по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и

Программа государственного аттестационного экзамена «Математика и информатика»
по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» на 2014/2015 учебный
год для бакалавров
Вопросы по дисциплинам:
Математическая логика и теория рекурсивных функций
1. Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Мощность множества.
Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Существование несчетных
множеств.
2. Бинарные отношения. Отношения частичного порядка. Линейный порядок. Отношения
эквивалентности. Классы эквивалентности и разбиения множеств.
3. Логика высказываний: язык, оценки и значения формул. Выполнимые и тождественноистинные (тавтологии) формулы. Критерий правильности рассуждения. Теоремы о
приведении формулы логики высказываний к дизъюнктивной и конъюнктивной
нормальным формам.
4. Логика предикатов: формулы, свободные и связанные переменные, значение формулы в
данной интерпретации. Выполнимость и общезначимость (тождественная истинность).
Основные равносильности формул в логике предикатов.
Линейная алгебра
5. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы,
ее приложение к теории систем линейных уравнений.
6. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрица.
Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
7. Группы, подгруппы, теорема Лагранжа. Фактор-группа. Изоморфизм.
Математический анализ
8. Предел и непрерывность функции одной переменной, свойства непрерывных функций.
9. Производная функции одной переменной, ее физический и геометрический смысл. Условия
монотонности, экстремума, выпуклости. Исследование поведения функций. Формула
Тейлора.
10. Функции нескольких переменных. Полный дифференциал и его геометрический смысл.
Частные производные, матрица Якоби, градиент. Дифференцирование сложной функции.
11. Числовые ряды, виды сходимости. Достаточные признаки сходимости.
12. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус и круг сходимости.
Свойства степенных рядов. Разложение элементарных функций.
13. Кратные и криволинейные интегралы, их вычисление. Приложения в геометрии и физике.
Дифференциальные уравнения
14. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности
решения.
15. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Уравнения математической физики
16. Решение краевых задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности методом
Фурье.
1
Теория функций комплексного переменного
17. Функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Основная теорема теории
вычетов. Приложения к вычислению определенных интегралов
Теория вероятности и математическая статистика
18. Аксиомы Колмогорова. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Определение траектории и установившегося состояния в
цепях Маркова.
19. Функция и плотность распределения случайной величины. Моменты случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства. Моменты случайного вектора.
Коэффициент корреляции.
20. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
Теорема Ляпунова. Приближение Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Методы оптимизации и теория управления
21. Безусловная оптимизация. Метод градиентного спуска.
22. Метод Лагранжа. Метод штрафов.
23. Задача линейного программирования. Симплекс-метод.
Информатика
24. Понятие алгоритма, свойства алгоритма. Способы записи алгоритмов. Основные структуры
программирования: итерация, ветвление, повторение (на примере процедурного языка
программирования высокого уровня).
25. Простые типы данных и операции, определенные над ними. (на примере процедурного языка
программирования высокого уровня)
26. Структурированные типы данных: массивы, структуры. Операции, определенные над ними
(на примере процедурного языка программирования высокого уровня).
27. Работа с файлами: основные операции (на примере процедурного языка программирования
высокого уровня).
28. Подпрограммы: процедуры и функции. Формальные и фактические параметры.
29. Динамические структуры данных: списки, стеки, очереди. Основные способы реализации.
30. Объектно-ориентированное программирование: классы и абстракция данных, инкапсуляция,
наследование, полиморфизм.
Алгоритмы и структуры данных
31. Алгоритмы сортировки (вставками, QuickSort, подсчетом).
32. Деревья: основные определения, способы представления. Обход бинарного дерева.
Сортирующее дерево (двоичная куча). Дерево двоичного поиска.
33. Графы: основные определения, способы представления. Поиск в ширину. Поиск в глубину,
топологическая сортировка, выделение сильно связных компонент.
Компьютерная геометрия и графика
34. Алгоритмы прорисовки прямых и кривых линий (целочисленные алгоритмы, кривые Безье,
сплайны Эрмита)
35. Проективные преобразования и восстановление 3-х мерных объектов по их проекциям (виды
проекций и их матричное представление, примеры проективных преобразований,
восстановление трехмерной точки по двум перспективным проекциям).
36. Методы визуализации трехмерных объектов (модели трехмерных объектов, тесты
видимости граней, закраска, аффинные преобразования и анимация
2
Моделирование вычислительных систем
37. Моделирование ВС на основе теории конечных автоматов. (ВС как композиция
управляющего и операционного автоматов, переход от блок-схемы алгоритма к
управляющим автоматам Мура и Мили, структурный синтез автомата).
38. Моделирование ВС сетями Петри (виды сетей Петри, описание сети Петри, построение
дерева состояний (разметки), алгебраический подход к описанию функционирования,
исследованию на живость, ограниченность и наличие тупиков).
39. ВС как система массового обслуживания (классификация СМО, размеченный граф системы,
мат. модели детерминированных и вероятностных одноканальных СМО с простейшим
потоком заявок).
40. Модели теории расписаний (планирование работы однопроцессорной системы с зависимыми
и независимыми операциями, алгоритм Джонсона для двух машин, задача оптимизации
совмещения циклов)
3
Литература
Математическая логика и теория рекурсивных функций
1. Сазонов В.Ю. Математическая логика. Переславль-Залесский: «Изд-во УГП».
2. Верещагин, Шень. Вычислимые функции
3.
В.Дж.Рейуорд-Смит. Теория формальных языков. Вводный курс. — М., «Радио и связь», 1988.
Дискретная математика
4.
5.
Ломазова И.А. Лекции по дискретной математике (учебное пособие), М.: «изд-во РУДН», 1998.
Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной математики. М.: «изд-во МАИ», 1992.
Линейная алгебра
6.
7.
8.
Кострикин А.И. Введение в алгебру.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.
Винберг Э.Б. Начала алгебры.
Математический анализ
9.
10.
11.
12.
13.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1,2. (базовый учебник)
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1,2.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1,2.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1,2.
Зорич В.А. Математический анализ. Т.1,2.
Дифференциальные уравнения
14. В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, — М: «Наука», 1975(1984).
15. В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.», 1958.
16. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М: «Наука», 1970.
Теория функций комплексного переменного
17. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. — М.: «Наука», 1976.
18. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, — М.:
«Наука», 1989.
19. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. I. — М: «Наука», 1967.
Уравнения математической физики
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, — М: «Наука», 1972. - 736 с.
21. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — М.: «Физматлит», 2000. - 400 c.
Численные методы
Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., «Физматлит», 2000.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М: «Наука»,1972.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. — М: «Наука», 1976.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.— М: «Наука», 1987.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.», 1963.659 c.
27. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М.: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.»,
1963.-400 c.
22.
23.
24.
25.
26.
Теория вероятности и математическая статистика
28. Бочаров П.П., Печкин А.В. Теория вероятностей. — М.: «изд-во РУДН», 1994.
29. Цирлин А.М., Амелькин С.А. Теория вероятностей и ее приложения. —Переславль-Залесский:
УГП», 1996.
30. Бочаров П.П., Печкин А.В. Математическая статистика. — М.: «изд-во РУДН», 1994.
31. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: «Наука», 1969.
32. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: «Высшая школа», 1972.
«Изд-во
4
33. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: «Наука», 1979
34. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: «Наука», 1988.
Методы оптимизации и теория управления
35. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М: «Наука*Физматлит», 1980.
36. Гурман В.И. Методы оптимизации. Учебное пособие
http://u-pereslavl.botik.ru/NewSite/Data/Kafedry/SysAn/metOpt/metopt.pdf
37. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. — М: «Наука*Физматлит», 1997.
38. Гурман В.И. Теория управления и системный анализ (Дайджест-практикум). — Переславль-Залесский:
«Изд-во УГП», 1997
5