О разрешимости системы нелинейных уравнений равновесия

УДК 539.3
О РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
РАВНОВЕСИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО
С ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ
С. Н. Тимергалиев
Камская государственная инженерно- экономическая академия,
Набережные Челны, Россия
Изучается разрешимость геометрически нелинейных, физически линейных краевых
задач для пологих анизотропных неоднородных оболочек с жестко защемленными краями
в рамках сдвиговой модели С. П. Тимошенко. Полученные в работе результаты являются
развитием [1], в которой разрешимость краевых задач была доказана при более жестких
ограничениях на физико-геометрические характеристики оболочки и на внешние силы,
действующие на оболочку.
1. Постановка задачи. Введение понятия обобщенного решения задачи.
Рассмотрим уравнения равновесия упругих пологих анизотропных неоднородных
оболочек типа Тимошенко:
i
( DT i )    DG
T   Ri  0, i  1, 2,
( DT  w3  )   ( DT  3 )   DB T   R3  0,
(1)
i
( DM i )    DT i3  DG
M   N i  0, i  1, 2,
где T ij – усилия, M
ij
– моменты, R j ( j  1, 3) , N i (i  1, 2) – внешние силы,
0
1
– компоненты деформаций [2, с. 168-170, 269]:
 kn
,  kn
0

 0jj  w j j  G jj w  B jj w3  w32 j / 2( j  1, 2),  12
 w1 2  w21  2G12
w  2 B12 w3  w31 w3 2 ,
 1jj  v j  Gjj v ,  121  1  2  2G12  ,  0j 3  w3  j ( j  1, 2),  330   1j 3  0 ( j  1,3),
j
2
1
j
wi (i  1, 2) и w3 – тангенциальные и нормальное перемещения точек срединной
поверхности S 0 оболочки, vi (i  1, 2) – углы поворота нормальных сечений, Bij –
составляющие тензора кривизны S 0 , Gijk – символы Кристоффеля,  1 ,  2 – декартовы
координаты точек плоской ограниченной области  с границей Г, гомеоморфной S 0 ,
1
 ij  B ijkn kn ( i  j , k  n , i, j , k , n  1, 3 ) – определяющие соотношения,  kn   kn0   3 kn
,
2h  const – толщина оболочки.
Край оболочки предполагается жестко защемленным:
w j |Г  vk |Г  0 , j  1, 3 , k=1,2.
(2)
Краевую задачу (1), (2) будем изучать в обобщенной постановке. Будем
предполагать выполненными следующие условия: 1) квадратичная форма B knqs kn qs
положительно определена во всем объеме, занятом оболочкой; 2) Ω – односвязная область
с кусочно-гладкой границей Г класса C 1 (0    1) ; 3) внешние силы R k , N j  L p () ,
p  2 , j  1, 2, k  1,3 ; 4) характеристики упругости B1111, B1212 и якобиан D имеют
частные производные первого порядка по  1,  2 , принадлежащие пространству C () ,
а остальные B ijkn и Gijk , Bij – частные производные первого порядка, ограниченные в  ;
5) якобиан D  D( 1 , 2 )  0 в  .
Определение. Будем говорить, что вектор обобщенных перемещений
а=( w1 , w2 , w3 , 1 , 2 ) есть обобщенное решение задачи равновесия (1), (2), если
a Wp(2) (), p  2 , почти всюду удовлетворяет системе (1) и поточечно граничному
условию (2) ( W p( 2) () – пространство Соболева).
2. Исследование задачи (1), (2). Метод исследования заключается в следующем.
Система уравнений (1) при помощи специальных интегральных представлений для
тангенциальных перемещений и углов поворота, удовлетворяющих граничным условиям
(2), сводится к одному нелинейному дифференциальному уравнению в частных
производных второго порядка относительно нормального перемещения, разрешимость
которого устанавливается с использованием принципа сжатых отображений.
Для вывода интегральных представлений тангенциальных перемещений и углов
поворота рассмотрим неоднородные уравнения Коши-Римана для функций 1  1( w0 ) ,
2  2 ( ) , w0  (w1, w2 ) ,   (1, 2 ) :
 j
в которых  j   1j  i 2j
  j , j  1, 2 ,
(3)
z
– комплексные функции, принадлежащие пространству L p () ,
p>2, которые временно считаем известными; дифференциальные операторы  j f даются
формулами  j f  D[ Dm1111
( f11  f 2 2 )  iDm1212
( f 21  f1 2 )], m j  1  (1) j 1 ,
j
j
h
Dmijkn

B
ijkn
f  ( f1 , f 2 ),
( 3 ) m d 3 , m  0,2 .
h
Решая (3) относительно w0 ,  , получаем
 0j ( z)   j ( z)  iTd m j [ j  T j ] , j = 1,2, 10  w2  iw1 ,  20   2  i 1 ,
(4)
 j ( )
dd ,     i , d m j [ f ]  d m1 j f  d m2 j f ,  j (z ) ,  j (z ) –

   z
произвольные голоморфные функции, принадлежащие соответственно пространствам
C () и C1 () ,   ( p  2) / p , d mk j – известные функции.
где
T j  
1
Определяя голоморфные функции  j (z ) ,  j (z ) так, чтобы тангенциальные
перемещения w0 и углы поворота  , определенные формулами (4), удовлетворяли
граничным условиям (2), получаем искомые интегральные представления для w0 ,  и их
производных:
 0j ( z )  K j 0 (  j )( z ),  0j z  K j1 (  j )( z ) ,  0jz  K j 2 (  j )( z ),
 0j z z   j1 (  j ),  0j zz   j 2 (  j ),  0jzz   j 3 (  j ) , j  1,2,
(5)
где K jn (  j ) , Pjk (  j ) – линейные интегральные операторы в L p () , p>2.
Систему (1) решаем относительно тангенциальных перемещений w1, w2 и углов
1,  2 , считая прогиб w3 временно известным. С этой целью в (1) вместо
w j ,  j ( j  1,2) и их производных подставим выражения по формулам (5). В результате
система (1) без третьего уравнения сведется к системе четырех линейных сингулярных
интегральных уравнений по области  относительно комплексной вектор-функции
  ( 1 ,  2 ) вида
  P(  )  K (  )  H ( w3 ),
(6)
где K (  ) суть линейный вполне непрерывный, а P(  ) – линейный ограниченный
интегральные операторы в L p () , p>2, причем P(  ) L  q p  L . Предположим, что
p
p
выполнено условие
q p  1.
(7)
Тогда уравнение (6) разрешимо и его единственное решение дается формулой
  ( I  K 0 ) 1 H 0 (w3 ), K 0 (  )  ( I  P) 1 K (  ), H 0 (w3 )  ( I  P) 1 H (w3 ).
(8)
Подставив (8) в (5), получим явные выражения для тангенциальных перемещений и
углов поворота через нормальное перемещение. Внося эти выражения в третье уравнение
системы (1), получим
a11w3 1 1  2a12 w3 1 2  a 22 w3 2 2  P3 ( w3 )  K 3 ( w3 )  G3 ( w3 )  F 3 ,
(9)
где P3 ( w3 ) и K 3 ( w3 ) – линейные соответственно ограниченный и вполне непрерывный, а
G3 ( w3 ) – нелинейный ограниченный операторы из W p( 2) () в L p (), p  2 , F 3  L p (),
p  2 и aij  C () – известные функции, зависящие от внешних сил и упругих
характеристик оболочки. Пусть тангенциальные внешние силы R i (i  1,2) и упругие
характеристики D0 3 3 (,   1,2) в  удовлетворяют условию
2
(10)
a11a22  a12
  0  0,  0  const.
Следуя [3, c. 266-267], решение уравнения (9), удовлетворяющее условию (2), ищем в виде
w3 ( z )   H ( , z )  3 ( )dd ,     i ,
(11)

где  3 – вещественная функция пространства L p (), p  2; H ( , z ) – гармоническая
функция Грина для единичного круга.
Представление (11) подставим в уравнение (9). С учетом условия (10) получим
нелинейное сингулярное интегральное уравнение по области  относительно  3
следующего вида
3  P30 ( 3 )  K 30 ( 3 )  G30 ( 3 )  F3 ,
(12)
где P30 (  3 ) и K 30 (  3 ) – линейные соответственно ограниченный и вполне непрерывный, а
G30 ( 3 ) – нелинейный ограниченный операторы в L p (), 2  p  2   , причем для
оператора P30 (  3 ) имеем P30 (  3 )
Lp
 p30  3
Lp
. Здесь   0 – некоторое достаточно
малое число.
Предположим, что выполняются условия
p30  1,

 T0

где T0 – усилия, соответствующие
эквивалентному
w3  w3  d  0 ,
(13)
w3  0 . Тогда уравнение (12) сведется к
3  G3* ( 3 )  F3* ,
где
G3* (  3 )
любых
(14)
– нелинейный ограниченный оператор в L p (), 2  p  2   , причем для
 3j  L p () , 2<p  2   , принадлежащих шару
G3* ( 31 )  G3* ( 32 )
Lp
 g3*r (1  r ) 31  32
Lp
3
Lp
 r,
имеет
место
, где g 3* – известная постоянная, зависящая от
физико-геометрических характеристик оболочки.
Пусть радиус r шара и внешние силы, действующие на оболочку таковы, что имеют
место неравенства
q*  g 3*r (1  r )  1 , F3*
Lp
 (1  q * )r .
(15)
В этих условиях к уравнению (14) можно применить принцип сжатых отображений
[4, c. 146], согласно которому уравнение (14) в шаре  3 L  r имеет единственное
p
решение  3  L p () , 2<p  2   .
Таким образом, доказана следующая основная теорема.
Теорема. Пусть выполнены условия (1)-(5) п. 1 и неравенства (7), (10), (13), (15).
Тогда задача равновесия для пологих упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко с
жестко защемленными краями в шаре радиуса r пространства Wp(2) () , 2  p  2  
имеет единственное обобщенное решение a  ( w1 , w2 , w3 , 1 , 2 ) .
Примечание. В случае изотропных однородных оболочек типа Тимошенко
q p  p30  0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимергалиев С.Н. К вопросу о разрешимости краевых задач нелинейной теории
пологих оболочек типа Тимошенко // Ученые записки Казанского государственного
университета. – 2008. – Т. 150. – Кн. 1. – С. 115–123.
2. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. – Казань: Изд-во КГУ,
1975. – 326 с.
3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука,1988. – 512 с.
4. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных
уравнений. – М.: Гостехиздат, 1956. – 392 с.