ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ТАЙНЫ КОРИОЛИСОВОЙ СИЛЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ТАЙНЫ КОРИОЛИСОВОЙ СИЛЫ
Канарёв Ф.М.
kanarevfm@mail.ru
Анонс. Кориолисово ускорение и кориолисова сила инерции – самые сложные для понимания физические характеристики точки при её сложном движении. Представляем анализ
кинематического и меходинамического процессов формирования указанных характеристик.
1. Кинематика сложного движения материальной точки
Во многих задачах механики целесообразно, а иногда и необходимо рассматривать
движение точки сразу относительно двух систем отсчета, одна из которых X 0Y0 Z 0
неподвижна, а вторая XYZ движется относительно первой определенным образом (рис. 1)
[1].
Рис. 1. К описанию сложного движения точки М
при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
Движение точки М по отношению к подвижным осям координат XYZ называется
относительным, траектория этого движения - относительной траекторией, скорость V r относительной скоростью, и ускорение a r - относительным ускорением.
Движение, совершаемое подвижной системой отсчета XYZ и неизменно связанной с
ней точкой М по отношению к неподвижной системе X 0Y0 Z 0 является для точки М
переносным движением.
Скорость точки М , неизменно связанной с подвижными осями XYZ , называется переносной скоростью V e , а ускорение - переносным ускорением a e .
Движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе отсчета,
называется абсолютным движением, скорость - абсолютной скоростью V , а ускорение абсолютным ускорением a . Рассмотрим вначале самый простой случай, когда подвижная
система отсчета XYZ движется поступательно (рис. 1). Движение подвижной системы отсчета считается переносным движением, данном случае - поступательным переносным
движением [1].
2
Теорема сложения скоростей при поступательном
переносном движении подвижной системы отсчета
Теорема: При поступательном переносном движении абсолютная скорость V точки М
равна геометрической сумме переносной V e и относительной V r скоростей [1].
V  V e V r
(1)
Из векторного треугольника O0 OM на рис. 1 для радиуса – вектора точки
М относительно неподвижной системы отсчёта имеем
ra  re  rr .
(2)
Разложим вектор r r на составляющие по осям, имеем
r a  r e  xi  y j  z k .
(3)
Так как оси XYZ параллельны осям X 0Y0 Z 0 то, дифференцируя составляющие этого уравнения, характеризующие поступательное движение, по времени, имеем [1]
d r a d r e dx
dy
dz

  i   j   k.
dt
dt
dt
dt
dt
(4)
В этой формуле:
dra
V ;
dt
dre
Ve;
dt
dx
dy
dz
i 
 j  k V r.
dt
dt
dt
Подставляя результаты в уравнение (4), получим V  V e  V r (1). Теорема доказана.
Теорема сложения ускорений при поступательном переносном движении
подвижной системы отсчета
Теорема: При поступательном переносном движении подвижной системы отсчета
абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e и
относительного a r ускорений [1].
(5)
a  ae  ar .
Дифференцируя уравнение (4) второй раз, имеем
d 2 ra d 2 re d 2x
d2y
d 2z



i


j

 k.
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
В этой формуле:
d 2ra
a ;
dt 2
d 2re
 ae ;
dt 2
d 2x
d2y
d 2z

i


j

 k  ar .
dt 2
dt 2
dt 2
(6)
3
Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (4), имеем
a  a e  a r (5). Теорема доказана.
Теорема сложения скоростей при непоступательном переносном движении
подвижной сиситемы отсчета
Теорема: при непоступательном переносном движении абсолютная скорость V точки
М равна геометрической сумме переносной V e и относительной V r скоростей
V  V e  V r . Из векторного треугольника O0 OM (рис. 2) имеем [1]
ra  re  rr .
(7)
Так как переносное движение непоступательное, то единичные векторы i, j , k также
переменные величины [1].
r a  r e  xi  y j  z k .
(8)
Рис. 2. К описанию сложного движения точки М при непоступательном
переносном движении подвижной системы отсчета
Обратим внимание на уравнение (8). Оно представляет собой сложную функцию с
независимыми переменными r e , x, y, z, i, j , k которые являются функциями времени t .
Поэтому при дифференцировании уравнения (8) необходимо определять частные
производные. Однако, чтобы упростить процедуру дифференцирования, будем считать
функцию r a суммой переменных, зависимых от t и будем определять не частные, а
обычные производные [1].
После дифференцирования уравнения (8) с учетом того факта, что в этом случае
i, j , k - величины также переменные, имеем
dra dre
di
dj
d k dx
dy
dz

x y
z
  i   j   k.
dt
dt
dt
dt
dt dt
dt
dt
(9)
В этой формуле
dra
 V -абсолютная скорость.
dt
(10)
4
Переносную скорость V e движения подвижной системы отсчета определят: производная, фиксирующая движение начала О подвижной системы отсчета. Это производные
от орт i, j , k , фиксирующие вращение этой системы в пространстве
Ve 
dre
di
dj
dk
.
x y
z
dt
dt
dt
dt
(11)
Производные по времени от координат x, y, z подвижной системы отсчета дают
относительную скорость V r .
dx
dy
dz
i 
 j  k V r.
dt
dt
dt
(12)
После подстановки полученных данных в исходное уравнение (8), имеем
V  V e  V r теорема доказана [1].
Теорема сложения ускорений при непоступательном переносном движении
подвижной системы отсчета
Теорема: При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета
абсолютное ускорение a точки М равно геометрической сумме переносного a e ,
относительного a r и кориолисова a k ускорений
a  ae  ar  ak .
(13)
Учитывая, что x, y, z и i, j , k - величины в этом случае переменные, и дифференцируя
уравнение (9) по времени второй раз последовательно: вначале переменные r e , i, j , k ,
которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем - переменные
x, y, z , которые характеризуют относительное движение, имеем
d 2ra d 2re d 2i
d2 j
d2k



x


y

z
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dx d i dy d j dz d k dx d i dy d j dz d k
  

 
  

 

dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
d 2x
d2y
d 2z
 2  i  2  j  2  k.
dt
dt
dt
(14)
В этой формуле:
d 2ra
;
dt 2
(15)
d 2 re d 2i
d2 j
d2k


x


y

 z;
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
(16)
a
ae 
ar 
d 2x
d2y
d 2z

i


j

 k;
dt 2
dt 2
dt 2
(17)
5
 dx d i dy d j dz d k 
.
a k  2   
 

 dt dt dt dt dt dt 
(18)
Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (14), окончательно
получим
(19)
a  ae  ar  ak
.
Здесь: a k - ускорение, установленное французским профессором механиком
Кориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.
Придерживаясь принципа последовательности, видим, что в выражении
 dx d i dy d j dz d k 

a k  2   
 

dt
dt
dt
dt
dt
dt


(20)
для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета
X 0Y0 Z 0 , важны в
первую очередь те составляющие, которые характеризуют переносную часть движения.
Это составляющие:
di d j d k
(21)
,
,
.
dt dt dt
В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета XYZ в пространстве. Следовательно, эти составляющие мы можем заменить вектором угловой переносной скорости  e , с которой вращается подвижная система
отсчета. Составляющие же
dx dy dz
, ,
,
(22)
dt dt dt
соответствуют вектору относительной скорости V r точки М . Учитывая это и опуская
преобразования в скобке выражения (20), можем записать его так
a k  2( e  V r ).
(23)
Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение
направления вектора переносной угловой скорости  e (ввиду того, что орты i, j , k , входящие в выражение (20), переменны по направлению), а также изменение модуля и
направления вектора относительной скорости V r точки М .
Обратим внимание на то, что в процессе вывода (14-22) формулы кориолисова
ускорения (23) физический смысл появления множителя 2 в формуле (23) остался в тумане – не до конца понятным [1].
2. Определение модуля и направления кориолисова ускорения
a k  2( e  V r ).
(24)
Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

a k  2eVr sin(  e V r ).
(25)
6

Если ( e V r )   то
a k  2eVr sin  .
(26)
Для определения направления вектора кориолисова ускорения a k надо спроектировать вектор V r относительной скорости точки М на плоскость, перпендикулярную вектору  e (оси переносного вращения), и полученную проекцию повернуть в сторону этого
вращения на 90 0 . Полученное таким образом направление совпадает с направлением
вектора a k (рис. 2, 3 и 4). Если точка М движется в плоскости, перпендикулярной оси
переносного вращения (вектору  e , то sin   sin 90 0  1 и формула (26) становится такой
(27)
ak  2eVr .
Рис. 3. К определению направления вектора
кориолисова ускорения при движении точки в пространстве
Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:
1.  e - переносное движение поступательно или когда в данный момент  e  0.
2. Vr  0 - относительная скорость в данный момент равна нулю.
3. Когда   0 или   180 0 , то есть когда вектор V r параллелен вектору  e .
А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально
вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров V e и a k кориолисово
ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно
выполняет функции замедления b k (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления
вектров переносной V e и относительной скоростей V r материальной точки, движущейся
вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4.
Рис. 4. Примеры определения направления векторов a k и b k для точки М
7
3. Механодинамика сложного движения материальной точки
Итак, из кинематики известно (13), что в общем случае абсолютное ускорение точки равно (рис. 5) [1]
a  ae  ar  ak ,
(28)
где a e , a r , a k - переносное, относительное и кориолисово ускорения точки M
соответственно (рис. 5).
Рис. 5. Схема сил, действующих на ползун М
Однако, надо иметь в виду, что кинематическое уравнение (28) получено без учета
массы точки и сил, действующих на неё, поэтому при рассмотрении механодинамики
сложного движения точки, это уравнение (28) становится неполным, так как не учитывает
замедления, генерируемые силами инерции [2].
С учетом изложенного необходимо к ускорениям, действующим на точку при её
сложном движении, добавить замедления движения точки, которые будут формироваться
силами инерции. Замедления b , также как и ускорения a , - величины векторные.
Переносное ускорение a e будет формировать переносную силу инерции F ie , которая будет замедлять движение точки в её переносном движении. Обозначим это замедление так bie .
Относительное ускорение a r будет формировать относительную силу инерции
F ir . Она тоже будет замедлять относительное движение точки. Обозначим это замедление символом bir .
Так как кориолисова сила F имеет инерциальную природу, то она тоже формиik
рует замедление b ik , направление которого совпадает с направлением вектора кориолисовой силы. Из этого следует ошибочность существовавшего до этого представления о
том, что кориолисова сила инерции F равна произведению массы точки на кориолисово
ik
ускорение a k и направлена противоположно этому ускорению. Из изложенного следует,
что кориолисово ускорение a k и кориолисово замедление b ik направлены в противоположные стороны.
Кроме перечисленных сил, на точку в сложном движении действуют другие силы
сопротивления, которые также формируют замедление её движению. Обозначим резуль-
8
тирующую этих сил так F C , а результирующее замедление, формируемое другими силами сопротивления, через bC . Тогда уравнение ускорений и замедлений, действующих на
материальную точку в её сложном движении, в общем виде запишется так [2]
a  a e  bie  a r  bir  bik  bc .
(29)
Обратим внимание на то, что в правой части этой формулы все ускорения и замедления поставлены со знаками плюс (+). Эта условность обусловлена сложностью определения направлений относительных и переносных ускорений и замедлений в общем случае. Знаки у этих составляющих появляются лишь в их проекциях на оси координат и мы
увидим их в последующих формулах.
Уравнение сил, действующих на материальную точку в её сложном движении,
принимает вид
(30)
ma  ma e  mbie  ma r  mbir  mbik  mbc .
Из этого следует
F  F e  F ie  F r  F ir  F ik  F c .
(31)
Тогда общее уравнение механодинамики движения материальной точки относительно подвижной системы отсчёта становится таким (рис. 5)
F r  m  a r  F ir  F e  F ie  F ik  F c
(32)
Итак, общие уравнения сил, действующих на материальную точку при её сложном
(31) и относительном (32) движениях, составлены. Учитывая, что проекции относительного ускорения a r точки на подвижные оси координат равны:
a rx 
d 2x
;
dt 2
d 2z
dt 2
(33)
 Firx  Fex  Feix  Fikx  Fcx ;
(34)
 Firy  Fey  Feiy  Fiky  Fcy ;
(35)
 Firz  Fez  Feiz  Fikz  Fcz ;
(36)
ary 
d2y
;
dt 2
arz 
и проектируя векторное уравнение (32) на эти оси, имеем:
m
m
d 2x
dt 2
d2y
dt 2
m
d 2z
dt 2
Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в
координатной форме. Следующий этап – использование этого уравнения для частных
случаев относительного движения материальной точки. Таких случаев может быть несколько, но мы не будет составлять уравнения для каждого из них, а лишь перечислим эти
случаи (рис. 5).
1-ускоренные переносное и относительное движения точки;
2-ускоренное переносное и равномерное относительное движение точки;
3-ускоренное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;
9
4-равномерное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной
точки;
5-равномерное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;
6-рвномерное переносное и замедленное относительное движение материальной точки;
7-замедленное переносное движение и ускоренное относительное движение материальной
точки;
8-замедленное переносное и равномерное относительное движение материальной точки;
9-замедленное переносное и замедленное относительное движение материальной точки.
Кроме этого подвижная система отсчёта может двигаться поступательно или криволинейно. Каждый из указанных случаев описывается отдельным уравнением (рис. 5):
1- подвижная система XOY движется поступательно. В этом случае a  0 и
k
F  0 , поэтому в общем виде имеем
ik
F r  m  a r  F ir  F e  F er  F c
(37)
2 - подвижная система XOY движется поступательно, прямолинейно и равномерно.
В этом случае: a e  0 и F e  0 , поэтому
F r  m  a r  F ir  F c
(38)
3) если точка под действием приложенных к ней сил находится в покое относительно подвижной системы отсчета, то уравнение сил, действующих на точку относительно неподвижной (абсолютной) системы отсчёта запишется так
F  F e  F ie  F c  0 .
(39)
Составим уравнения сил, действующих на ползун, движущийся по вращающемуся стержню в горизонтальной плоскости так, как показано на схеме (рис. 5). Прежде
чем приступать к схематическому показу сил, действующих на ползун (рис. 5), обратим
внимание на связь между вращательным (переносным) движением и линейным (относительным) движением ползуна вдоль стержня. Совокупность этих движений значительно
отличается от перемещения, например, пассажира вдоль движущегося трамвая. Пассажир
может менять свою относительную скорость Vr произвольно, а ползун лишён такой возможности. Его переносная Ve и относительная Vr скорости также связаны друг с другом.
Такая же связь и у сил, действующих на ползун. Поэтому, составляя схему сил, действующих на ползун, обязательно надо учитывать указанную взаимосвязь между его переносным и относительным движениями (рис. 5) [2].
С учётом изложенного, тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 5) показывает, что на него действуют следующие силы: переносная сила F e , вектор которой
направлен по нормали к стержню в сторону движения и равен нормальной реакции N
стержня на ползун; сила трения F T направлена противоположно движению ползуна относительно стержня и связана с нормальной реакцией N через угол трения T и коэффициент трения FT  fN . Результирующая сила R T силы трения F T и нормальной реакции
N образуют угол трения T (рис. 5) [2].
Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси OX )
лишь тогда, когда вектор результирующей силы R T отклонится от нормали N на угол
немного больший угла трения T в сторону относительного движения ползуна. Превышение угла отклонения результирующей R T от угла трения T (рис. 5) настолько незначи-
10
тельно, что отклонение результирующей R T от нормали N в момент начала ускоренного
движения ползуна можно принимать равным углу трения T . Направление абсолютного ускорения a , совпадает с направлением вектора результирующей силы R T .
Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения F T
соответствующей коэффициенту трения f , который связан с углом трения зависимостью
f  tgT . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением  e результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения. Обозначим её через R T (рис. 5). Но как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения F T прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы
обозначили символом R T , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом R (рис. 5). Её проекция Fr на ось ОХ является активной относительной силой, формирующей относительное ускорение ar .
А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости  e от нуля до постоянной величины
e  const , вторая – увеличением радиуса, равного переменной координате x . Так как в
этом случае две переменные  e и x , то математическая модель для определения полного относительного ускорения имеет вид
ar 
dVr d (e  x ) de
dx


 x  e 
  e x  eVr .
dt
dt
dt
dt
(41)
Таким образом, из формулы (41) следует, что при ускоренном вращении стержня
полное относительное ускорение ползуна состоит из двух составляющих ar  a1r  a2r .
Первая составляющая a1r   e x - генерируется переменной угловой скоростью  e , а вторая a2r  eVr - переменной угловой скоростью и переменной относительной скоростью. Обратим внимание на то, что вторая составляющая a2r  eVr равна половине так
называемого кориолисова ускорения ( ak  2eVr ).
При постоянной угловой скорости e  const полное относительное ускорение ar
также увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты x . Действие стержня на ползун передаётся
через нормальную реакцию N стержня, которая равна активной переносной силе F e .
Кроме этого, переменная величина F e формирует переносную силу инерции, направленную противоположно. Это – кориолисова сила инерции F ik (рис. 5). Так как любая сила
инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы
инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление b переносного
k
движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы
F ik инерции (рис. 5). Так как кориолисову силу инерции формирует только активная переносная сила F e и не формирует реакция связи N , то модуль кориолисова замедления
равен половине модуля полного относительного ускорения (41).
bk  eVr .
(42)
11
Обратим внимание на то, что математическая модель бывшего кориолисова ускорения записывается так
(43)
a  2eVr .
k
Это в два раза больше замедления (42). Возникает законный вопрос: какая из математических моделей (42) или (43) точнее отражает реальность? Чтобы получить ответ
на этот вопрос надо вернуться к принципу причинности, согласно которому сила первична, а ускорение вторично. Поэтому надо составить уравнения сил, действующих на ползун, и из этих уравнений должен следовать ответ на поставленный вопрос.
При ускоренном движении материальных точек и тел сила инерции F ir направлена
противоположно движению и формирует относительное замедление b r этого движения.
Поскольку в соответствии с главным принципом механодинамики в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции,
действующих на ползун, равна нулю, то векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид
R  R i  F T  0  ma  mb  f N  0 .
(44)
Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:
 Fx  Fr  Fir  FT  0  mar  mbr  fmeVr ;
(45)
 Fy  Fe  N  Fik  0  meVr  meVr  mbk .
(46)
Преобразуем уравнение (46) таким образом
 Fy  Fe  N  Fik  0  meVr  meVr  mbk .  2meVr  mbk .
(47)
Итак, сумма проекций сил на ось ОУ (47), действующих на ползун, состоит из двух
составляющих. Первая составляющая 2meVr равна сумме переносной активной силы
Fe , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции N
стержня на ползун. Это две силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно 2eVr , что полностью совпадает с давно используемым кориолисовым ускорением (43).
Далее, направление вектора суммы 2eVr ускорений, генерируемых переносной
активной силой Fe и нормальной реакцией N стержня на ползун, совпадает с давно принятым направлением вектора, так называемого, кориолисова ускорения (43). Напомним,
что в данном случае направление вектора бывшего кориолисова ускорения (43) определяется поворотом вектора относительной скорости V r в сторону вращения (рис. 4).
Давно условились силы инерции направлять противоположно ускорениям. На рис.
5 кориолисова сила инерции F направлена противоположно нормальной реакции N , а
ik
значит и противоположно ускорению 2eVr , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами Fe и N . Она не имеет
никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение
12
движения ползуна, а его замедление b , вектор которого совпадает с направлением коk
риолисовой силы инерции F (рис. 5).
ik
Таким образом, мы оказались в противоречивой ситуации. С одной стороны суммарное ускорение 2eVr генерируется активной силой Fe и реакцией связи N , приложенными к ползуну и направленными в сторону его переносного движения, а с другой
стороны - сумма этих ускорений 2eVr давно названа кориолисовым ускорением, яко бы
принадлежащим кориолисовой силе инерции, которая по своей природе генерирует не
ускорение, а замедление материальных точек и тел при их ускоренном движении. Из этого следует, что направление действия кориолисовой силы инерции определяется правильно (рис. 5), но модуль его вычисляется неправильно. Произведение массы m ползуна на
ускорение его движения 2eVr равно не кориолисовой силе инерции F (рис. 5), а сумik
марной силе ( Fe  N ), действующей на ползун в переносном движении. Модуль кориолисовой силы инерции F , замедляющей переносное движение ползуна, равен произвеik
дению массы m ползуна на замедление b , генерируемое кориолисовой силой инерции
k
F  mb  meVr , направленной противоположно переносному движению ползуна
ik
k
(рис. 5).
Конечно, в изложенном выше трудно понимать причину сложения активной переносной силы Fe и реакции связи N . Но без этого не появляется двойка в выражении (43)
бывшего кориолисова ускорения. Однако, если представить, что ползун удаляется от центра на удлиняющейся гибкой нити, вращающейся относительно центра, то в такой схеме
будет отсутствовать реакция N стержня на ползун и останется одна активная переносная
сила Fe . Этот пример позволяет считать, что при движении ползуна по жёсткому стержню на него действуют в переносном движении две силы ( Fe  N ). В этом случае численная величина бывшего кориолисова ускорения (43) остаётся прежней. Если же убрать силу N , то численная величина бывшего кориолисова ускорения будет в два раза меньше.
Этот факт подтверждается величиной второй составляющей полного относительного
ускорения (41).
А теперь возвратимся к анализу кинематических уравнений (1-20) и увидим, как в
аналитическом выводе бывшего кориолисова ускорения (23) и (24) прояснился физический смысл множителя 2 [2]. Это стало возможным только благодаря новым законам механодинамики [2].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Новый тщательный анализ кинематического процесса вывода математической модели
бывшего кориолисова ускорения показывает, что в рамках новых законов механодинамики это полное переносное ускорение, формируемое переносной активной силой и переносной реакцией связи точки с подвижной системой отсчёта. Оно не имеет никакого отношения к кориолисовому ускорению, так как кориолисова сила инерции, направление
вектора которой определялось правильно, формирует не ускорение, а замедление, направленное противоположно бывшему кориолисовому ускорению и имеющего модуль в два
раза меньший модуля бывшего кориолисова ускорения.
Источники информации
1. Канарёв Ф.М. Новая кинематика.
http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/734-2012-11-19-16-26-39
2. Канарёв Ф.М. Новая механодинамика.
http://www.micro-world.su/index.php/2012-02-28-12-12-13/739-2012-11-24-06-28-03