j  x  k через поверхность тела,
ограниченного плоскостями x  y  1, x  0, y  0 и параболоидом z  x 2  y 2 z  0 .
Задание 7. Найти работу силы F  x  y   i  x  y   j , при перемещении материальной
y2
 1, y  0 от точки M 1,0 до точки N 0,3 .
9
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  i  y  j  z  k вдоль контура
точки вдоль линии L : x 2 

 x  cos t ,

2

L : y 
sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
2


2
cos t
z 
2





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  5 y 2 z  i  5 z 2 x  j  5 x 2 y  k по контуру
 x  y 2  4,
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  2, x  0,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
2 
3


 6x

 18 x
a
 i  e 2 z  j   2  2 ye 2 z   k . Найти его потенциал.
z
 z

  4



Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a  r r , где r - радиус-вектор точки.
 :
Вариант 10.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z )  x 2  y 2  z ,
 : x 2  y 2  25 z ,
M (3; 4; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
1
2z
U  1, , 2 .
,
U ( x, y, z )  2
2
2
2
x y z
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  y  j  3z  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3 y  i  2 x  z  j  5x  y  k через
а) боковую поверхность и верхнее основание параллелепипеда, ограниченного
плоскостями x  0, x  2, y  0, z  0, z  4 ;
б) сечение параллелепипеда плоскостью y  x в направлении нормали, образующей
острый угол с осью Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  z  k через плоскость
P : 6 x  3 y  2 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  6 x  i  2 y  j  z  k через часть поверхности


параболоида z  3  2 x 2  y 2 , вырезанной конусом z  x 2  y 2 .
Задание 7. Найти работу силы F  y  i  x  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  1, y  0 от точки M 1,0 до точки N  1,0 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  2 y  i  3x  j  x  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  2 sin t ,
 z  2  2 cos t  2 sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  4 y 2  y 2 z   j  4 z 2 k по контуру
 z 2  y 2  9,
непосредственно и по формуле Стокса.
 :
 x  1,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
 

1  
1  

a  2 xyz  i   x 2 z  2   j  y x 2  3   k . Найти его потенциал.
2z 
z 










Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a  3xz  i  2 y  j  z  k  sin r , где r радиус-вектор точки.


Вариант 11.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  x y  ( z  y) x ,
 : x2  y2  z2  4,
M (1; 1; 2) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
 
U ,
, 0.
U ( x, y, z )  arctg | r | , где r - радиус-вектор точки поля,
4 2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  2 x  i  8z  k .
Задание 4. Найти поток вихрей вектора a  x  i  y 2  j  2 y  z  k через
а) боковую поверхность цилиндра x 2  y 2  4, z  2 , стоящего на плоскости Oxy ;
б) сечение этого цилиндра плоскостью y  x в направлении нормали, образующей
острый угол с осью Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  3x  i  2z  k через плоскость
1
1
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
2
3
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  3z 2  x 2  i  e x  2 y   j  3z  xy  k через
замкнутую поверхность  : x 2  y 2  z 2 , z  1, z  4 .




F  x 2  y 2  i  x 2  y 2  j , при перемещении
 x, 0  x  1
материальной точки вдоль линии L : y  
от точки M 2,0 до точки N 0,0 .
2  x, 1  x  2
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  y  i  x  j  z  k вдоль контура
Задание
7.
Найти
работу
силы
 x  cos t ,

L :  y  sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  3





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  4 x  i  2 j  xy  k


 z  2 x 2  y 2  1,
 :
по контуру
непосредственно и по формуле Стокса.
z

7
,

Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
 1 z   
x   
1 
a    2   i   2 z  2   j   2 y    k . Найти его потенциал.
x
y 

y x 

Задание 11. Пусть u, v - произвольные дважды дифференцируемые функции. Доказать,
что divu gradv   u div( gradv)  gradu, gradv  .
Вариант 12.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z )  x  y  4  z 2 ,
 : z  x2  y2 ,
M (2; 1; 3) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z)  4  x 2  y 2  z ,
U  1, 2, 3 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  x  i  3z  k .
Задание 4. Найти поток поля вектора a  x  i  y 2  j  2 y  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного параболоидом z  x 2  y 2 и плоскостью
z  9;
б) площадь круга z  x 2  y 2 , z  9 в отрицательном направлении оси Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  3 y  j  z  k через плоскость
P : 2 x  6 y  3 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Вычислить поток векторного поля a  y 2  i  x 2  j  xy  3z   k через боковую
поверхность пирамиды, имеющей основание на плоскости xOy и вершины в точках
A2,0,0, B0,2,0, O0,0,0, C0,0,1 в направлении внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  y  i  x  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  2, y  0 от точки M




2 ,0 до точки N  2 ,0 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  3 yi  3x j  x k вдоль контура
 x  3 cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  3 sin t ,
 z  3  3 cos t  3 sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  2 y  i  3x  j  z 2  k по контуру
 x 2  y 2  z,
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  1,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля

   1 4x   
  2
y
a    2  6 z   i    3   j   6 x  2   k . Найти его потенциал.
z 

 y

z y 


Задание 11. Найти divgrad  r , где   r  - произвольная дважды дифференцируемая

функция, r - радиус-вектор точки.
 :
Вариант 13.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению нормали к поверхности  , образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz :
U ( x, y, z)  ( x 2  y 2  z 2 ) 3 / 2 ,
 : 2x 2  y 2  z 2  7  0 ,
M (0; 3; 4) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
  
U ,
,
U ( x, y, z )  arcsin | r | , где r - радиус-вектор точки поля,
.
4 3 2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  4z  j  9 y  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 y 2  i  z 2  j  4 x  z  k через
а) полную поверхность призмы, получающейся при пересечении плоскостей
x  0, y  0, z  0, z  y  3, x  3 ;
б) сечение призмы плоскостью y  x в направлении нормали, образующей острый
угол с осью Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  3 y  j  z  k через плоскость
1
1
P : x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
3
2
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  xy  i  yz  j  xz  k через часть поверхности
сферы x 2  y 2  z 2  1 , находящейся в первом октанте, в направлении внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  xy  i  2 y  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  1, y  0 от точки M 1,0 до точки N 0,1 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  6 z  i  x  j  xy  k вдоль контура
 x  3 cos t ,

L :  y  3 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  3





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  2 yz  i  xz  x 2   j  xy  k по контуру
 x 2  9 y 2  36,
 :
 z  2,
непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
yz 
i 
x
xz 
j
y
xy 
k .
z
Найти его потенциал.
 


Задание 11. Найти rot c f  r , где f  r  - произвольная дифференцируемая функция, c 
постоянный вектор, r - радиус-вектор точки.
Вариант 14.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  x 2  arctg ( y  z) ,
s  3 j  4  k ,
M (2; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
4 x 2  ( y  1)1/ 2
,
U  0, 1, 4 .
z2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
U ( x, y , z ) 
a  2z  j  3y  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  y  z  i  2 x 3  j  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндром z  0,5  y 2 и плоскостями
x  0, y  0, z  0, x  2 y  4 ;
б) сечение этого тела плоскостью x  0 в положительном направлении оси Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  4 z  k через плоскость
P : 2 x  6 y  3 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  z  k через часть поверхности
9  z  x 2  y 2 , заключенной между плоскостями z  0, z  5 , в направлении внешней
нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  y  i  x  j , при перемещении материальной точки
 1 
 1 
,0  до точки N  
,0  .
вдоль линии L : 2 x 2  y 2  1, y  0 от точки M 
2 
 2 

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  2 z 2  j  y  k вдоль контура
 x  cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  3 sin t ,
 z  2 cos t  3 sin t  2





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  2 y  i  5 z  j  3x  k по контуру
x  0, y  0, z  0,
:
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  y  z  3,
 1  1 x   y 
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a   i    2   j  2  k .
y
z
z y 
Найти его потенциал.








Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a  y  i  2 z  j  3x  k  cos r , где r радиус-вектор точки поля.


Вариант 15.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  ( x 2  y 2  z 2 ) 3 / 2 ,
s i  jk ,
M (1; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
 
x2  z2
U  0,
,
,
.
6 4
y
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  5x  i  10 y  j .
U ( x, y, z )  arctg
Задание 4. Найти поток вихрей вектора a  2 x  i  (3 y  z  x)  j  3x  k через
а) боковую поверхность цилиндра 4 x 2  y 2  4 , стоящего на плоскости Oxy и сверху
ограниченного плоскостью z  2 ;
б) верхнее основание этого цилиндра, лежащее в плоскости z  2 в положительном
направлении оси Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  6 z  k через плоскость
P : 3 x  2 y  6 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  xz  i  yz  j  z 2  1  k через часть
поверхности z 2  x 2  y 2 , заключенной между плоскостями z  1, z  4 в направлении
внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x 2  y 2   i  2 j , при перемещении материальной


точки вдоль линии L : x 2  y 2  R 2 , y  0 от точки M R,0 до точки N  R,0 .
z2
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i   j  y  k вдоль контура
3
1

 x  2 cos t ,

1

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  sin t ,
3

1
1

 z  cos t  3 sin t  4





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a   yz  4 z   i  xz  j  xy  k по контуру
9 z 2  4 x 2  36,
непосредственно и по формуле Стокса.
y

0
,

 :
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
 y
xy  
  x 1   
a    z   i    2   j   x  2   k . Найти его потенциал.
z 
z


z y 
Задание 11. Непосредственным вычислением показать, что поле градиента скалярной
функции   6 x 3 y  2 xy4  z 4 x 2 y безвихревое.
Вариант 16.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  x  ln( y 2  z 2 ) ,
s  2i  j  k ,
M (2; 2; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :


z
U  ,  .
,
U ( x, y, z )  arctg
6
4
x2  y2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  4x  i  6 y  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 x  i  (3 y  z  x)  j  3x  k через
а) полную поверхность конуса x 2  y 2  z 2 , x  4 ;
б) боковую поверхность этого конуса.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  5 y  j  5 z  k через плоскость
P : 3 x  2 y  6 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  i  z  k через внешнюю сторону части
поверхности z 2  1  x  y 2 , отсекаемой от нее плоскостями x  0, y  0, z  0 и
расположенной в первом октанте.
Задание 7. Найти работу силы F  x  y   i  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  4, y  0 от точки M 2,0 до точки N  2,0 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a   z  i  x  j  xz  k вдоль контура
 x  5 cos t ,

L :  y  5 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  4





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2 4  z   i  y  j  4 z 2  k по контуру
 z 2  x 2  9 ,
:
непосредственно и по формуле Стокса.
 y  1,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля



  2 xy

 2 yz

a  2
 z   i  ln x 2  z 2   j   2
 x   k . Найти его потенциал.
2
2
x z

x z

 


 

Задание 11. Найти rot  f  r a  , где a  y  i  2 j  xz  k , r - радиус-вектор точки поля,
f  - произвольная дифференцируемая функция.
Вариант 17.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  x 2  y  x  y  z 2 ,
M (1; 5; 2) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
2z  1
,
U  1, 2, 0 .
U ( x, y, z )  2
x  y2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  y  j  4z  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 x  i  (3 y  z  x)  j  3x  k через
s  2 j  2k ,
а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндром x 2  y 2  9 , плоскостями
z  x, z  0, ( z  0) ;
б) плоскость z  x этой поверхности в направлении нормали, образующей тупой угол
с осью Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  z  k через плоскость
P : 4 x  y  2 z  2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  i  xzy  j  y  k через часть поверхности
4  z  x 2  y 2 , заключенной между плоскостями z  2, z  4 , в направлении внешней
нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x 2 y  i  xy 2  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  4, x  0 от точки M 2,0 до точки N 0,2 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  3z 2  j  y  k вдоль контура
 x  cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  4 sin t ,
 z  2 cos t  4 sin t  3


 

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  xz  i  j  y  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  4,
непосредственно и по формуле Стокса.
 :
 z  1,
Задание10.
Показать
потенциальность
векторного
поля


2
2

a  y 2 e xy  3x  i  2 xyexy  y  j . Найти его потенциал.
 


Задание 11. Вычислить divcos r c  , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор.

 

Вариант 18.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  y  ln( x 2  1)  arctg( z) ,
s  2i  3 j  2k ,
M (0; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :


x
U   ,  , 0.
,
U ( x, y, z )  arctg 2
2
6
4
x y
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  xi  y  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2 x  i  2 y  j  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами y  x 2 , y  4 x 2 , ( x  0) и
плоскостями y  1, z  y, z  0 ;
б) через часть плоскости y  1 этой поверхности в положительном направлении оси
Oy .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  y  j  2 z  k через плоскость
1
P : 2 x  y  z  1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
2
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a   y 2  z 2   i  y 2  j  2 yz  k через боковую
поверхность конуса y 2  x 2  z 2 0  y  1 в направлении внешней нормали.
Задание
7.
Найти
работу




F  x2  y2  i  y2  x2  j ,
силы
2
при
перемещении
2
x
y

 1, y  0 от точки M 3,0 до точки N  3,0 .
9
4
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  y 2   i  y  j  x  k вдоль контура
материальной точки вдоль линии L :
 x  cos 2 t ,

L :  y  sin t  cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  yz  i  xz  4 x   j  xy  k по контуру
4 x 2  y 2  4,
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  0,
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
2
2



 2z x 
  2x 1 
x z
a      i 
 j    2   k . Найти его потенциал.
2
y
 y z
 y z 

 

Задание 11. Показать, что gradu, r   u  r  r , где r - радиус-вектор точки поля, u произвольная дифференцируемая функция.
 :
Вариант 19.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z )  x  ln( y )  arctg( z ) ,
M (2; 1; 1) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
x y
 
U ( x, y, z )  arctg
U  0,
,
,
.
z
8 4
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  9 y  i  4x  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  ( y  z )  i  y  j  x  k через
s  8i  4 j  8 k ,
а) полную поверхность тела, ограниченного параболоидом 2 y  x 2  z 2 ,
и
плоскостью y  1 ;
б) сечение этой поверхности плоскостью z  0 в положительном направлении оси
Oz .
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  2 z  k через плоскость
P : 4 x  y  2 z  2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  i  xy  j  z  k через внешнюю сторону
цилиндра x 2  z 2  4 , ограниченной плоскостями y  1, x  y  4 .
Задание 7. Найти работу силы F  y 2  i  x 2  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  9, y  0 от точки M 3,0 до точки N 0,3 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  i   y 2  x 2   j  3 y 2  x 2   k вдоль
 x  2 cos t ,

контура L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  cos t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  3 y 2  i  3x 2  j  3z 2  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  4,
 :
непосредственно и по формуле Стокса.
x

0
,
y

0
,
z

0
,

Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
2
2
   2 y 2x   
  2x
2y  
a   2  2 z   i   2  3   j   2 x  3   k . Найти его потенциал.
y 
z 
y

z

Задание 11. Пусть u ,v - произвольные дифференцируемые функции. Доказать, что
grad u v  v gradu  u gradv .
Вариант 20.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению вектора s :
U ( x, y, z)  ln( 3  x 2 )  x  y 2  z ,
s  i  2  j  2  k ,
M (1; 3; 2) .
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
x
,
U  1, e .
U ( x, y, z )  ln 2
x  y2
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  5 y  i  7x  j .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  2( x  y)  i  ( x  z )  k через
а) полную
поверхность
тела,
ограниченного
поверхностями
2
2
2
2
z  x  3 y  1, z  0, x  y  1 , и плоскостью y  1 ;
б) сечение этой поверхности плоскостью x  0 в положительном направлении оси
Ox .
Задание 5. Найти поток векторного поля a   x  i  y  j  12 z  k через плоскость
P : 4 x  y  2 z  2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  3x  y 2   i  x 2  j  x 2  y 2  2 z  k через
боковую поверхность конуса 4 z 2  x 2  y 2 0  z  H  в направлении внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x  y 2   i  x 2  y 2  j , при
материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 1,0 до точки N 0,1 .
перемещении
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  z  i  xy  j   y 2  x 2   k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  3 sin t ,
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  4 cos 2 t  9 sin 2 t


 

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a   y  i  2 j  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  0,
 :
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  1,
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля






 
y
x
ln 1  xy
a  
 2 xy   i  
 x 2   j 
 k . Найти его потенциал.
z2
 z 1  xy

 z 1  xy




Задание 11. Показать, что если a и b - постоянные векторы, r - радиус-вектор точки, то


 

rot r , a b  a  b .
Вариант 21.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) :
M (1; 2) .
U ( x, y, z)  ln( x 2  y 2 ) ,
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U  0, 1, 4 .
U ( x, y, z)  x 2  3 y 2  2 z 2  3x  6 y  4 z ,
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
1
1
a  i   j .
x
y
Задание 4. Найти поток векторного поля a  ( x  z)  i  ( z 2  y 2 )  j  ( x  z)  k через
а) полную поверхность цилиндра x 2  z 2  4, y  0, y  2 , и плоскостью y  1 ;
б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  4 y  j  5 z  k через плоскость
P : 3x  4 y  6 z  12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Вычислить поток векторного поля a  x 2  i  x  j  xz  k через внешнюю часть
параболоида y  x 2  z 2 , расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостями
y  0, y  1 .
Задание 7. Найти работу силы F  x 2  y 2   i   y 2  2 x 2   j , при перемещении
материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 1,3 до точки N 2,4 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  xy  i  z  j  x 2  y 2   k вдоль контура
 x  3 cos t ,

L :  y  2 sin t ,
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  9 cos 2 t  4 sin 2 t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  x  i  z  j  xy  k по контуру
 z  x 2  y 2 ,
:
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  2 , x  0 ,
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля




2
2
a  6 xyz  2 y   i  3x z  2 x   j  3x y  k . Найти его потенциал.

 



Задание 11. Доказать, что div c  a    c , rotb , где a - переменный, c - постоянный
векторы, , - скалярное произведение векторов.


Вариант 22.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) :
x
,
U ( x, y, z )  arcsin
M (1; 2) .
x2  y2
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z)  x 2  4 x  y  4 y 2 ,
U  0, 1, 9 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
1
1
1
a  2 i  2  j  2 k .
x
y
z
Задание 4. Найти поток векторного поля a  x  i  arcsin( x  z )  j  z  k через
а) полную
поверхность
тела,
2
2
x  z  1, y  0, y  2 ;
ограниченного
поверхностями
x2  z 2  4
и
б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a   x  i  3 y  j  z  k через плоскость
P : 5 x  3 y  2 z  30 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  i   y  z   j  z  y   k через верхнюю
3
часть сферической поверхности x 2  y 2  z 2  9 , отсеченную плоскостью z  , z  0 в
2
сторону внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x 2  i  y 3  j , при перемещении материальной точки
вдоль линии L : x 2  y 2  16 от точки M  4,0 до точки N 0,4 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  z 4  i  x  j   y 2  x 2   k вдоль контура

 x  2 cos t ,

L :  y  sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .

t
 z  sin
2





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  3 yi  2 xj  z 2 k
 z  x 2  y 2 ,
непосредственно и по формуле Стокса.
2
2
 x  y  4,
по контуру
 :



 yz  i  xz  j  xy  k
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
. Найти
1  xyz
его потенциал.


Задание 11. Пусть a - произвольный вектор, r - радиус-вектор точки. Доказать, что
 


diva  r   r ,rota .
Вариант 23.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) :
1
,
U ( x, y , z ) 
M (1; 1; 1) .
3 2
x  y2  z2
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z)  9 x 2  24 x  y  16 y 2 ,
U  0, 1, 9 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  xi  y  j  z k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3 y  i  y  j  7 y  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями
z  x 2  y 2  32 и
z  18  x 2  y 2 ;
б) часть поверхности z  x 2  y 2  32 , ограничивающую тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  z  k через плоскость
P : 5 x  3 y  z  15 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  x  z   i  y  j   z  x   k через верхнюю
часть сферической поверхности x 2  y 2  z 2  1 , отсеченную конусом z 2  x 2  y 2 , в
сторону внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x  i  y 4  j , при перемещении материальной точки
 
вдоль линии L : y  cos x от точки M 0,1 до точки N  ,0  .
2 
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  4 y  i  3x  j  x  k вдоль контура
 x  4 cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  4 sin t ,
 z  4  4 cos t  4 sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  3 x  i  5 j  xy  k по контуру
 z  x 2  y 2 ,
 : 2
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  x 2  y 2 ,
Задание
10.
Показать
потенциальность

 x2  y 2 

x2  y 2
x2  y 2
a  2 xze
 i  2 yze
 j e
 k . Найти его потенциал.

3
Задание 11. Вычислить rot r r , где r - радиус-вектор точки.
 
векторного
поля
Вариант 24.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) :
x
,
U ( x, y, z )  arctg
M (1; 2; 1) .
x2  y2  z2
Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z)  3x 2  6 x  y  3 y 2 ,
U  0, 1, 4 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  xi  y  j  z k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  5 y  i  5z  j  z 2  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями
x2  y2  z 2  2 и
z 2  x 2  y 2 , ( z  0) ;
б) часть сферы x 2  y 2  z 2  2 , ограничивающую тело, в сторону внешней нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  3 y  j  z  k через плоскость
P : 4 x  3 y  6 z  12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  y 2  i  x 2  j  k через часть поверхности
параболоида 1  z  x 2  y 2 , 0  z  1 в сторону внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x  2 sin y   i  x  j , при перемещении материальной
1  
точки вдоль линии L : y  arcsin x от точки M 0,0 до точки N  ,  .
2 6
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  z  i  x  j  y  k вдоль контура
 x  2 cos t ,

L :  y  2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
z  0





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  2 x  i  yz  j  3x  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  6,
непосредственно и по формуле Стокса.
2
2
 z  x  y ,
 :



 zy  i  zx  j  xy  k
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
. Найти
2
xy
 
z2 1  
 z 
его потенциал.

Задание 11. Пусть   - произвольная дифференцируемая функция, r - радиус-вектор
 
 

точки, c - постоянный вектор. Доказать, что div   r c     r r ,c  , где , - скалярное
произведение векторов.
Вариант 25.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по
направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через
точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) :


M  0; 0;  .
2

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
U ( x, y, z )  sin x 2  y 2  z 2 ,
U ( x, y, z)  5x 2  10 x  y  5 y 2 ,
U  0, 1, 4 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
1
1
1
a  i   j  k .
x
y
z
Задание 4. Найти поток векторного поля a  y  i  x  j  0,5  z 2  k через
а) полную
поверхность
тела,
ограниченного
поверхностями
z  x2  y2
и
z 2  x2  y2 ;
б) часть поверхности z  x 2  y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  3 y  j  2 z  k через плоскость
P : 3x  6 y  4 z  12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  yz  i  4 x  j  2k через боковую поверхность
конуса  z  4   x 2  y 2 , 0  z  4  в сторону внешней нормали.
2
Задание
7.
Найти
работу силы
F  3 x  2 y   i  2 x  3 y   j ,
при
перемещении
x2 y2

 1 от точки M  2,0 до точки N 0,3 .
4
9
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  2 y  i  z  j  x  k вдоль контура
 x  cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  sin t ,
 z  4  cos t  sin t


 

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  xz  i  j  y  k по контуру
материальной точки вдоль линии L :
 x 2  y 2  z 2  8 ,
непосредственно и по формуле Стокса.
 :
 z 2  x 2  y 2 , z  0 ,



 xi  y j  zk
Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 
. Найти его
23
x2  y2  z2
потенциал.
 


cr
Задание 11. Найти rot  2 , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор.
r


Вариант 26.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой  ,
 x  x(t )

заданной параметрически  :  y  y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению
 z  z (t )

параметра t  t 0 :
 x  3 cos t
3

t0   .
 :  y  3 sin t ,
U ( x, y, z)  2 x  y  z 2 ,
2
 z  4t

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :


U ( x, y, z)  ln z  ( x 2  y 2 )1/ 2 ,
U  0, 1 .
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a  x  z i  y  z  j  z2  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3 y  i  3x  j  z 4  k через
а) полную
поверхность
тела,
ограниченного
поверхностями
x2  y2  z 2  2 ,
z  x2  y2 ;
б) часть поверхности z  x 2  y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  3 x  i  3 y  j  2 z  k через плоскость
P : 4 x  5 y  10 z  20 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  4 x  i  4 y  j  2 z  k через часть поверхности
z  x 2  y 2  2 , отсеченную поверхностью  z  4  x 2  y 2 в сторону внешней нормали.
2
Задание 7. Найти работу силы F  ln x  i  xy  j , при перемещении материальной точки
 


вдоль линии L : y  tgx от точки M  ,1 до точки N  , 3  .
3

4 
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  y 3  i  x 2  y 2   j  3x 2  y 2   k вдоль
 x  4 cos t ,

контура L :  y  4 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  cos t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  yz  i  xx  z   j  xy  k по контуру
2
2
2

x  y  z  5,
непосредственно и по формуле Стокса.
 :
2
2

 x  y  1, z  0
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля




a  sin 2 xyz  yz  i  xz  j  xy  k . Найти его потенциал.


 

Задание 11. Вычислить div c    r r  , где r - радиус-вектор, c - постоянный вектор,


  - произвольная дифференцируемая функция.
Вариант 27.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой  ,
 x  x(t )

заданной параметрически  :  y  y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению
 z  z (t )

параметра t  t 0 :
x  3 t

t0  1 .
 :  y  ln t ,
U ( x, y, z)  ln( x 2  y 2  z 2 ) ,
 z  t3

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
1
z
U   , 1.
,
U ( x, y, z ) 
2
ln x 2  y 2


Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
x y
a  y i  x  j 
k .
z
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3 y  z  i  5x  z  j  4 x  y  z  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями z  x 2  y 2 , z  2 ;
б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  y  j  z  k через плоскость
P : 3x  2 y  3z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  3 yz  i  4 xz  j  5 xy  k через часть
поверхности z 2  x 2  y 2 , отсеченную цилиндром  y  1  x 2  1 в сторону внешней
нормали.
ln y
 i  y  j , при перемещении материальной точки
Задание 7. Найти работу силы F 
1 x2

 

вдоль линии L : y  arctgx от точки M 1,  до точки N  3 ,  .
3
 4

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  xy  i  x  j  3 y 2  x 2   k вдоль
2
 x  cos t ,

контура L :  y  sin t ,
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  cos t  sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  3xz  i  2 j  3 y  k по контуру
 x 2  y 2  z 2  5,
непосредственно и по формуле Стокса.
 x 2  y 2  1,  z  0 
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля

 
z    2
z  
  i   x 
  j  ln x  y   k . Найти его потенциал.
a   2 xy 
x y
x y


  r 


Задание 11. Вычислить div  c    , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор.
r 

 :
Вариант 28.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой  ,
 x  x(t )

заданной параметрически  :  y  y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению
 z  z (t )

параметра t  t 0 :
 x  ln t

t0  1 .
:y  t ,
U ( x, y, z )  x 2  y  z 3 ,
z  1/ t

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
z
U ( x, y , z ) 
,
U  1, 2 .
arcsin x 2  y 2 
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :
a
z2
i 
z2
 jk .
x2
y2
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3x  z  i  4 y  z  j  5x  y  k через
а) полную
поверхность
тела,
ограниченного
поверхностями
z  x2  y2 ,
z 2  x 2  y 2  2 ( z  [0, 2] );
б) часть поверхности z  x 2  y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a   x  i  2 y  j  7 z  k через плоскость
P : x  y  z  3 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  3 y  i  3 j  12 x  1  k через часть
поверхности z 2  x 2  y 2 , отсеченную плоскостью z  2 x  4 y  1  0 в сторону внешней
нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x sin y  i  x  y   j , при перемещении материальной
точки вдоль линии L : y  x 2 от точки M 1,1 до точки N 2,4 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  i  z  j  x 2  y 2   k вдоль контура
 x  cos t ,

L :  y  sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  t sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a   y  z   i  y  j  z  k по контуру
 z  3 ,
 : 2
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  x 2  y 2  1,
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля
 y cos xy  x cos xy  sin xy 
a
i 
 j  2  k . Найти его потенциал.
z
z
z

  

Задание 11. Вычислить divr  c  r  , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный
вектор.
Вариант 29.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой  ,
 x  x(t )

заданной параметрически  :  y  y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению
 z  z (t )

параметра t  t 0 :
 x  arcsin t
3

t0 
.
 :  y  arccos t ,
U ( x, y, z)  x  y 2  z 3  x  y  z ,
2
 z  arctg 2t

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
 
U ( x, y, z)  arctg z  ( x 2  y 2 ) ,
U  ,
.
4 3
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :


x2
x2
a  x i 
 j
k .
y
z
Задание 4. Найти поток векторного поля a  3 y  z  i  2 x  z  j  z10  k через
а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями x 2  y 2  4 , z  x 2  y 2 ,
z  0;
б) часть поверхности z  x 2  y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  2 x  i  3 y  j  z  k через плоскость
P : x  y  3z  3 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz).
1
Задание 6. Найти поток векторного поля a   x 3  i  x 2 y  j  y 4  k через часть
2
2
2
2
2
2
поверхности z  x  y , отсеченную конусом z  x  y 2 в сторону внешней нормали.
Задание 7. Найти работу силы F  x 2 arctgy  i   x  y   j , при перемещении материальной
точки вдоль линии L : y  x 3 от точки M 1,1 до точки N 2,8 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  x 2  3 y 2   i  xy  j  z  k вдоль
 x  cos t ,

контура L :  y  sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
 z  tg sin t 





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a   yz  4 z i  xzj  xyk по контуру
 x 2  y 2  z 2  1,
непосредственно и по формуле Стокса.
 z  x,
Задание
10.
Показать
потенциальность




1
a
yz  i  xz  j  xy  k . Найти его потенциал.
cos 2  xyz
dF
gradu .
Задание 11. Доказать, что grad F u x , y , z  
du
 :


векторного
поля
Вариант 30.
Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой  ,
 x  x(t )

заданной параметрически  :  y  y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению
 z  z (t )

параметра t  t 0 :
 xt

t0  0 .
 :  y  sin 2 t ,
U ( x, y, z)  arctg ( x 2  y 2  z 2 ) ,
 z  cos 2 t

Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня
для заданных значений U ( x, y, z ) :
z
,
U  1, 2 .
U ( x, y , z ) 
2
2 1/ 2
arctg x  y
Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a  {P, Q, R} :


a  x2  y  z  i  x  y2  z  j  x  y  z 2  k .
Задание 4. Найти поток векторного поля a  x  z  i  y  z  j  z 8  k через
а) полную
поверхность
тела,
ограниченного
поверхностями
x2  y2  4 ,
z 2  x2  y2 ;
б) часть поверхности z 2  x 2  y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней
нормали.
Задание 5. Найти поток векторного поля a  x  i  2 y  j  z  k через плоскость
P : x  3 y  6 z  6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с
осью Oz).
Задание 6. Найти поток векторного поля a  xz  i  zy  j  z 2  k через часть поверхности
z  x 2  y 2 , заключенной между плоскостями z  4, z  9 , в направлении внешней
нормали.
y
Задание 7. Найти работу силы F   i  x 2  j , при перемещении материальной точки
x
вдоль линии L : y  ln x от точки M 1,0 до точки N e,1 .
Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a  z 2  i  x 2  y 2   j  z  k вдоль контура
 x  cos t ,

в направлении, соответствующем возрастанию параметра t .
L :  y  sin t ,
 z  0,5  4 cos t  2 sin t





Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a  yz  i  xy  j  y x  4   k по контуру
2 x  3 y  z  6,
 :
непосредственно и по формуле Стокса.
 x  0, y  0, z  0,
Задание
10.
Показать
потенциальность
векторного
поля

 1 z   1 x   1 y 
a    2   i    2   j    2   k . Найти его потенциал.
x z 
y x 
z y 
 


Задание 11. Найти grad r , a r  , где r - радиус-вектор точки, a - вектор, зависящий

только от модуля вектора r .