ПОВОРОТ ВЕКТОРА, ОТРАЖЕНИЕ ВЕКТОРА ⃗ . Чтобы получить из него Как сделать вектор единичным. Пусть задан вектор 𝑉 ⃗ на его вектор единичной длины 𝜐, имеющий то же самое направление, нужно поделить 𝑉 длину 𝜐= ⃗ 𝑉 . ⃗| |𝑉 ⃗ задан своими координатами 𝑉 ⃗ = (𝑎, 𝑏). Поворот вектора на 90°. Пусть вектор 𝑉 ⃗ ′, повернутого на 90°, нужно поворачивать вектор 𝑉 ⃗ Чтобы найти координаты вектора 𝑉 вместе с содержащей его коробкой. 𝑏 ⃗ 𝑉 ⃗′ 𝑉 𝑎 𝑎 −𝑏 ⃗ ′ = (−𝑏, 𝑎), то есть поворот на 90° против часовой стрелки Из рисунка видно, что 𝑉 осуществляется преобразованием координат 𝑎 −𝑏 ( )→( ) 𝑏 𝑎 То же самое преобразование можно осуществить с помощью матрицы (0 −1) 1 0 0 −1 𝑎 −𝑏 )( ) = ( ) 𝑏 1 0 𝑎 ( ⃗ задан своими Поворот вектора на произвольный угол. Пусть вектор 𝑉 ⃗ = (𝑎, 𝑏), повернем его на угол 𝛼. Сначала запишем 𝑉 ⃗ в виде координатами 𝑉 ⃗V = 𝑎 (1) + 𝑏 (0). 0 1 При повороте на угол 𝛼 вектор (1) по определению косинуса и синуса переходит в вектор 0 ( cos 𝛼 − sin 𝛼 ), а перпендикулярный ему вектор (0) в повернутый на 90°, то есть в ( ). sin 𝛼 1 cos 𝛼 ⃗′ Таким образом, после поворота мы получаем повернутый вектор 𝑉 ⃗V′ = 𝑎 (cos 𝛼 ) + 𝑏 (− sin 𝛼), sin 𝛼 cos 𝛼 имеющий координаты ⃗V ′ = (𝑎 cos 𝛼 − 𝑏 sin 𝛼 ). 𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼 Это же преобразование можно осуществить с помощью матрицы 𝑅𝛼 = (cos 𝛼 − sin 𝛼) sin 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼) (𝑎) → (𝑎 cos 𝛼 − 𝑏 sin 𝛼) ( sin 𝛼 cos 𝛼 𝑏 𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼 Матрица 𝑅𝛼 называется матрицей поворота. При 𝛼 = 90° получаем известную нам матрицу поворота на 90° 𝑅90° = ( 0 −1 ). 1 0 Отражение вектора. Пусть частица абсолютно упруго соударяется с кривой. Тогда, как при отражении светового луча, угол падения равен углу отражения. При этом величина скорости частицы не меняется ⃗ ′ | = |V ⃗ |. |V ⃗ и 𝑉 ⃗ ′ порождают ромб. Поскольку угол падения равен углу Из-за этого векторы 𝑉 отражения, единичный нормальный вектор 𝑛⃗ делит угол ромба пополам. Диагональ ромба, проходящая через точку отражения, тоже делит этот угол пополам, поэтому она направлена вдоль нормали. 𝑛⃗ ⃗′ 𝑉 ⃗ 𝑉 ⃗ ′ получается из вектора 𝑉 ⃗ вычитанием На рисунке видно, что отраженный вектор 𝑉 ⃗ на единичный вектор нормали 𝑛⃗ (на рисунке эта проекция удвоенной проекции вектора 𝑉 ⃗ ⋅ 𝑛⃗)𝑛⃗, поэтому обозначена зеленой стрелкой). Эта проекция вычисляется по формуле (𝑉 ⃗′=𝑉 ⃗ − 2(𝑉 ⃗ ⋅ 𝑛⃗)𝑛⃗ 𝑉 Этот закон отражения в векторной форме можно применять и при абсолютно упругом соударением частиц с отражающей поверхностью и при отражении световых лучей от зеркальной поверхности. Он работает и на плоскости при отражении от кривой и в пространстве при отражении от поверхности. Стоит сказать, что выбор единичного вектора нормали 𝑛⃗ неоднозначен. В каждой точке кривой или поверхности существует два таких противоположных вектора. Формула отражения одинаково хорошо работает при выборе любого из них.