Тема: «Применение производной при решении уравнений с параметрами»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа№6»
Тема: «Применение производной при
решении уравнений с параметрами»
Учитель: Трофимова Ольга Васильевна
Торжок
2013
Цели урока:
1) Образовательные: знать общую схему исследования функции, метод
построения графика функции, уметь проводить исследования функции
и строить ее график. Уметь решать уравнения с параметрами при
помощи производной.
2) Развивающая: развитие математического и общего кругозора,
способствовать формированию умений применять приемы выделения
главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие творческих
способностей учеников путем решения заданий, содержащих
параметры.
3) Воспитательные: побуждать учеников к самоконтролю, самоанализу
совей учебной деятельности.
Тип урока: комбинированный
«Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный,
подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький».
Конфуций
Ход урока
1) Организация класса.
2) На доске домашнее задание, на столах у учеников лабораторная работа
«Исследование функции и построение графика».
Урок делится на три этапа.
1 этап. В начале урока повторяется схема исследования функции и
построение ее графика.
Вопросы.
1)
2)
3)
4)
5)
Что называется областью определения функции?
Какая функция называется четной (нечетной)?
Как ведет себя график четной (нечетной) функции?
Как определить промежутки монотонности?
Как найти экстремумы функции?
Ученики отвечают на вопросы учителя в процессе построения графика
функции.
Пример 1. Исследуйте функцию на монотонность 𝑓(𝑥) = 𝑥√8 − 𝑥 2 и
постройте эскиз ее графика.
Решение: 𝑓(𝑥) = 𝑥√8 − 𝑥 2
1) D(f)=[-2√2;2√2
−2√2
-
8 − 𝑥2 ≥ 0
(2√2 − 𝑥)(2√2 + 𝑥) ≥ 0
+
2√2
- x
2) Определим четность функции 𝑓(−𝑥) = −𝑥√8 − (−𝑥)2 =
−𝑥√8 − 𝑥 2 = −𝑓(𝑥) – следовательно, данная функция нечетна, то есть
график ее симметрии относительно начала координат непрерывна.
3) найдем производную: 𝑓(𝑥) = 1√8 − 𝑥 2 +
8−𝑥 2 −𝑥 2
√8−𝑥 2
f(x)=0,
=
8−2𝑥 2
√8−𝑥 2
𝑥(−2𝑥)
2√8−𝑥 2
= √8 − 𝑥 2 −
𝑥2
√8−𝑥 2
=
;
8 − 2𝑥 2 = 0 { 𝑥 = ±2
=0
↔
{
√8−𝑥 2
𝑥 ≠ ±2√2
8 − 𝑥2 ≠ 0
8−2𝑥 2
найдем промежутки монотонности:
f(x)
f(x)
-2√2
+
-
-2
2
min
max
2√2
x
Составим таблицу по результатам исследования функции:
X
f(x)
f(x)
(−2√2; −2)
-
-2
0
-4
min
(-2;2)
+
Нули функции: 𝑓(−2√2) = 0 𝑓(0) = 0 𝑓(2√2) = 0
строим эскиз графика:
y
2
0
4
max
(2; 2√2)
-
4
−2√2
2√2
x
-4
Пример2. Сколько корней имеет уравнение 𝑥√8 − 𝑥 2 = 𝑎, в зависимости от
значений параметра.
Решение: Решим данное уравнение, используя предыдущее значение. Для
этого введем функцию. Пусть 𝑦 = 𝑥√8 − 𝑥 2 и 𝑦 = 𝑎. График функции 𝑦 =
𝑥√8 − 𝑥 2 мы уже построили. График функции y=a – пучок прямых
параллельных оси ох. Будем (мысленно) проводить горизонтальные прямые
y=a и отслеживать количество их пересечений с графиком функции 𝑦 =
𝑥√8 − 𝑥 2
Ответ: 1) при а=4 один корень 2) при а∈ (0; 4) два корня 3) при а=0 три корня
4) при а ∈ (−4; 0) два корня 5) при а=-4 один корень 6) при а ∈ (−∞; −4) ∪
(4; +∞) корней нет.
2 этап. Решение уравнения с параметром при помощи производной.
Пример 3. Сколько корней имеет уравнение √𝑥 2 (4 − 𝑥 2 ) = 𝑡 в зависимости
от параметра t.
Решение: Введем функции y=√𝑥 2 (4 − 𝑥 2 ) и y=t
Исследуем функцию 𝑦 = √𝑥 2 (4 − 𝑥 2 ) и построим эскиз графика.
1. D(y)=[-2;2], т.к. 𝑥 2 (4 − 𝑥 2 ) ≥ 0
𝑥 2 (2 − 𝑥)(2 + 𝑥) ≥ 0
2. y(-x)=√(−𝑥)2 (4 − (−𝑥)2 ) = √𝑥 2 (4 − 𝑥 2 ) = 𝑦(𝑥)
Функция четная, следовательно, график ее будет симметричен относительно
оси ординат.
3. Функция непрерывна
4. Нули функции: y(-2)=0 y(0)=0 y(2)=0
5. Найдем производную 𝑦 =
2𝑥(4−𝑥 2 )−2𝑥𝑥 2
2√𝑥 2 (4−𝑥 2 )
=
(√𝑥 2 (4
−
𝑥 2 ))
=
(𝑥 2 (4−𝑥 2 ))
2√𝑥 2 (4−𝑥 2 )
=
8𝑥−4𝑥 3
2√𝑥 2 (4−𝑥 2 )
Найдем стационарные точки.
8𝑥 − 4𝑥 3
2√𝑥 2 (4
−
𝑥 2)
=0
𝑥=0
{
𝑥 = ±√2
{
𝑥≠0
{
𝑥 ≠ ±2
3
4𝑥 − 2𝑥 = 0
{ 2
𝑥 (4 − 𝑥 2 ) ≠ 0
𝑥 = ±√2
{ 𝑥≠0
𝑥 ≠ ±2
Определим промежуток монотонности, учитывая четность функции
y
y
+
√2
0
2
x
Найдем значение функции в точках экстремума: 𝑦(−√2) = 𝑦(√2) = 2
Построим эскиз графика, используя таблицу
x
y
y
0
∄
(0; +√2)
+
0
√2
0
2
max
(√2; 2)
-
y
2
-2
0
2
Используя эскиз графика, ответим на вопрос задания
x
Ответ: 1) при t=2 два корня 2) при t∈ (0; 2)четыре корня 3) при t=0 три корня
4) при t∈ (−∞; 0) и 𝑡 ∈ (2; +∞) корней нет.
3этап. Закрепление.
Используя домашнее задание (лабораторная работа «Исследование функции
при помощи производной и построение эскиза графика») решить уравнение с
параметром.
I вариант
f (х) = 6х - 2г3 +1
6х - 2х3 +1= t
II вариант
f(х)= г3-12х-1
x 3 -12х-1=а
III вариант
f(х) = х4-4х2 + 2
х4-4х2 + 2=k
IV вариант
f(х) = х4 - 6х2 + 3
х4 - 6х2 + 3 = t
Во второй части лабораторной работы необходимо ответить на вопрос:
«Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра»
Домашнее задание. Контрольные измерительные материалы ЕГЭ за 2002 год
№ 85 - 91.
Домашнее задание.
1. При каком натуральном значении параметра а уравнение
х3 + Зх2 - 9х - а = 0 имеет ровно два корня?
2. При каком наименьшем натуральном значении параметра t уравнение
-г3 + х2 -15х = т имеет ровно один корень?
3. При каком наименьшем целом значении параметра p уравнение
-х3 + - х2 - 6х = р имеет три корня?
4. При каком наибольшем значении параметра a уравнение x3 + х2 - х = а
имеет ровно два корня?
5. При каком наименьшем натуральном значении параметра n уравнение
-х3 +-х2 -12х = п имеет ровно один корень?
6. При каком целом значении параметра b уравнение 8г3 + 4х2 -2х = Ь
имеет ровно два корня?
7. При каком наименьшем значении параметра n уравнение х3 -6х2 = п
имеет ровно два корня?