Решение тригонометрических неравенств

Тема урока: Решение тригонометрических неравенств
Урок проведён в 11«а» классе школы №4 им. Горького г.Брянска (2007 г.).
Класс работает по учебнику Колмогорова А.Н.
Урок провела: студентка 5 курса Методист: кандидат педагогических наук,
физико-математического факультета доцент кафедры методики обучения
Брянского
государственного математике и информационных технологий
университета им. И.Г.Петровского Брянского государственного университета
Плющёва Анна Владимировна.
им. Петровского Ирина Евгеньевна Малова.
Учитель: учитель высшей категории, заслуженный учитель РФ Нина Владимировна
Кусачёва.
Цели урока:
1) Выявить приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим:
рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных
преобразований; применение тригонометрических формул.
2) Выявить способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему;
введение новой переменной.
3) Научиться распознавать способы решения тригонометрических неравенств.
4) Научиться записывать ответ, если не используются табличные значения
тригонометрических функций.
5) Совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.
6) Проверить умение решать простейшие тригонометрические неравенства.
Тип урока: урок совершенствования умений.
План урока:
1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений
в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.
2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства:
а) распознавание способов решения и повторение алгоритма решения простейших
тригонометрических неравенств;
б) работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные
значения;
в) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим
тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение
неравенств;
г) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим
тригонометрическим с использованием формул приведения;
д) совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет
использования нескольких способов решения.
3. Самостоятельная работа по решению тригонометрических неравенств.
4. Постановка домашнего задания.
Ход урока:
1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств,
затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее
сложных неравенств.
Учитель: (На доске записаны решения неравенств № 7, 8, 10 из домашней карточки).
Посмотрите на решение неравенства № 7. Какие у вас есть вопросы по какому-либо
из этапов решения?
№7 sin x ≤ - cos x;
sin x + cos x ≤0;
2 (
1
sin x + 1 cos x ) ≤ 0;
2
2

2 sin (x + ) ≤ 0;
4

sin (x + ) ≤ 0;
4

 [ - π +2πn, 2πn], n  Z
4
x  [ -5π/4 + 2πn,- π/4+ 2πn], n  Z
Ответ: x  [ -5π/4 +2πn,- π/4+ 2πn], n  Z
Учитель: Тогда у меня есть несколько вопросов. Как была получена 3-я строка?
Учащиеся: Мы умножили и разделили каждое слагаемое на 2 .
Учитель: Можно ли выполнять такое преобразование неравенства?
Учащиеся: Да, это преобразование является равносильным.
Учитель: С какой целью мы так поступали?
Учащиеся: Чтобы можно было применить тригонометрическую формулу сложения –
синус суммы двух углов.
Учитель: Как иначе называется такой прием?
Учащиеся: Прием введения вспомогательного угла.
Учитель: Как догадались, что надо умножить и разделить каждое слагаемое именно на
2?
Учащиеся: 2 – это корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов в
преобразуемом неравенстве.
Учитель: Назовите неравенство, которое можно считать простейшим и аргументируйте
свой ответ.

Учащиеся: Неравенство sin (x + ) ≤ 0 можно считать простейшим, если рассматривать
4

сложный аргумент (x + ) как простой, например, t.
4
Учитель: Итак, основной идеей решения неравенства № 7 является сведение к
простейшему тригонометрическому неравенству. Давайте повторим, какие приёмы при
этом использовали?
Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление
каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла);
2) применение тригонометрической формулы,
3) рассматривали сложный аргумент как простой.
(Учитель помогает учащимся, указывая на ту или иную строчку решения).
x+
Учитель: Посмотрите на решение неравенства № 8.
№ 8 sin 2x + 3 cos 2x ≥ 1;
у
2(1/2 sin 2x + 3 /2cos 2x) ≥ 1;
2 sin (2x + π/3) ≥ 1;
π/6
sin (2x + π/3) ≥ 1/2;
π - π/6
½
2x + π/3  [π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn], n  Z;
х
x  [-π/12 + πn, π/4 + πn], n  Z;
Ответ: x  [-π/12 + πn, π/4 + πn], n  Z.
Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения? (пауза) Какие
приёмы использовали при решении этого неравенства?
Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление
каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла, деление
обеих частей неравенства на положительное число);
2) применение тригонометрической формулы,
3) рассматривали сложный аргумент как простой.
Учитель: Рассмотрите решение неравенства №10:
№10 cos2 x – 2cos x >0;
Пусть cos x = t;
t2 – 2t >0;
t (t – 2) >0;
+
+
–
0
2
t
t<0
или
t >2
cos x < 0
cos x >2
x  [π/2 + 2πn,3π/2 + 2πn], n  Z,
решений нет
Ответ: x  [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], n  Z.
Учитель: Каким методом решено неравенство №10?
Учащиеся: Методом введения новой переменной.
Учитель: К какому алгебраическому неравенству сведено тригонометрическое?
Учащиеся: К квадратному.
Учитель: Каким методом решено квадратное неравенство?
Учащиеся: Методом интервалов.
Учитель: Какое неравенство соответствует промежутку (-∞;0)?
Учащиеся: t<0
Учитель: Какое неравенство соответствует промежутку (2;+∞)?
Учащиеся:: t >2
Учитель: Почему ответ квадратного неравенства удобно записывать не промежутком, а
неравенством?
Учащиеся: Тогда легко составить тригонометрическое неравенство, вернувшись к старой
переменной
Учитель: Кто при выполнении домашнего задания испытывал какие-либо затруднения?
(учащиеся поднимают руки). Какие были затруднения? (учащиеся перечисляют
затруднения: не увидели возможность применения того или иного приема).
Учитель: Какие способы решения тригонометрических неравенств оказались
необходимыми в домашнем задании?
Учащиеся: сведение к простейшему тригонометрическому неравенству и введение новой
переменной.
Комментарий. Такая форма работы с домашним заданием (анализ готовых решений
наиболее сложных неравенств) позволяет учащимся понять, на каком этапе работы с
тригонометрическим неравенством они испытывают затруднения, в чём заключаются
затруднения, как их преодолеть. Организация учителем обобщения этапов решения
позволил достичь двух целей урока: 1) выявить приемы сведения тригонометрических
неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого: использование
равносильных преобразований; применение тригонометрических формул; 2) выявить
способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение
новой переменной.
2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства.
а). Распознавание способов решения тригонометрических неравенств и
повторение алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств.
Учитель: Перед вами записаны неравенства, которые необходимо решить сегодня на
уроке.
1.
2sin (x – π/4) ≥ 2 ;
2.
cos (3π/2 + x) < - 3 /2;
3.
cos (π + 2x) – 1 ≥ 0;
4.
sin x > 2/3;
5.
5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;
6.
4sin2 3x < 3.
Учитель: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных
преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?
Учащиеся: 1, 3, 5.
Учитель: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как
простой?
Учащиеся: 1, 2, 3, 5, 6.
Учитель: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?
Учащиеся: 2, 3, 6.
Учитель: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой
переменной?
Учащиеся: 6.
Учитель: Сейчас мы начнём решать неравенства с простейшего и научимся записывать
ответ, если не используются табличные значения. Но вначале ответьте, верно ли, что
простейшие тригонометрические неравенства можно решать по алгоритму, записанному
на доске:
Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств
1.
Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и
отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.
2.
Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т. е. выделяем
соответствующую дугу.
3.
Указываем направление отсчёта.
4.
Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.
5.
Находим угол, соответствующий концу дуги.
6.
Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.
Учитель: В таком ли порядке вы решали простейшие неравенства?
Учащиеся: Да.
Комментарий. Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения
позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять
этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме
решения простейших тригонометрических неравенств.
б) Работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются
табличные значения.
Учитель: Начнём решать с неравенства № 4.
Организация дальнейшей работы:
Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма
у
вслух.
№4
π - arcsin2/3
arcsin2/3
sin x >2/3;
½
x  (arcsin 2/3 + 2πn, π –arcsin 2/3 + 2πn), n  Z.
х
Комментарий. Акцентирование внимания на цель работы с предложенным заданием:
научиться записывать ответ, когда не используются табличные значения, способствует
успешности работы учащихся. При первоначальном формировании умения каждый шаг
алгоритма следует проговаривать вслух, поэтому работа с заданием организована
должным образом.
в) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим
тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение
неравенств.
Учитель: Каким способом будем решать неравенства № 1, 3, 5?
Учащиеся: Cведением к простейшему с помощью равносильных преобразований.
Учитель: Давайте начнём с неравенства № 5. Чем это неравенство отличается от № 4?
Учащиеся: В этом неравенстве участвует косинус; это неравенство не является
простейшим; это неравенство является нестрогим.
Учитель: Чем это неравенство похоже на предыдущее?
Учащиеся: Простейшее неравенство можно решить по тому же алгоритму, в записи
ответа не будет табличного значения.
Организация дальнейшей работы:
Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух
у
№5
-arccos1/5
5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;
cos (x – π/6) ≥ 1/5;
x – π/6  [-arccos 1/5 + 2πn, arccos 1/5 + 2πn], n  Z;
1/5
х
x  [π/6 – arccos 1/5 + 2πn, π/6 + arccos 1/5 + 2πn], n  Z.
-arccos1/5
По завершении решения учитель задает ученику, решавшему неравенство у доски,
следующие вопросы:
Учитель: Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?
Учащийся: Тогда квадратные скобки заменили бы на круглые.
Учитель: Как бы записали ответ в случае, если было дано неравенство cos (x – π/6) ≤ 1/5?
Учащийся: x  [π/6 + arccos 1/5 + 2πn, 13π/6 – arccos 1/5 + 2πn], n  Z.
Учитель: Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству
использовались?
Учащийся: Применяли равносильные преобразования (перенос слагаемых из одной части
уравнения в другую, деление обеих частей неравенства на положительное число);
рассматривали сложный аргумент как простой.
Учитель: (обращаясь к классу); есть ли вопросы или замечания к отвечающему? (ученик
отвечает на вопросы учащихся и соглашается или нет с замечаниями, затем садится на
место).
Учитель: На какое неравенство похоже неравенство №1 и чем?
Учащиеся: На неравенство № 5 способом сведения к простейшему; на неравенство № 4
расположением дуги.
Учитель: Решите устно неравенство № 1: 2sin (x – π/4) ≥ 2 .
Учащиеся: Ответ: x  [ π/2 + 2πn, π + 2πn], n  Z.
Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства
способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно
неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как
изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если
было вместо знака «>» стоял знак «<»?»; «Какие способы сведения к простейшему
тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»;
«Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы,
когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма
вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это
было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические
неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых
опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».
г) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим
тригонометрическим с использованием формул приведения.
Учитель: Рассмотрим неравенство № 2 cos (3π/2 + x)< - 3 /2. Каким способом можно
решить неравенство?
Учащиеся: Можно рассматривать сложный аргумент как простой.
Учитель: Можно ли решить это неравенство иным способом? Какие еще способы вам
известны?
Учащиеся: Можно применить формулу приведения.
Учитель: Поднимите руку, кому нужен комментарий в решении у доски? (Поднятых рук
нет). Кто хотел бы пойти к доске и решить неравенство без комментариев, показывая
образец оформления?
Желающий ученик решает неравенство у доски, не проговаривая решения:
у
cos (3π/2 + x)< - 3 /2;
sin x < - 3 /2;
Ответ: x  (- 2π/3 + 2πn,-π/3 + 2πn), n  Z.
-π + π /3
- 3 /2
-π /3
х
По завершении решения учащиеся проверяют оформление и, если необходимо,
делают замечания. После чего учитель задает отвечающему следующие вопросы:
Учитель: Чем это неравенство отличается от решённых ранее?
Учащийся: Это неравенство было сведено к простейшему с использований формулы
приведения.
Учитель: Есть ли еще неравенство, которое можно решить этим способом?
Учащийся: № 3.
Учитель: Устно решим неравенство, комментируя ход решения.
Учащиеся: (по порядку комментируют ход решения, учитель вносит изменения в
неравенство)
№ 3 cos (π + 2x) – 1 ≥ 0;
cos (π + 2x) ≥ 1;
-cos 2x ≥ 1;
cos 2x ≤ -1
2x = -π + 2πn , n  Z;
x = -π/2 + πn , n  Z.
Учитель: Итак, какова особенность решения данного неравенства?
Учащиеся: Его решение свелось к решению уравнения.
Учитель: Итак, как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у
тригонометрической функции сложный?
Учащиеся: Мы посмотрим, нельзя ли использовать формулы приведения, чтобы
упростить аргумент.
Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства
способствуют задания, которые можно выполнить разными способами. Поиск этих
способов учитель организует с помощью вопросов: «Каким способом можно решить
неравенство?»; «Можно ли решить это неравенство иным способом?» и дает основу
поиска иного способа с помощью вопроса: «Какие еще способы вам известны?».
Учащимся знаком способ использования тригонометрических формул, поэтому новизна
неравенства состоит в том, чтобы они увидели формулу приведения и в будущем не
спешили решать неравенство, рассматривая сложный аргумент как простой, а подумали о
возможности упрощения аргумента. Вопрос: «Кому нужен комментарий в решении у
доски?» помогает определиться в организации дальнейшей работы. Обогащению опыта
учащихся по решению тригонометрических неравенств способствует не только
дальнейшая самопроверка, но и проверка образца оформления решения. Увидеть связь
между неравенствами помогает вопрос: «Есть ли в предложенном списке еще
неравенство, которое можно решить этим способом?». Вопрос о способах решения
неравенств из одного и того же списка на уроке звучит неоднократно, что дает
возможность закрепить умение выбирать соответствующий способ. Устное решение
неравенства, когда учащиеся комментируют ход решения, а учитель по ходу их ответов не
переписывает неравенство, а только вносит в него изменения, помогает акцентировать
внимание всех на особенность каждого шага. Этому же акценту способствует и
подведение итогов с помощью вопросов: «Итак, какова особенность решения данного
неравенства?»; «Как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у
тригонометрической функции сложный?».
д) Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет
использования нескольких способов решения.
Учитель: Обратите внимание на неравенство № 6: 4sin2 3x < 3. Какими способами можно
решать это неравенство?
Учащиеся: Можно решить как № 10 из домашнего задания: методом введения новой
переменной.
Учитель: Наметьте ход решения.
Учащиеся:
Пусть sin 3x = t;
4t2 < 3.
Получили квадратное неравенство, которое можно решить разными способами.
Учитель:
Каким иным способом можно решить данное тригонометрическое
неравенство?
Учащиеся: Можно применить формулу понижения степени. (Один из учеников
выполняет решение у доски).
у
4sin2 3x < 3;
2
π – π/3
2sin 3x < 3/2;
1 – cos 6x < 3/2;
- cos 6x < ½ ;
-½
х
cos 6x > -½ ; ;
6x  (- 2π/3 + 2πn, 2π/3 + 2πn), n  Z;
- π + π/3
x  (- π/9 + πn/3, π/9 + πn/3), n  Z.
Учитель: Какие приёмы использовали при решении этого неравенства?
Учащиеся: 1) равносильные преобразования: перенос слагаемых, деление обеих частей
неравенства на положительное (отрицательное) число;
2) применение тригонометрической формулы;
3) рассматривали сложный аргумент как простой.
Учитель: Чем это неравенство похоже на неравенства № 2 и № 3?
Учащиеся: Его можно решить двумя способами.
Учитель: Чем это неравенство отличается от неравенств № 2 и № 3?
Учащиеся: Здесь используются другие тригонометрические формулы, а также метод
введения новой переменной.
Комментарий. На этом этапе совершенствование умения решать тригонометрические
неравенства осуществляется также за счет задания, которое можно выполнить разными
способами, однако рассматриваются иные способы: введение новой переменной,
использование иных тригонометрических формул.
3. Самостоятельная работа (учащимся предложены карточки с текстами
самостоятельной работы).
Вариант -1
Вариант -2
1) sin (x/2 – π/4) < 2 /2
1) sin (2x – π/6) < 1/2
2) cos (π /3 + 3x) < -1/2
2) cos (π/3 + 1/2x) ≥ - 3 /2
3) sin (2x – π/6)  - 3 /2
3) cos (3x – π/4 ) ≤ - 2 /2
4) 2cos (4x – π/6) > 3
4) 2 sin (x/2 + π/4) ≥ 1
5) 1/2 < sin x ≤ 2 /2
5) 1/2 ≤ cos x < 2 /2
Комментарий. Самостоятельная работа проверяет умение учащихся сводить неравенство к
простейшему и решать простейшие тригонометрические неравенства. Предусмотрены
ситуации: строгое – нестрогое неравенство; выделенная на окружности дуга выше – ниже,
правее – левее заданного числа. Хотелось бы, чтобы самостоятельная работа
предусматривала использование и иных способов решения, которые рассматривались на
уроке, хотя учитель и не ставит такой цели. Развитию умения решать тригонометрические
неравенства способствует включение в самостоятельную работу двойного неравенства.
4. Постановка домашнего задания.
Учитель: На дом – карточка с самостоятельной работой другого варианта.
Комментарий. Усилить домашнюю работу можно было заданием: подобрать из различной
учебной литературы те неравенства, которые решаются иными способами, чем в
самостоятельной работе. Выполнение дома второго варианта самостоятельной работы
можно использовать на следующем уроке для проверки самостоятельной работы,
выполненной в классе, когда каждый проверяет работу соседа по парте и дает ему, в
случае необходимости, рекомендации. Учитель может поставить затем оценку не только
за первоначальную работу, но и за выполнение домашней работы, за проверку работы
другого ученика и за работу над собственными ошибками.