Tema_8Issl_urok_1

(11 класс, модуль 8, урок 1)
Урок 1. Теорема Лагранжа о среднем
План урока
 1.1. Пример приближения значений функции значениями
функции
 1.2. Уточнение
смысла
приближенного
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
 1.3. Формулировка
теоремы
Лагранжа
(формулы
приращений)
 1.4. Геометрический смысл формулы конечных приращений
 1.5. Оценка абсолютной погрешности приближенного
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
 1.6. Применение теоремы Лагранжа для получения
монотонности функции на промежутке
 1.7. Вывод обобщения неравенства Бернулли
 Тесты
 Домашнее задание
линейной
равенства
конечных
равенства
условий
Цели урока:
На этом уроке рассматриваются приближения функций линейными
функциями, формулируется важная для исследования функций теорема
Лагранжа о среднем, устанавливается связь производной с возрастанием и
убыванием функции. В начале урока приводятся примеры, показывающие
близость точек графика функции и касательной к нему вблизи точки
касания
и
уточняется
смысл
приближенного
равенства
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) . Урок завершается применением теоремы
Лагранжа для вывода обобщения неравенства Бернулли. Для лучшего
понимания полезно познакомиться с темой III для 11 класса «Предел и
непрерывность».
1.1. Пример приближения значений функции значениями линейной
функции
При изучении функций мы несколько раз говорили о касательных.
Это не случайно. Касательная является прямой, которая лучше всего
приближается к графику функции вблизи точки касания. Уравнение
касательной представляет собой линейную функцию. Оказывается, что
вблизи точки касания значения этой линейной функции дают хорошие
приближения для значений самой функции. Уточним это на примере. Рис.1
Пример 1. Рассмотрим функцию f ( x)  x вблизи x  1 .
Уравнение касательной к графику данной функции в точке с
абсциссой 1 имеет вид
y  f (1)  f (1)( x  1)
Так как f (1)  1 , f ( x)  1 , f (1)  1 , то уравнение касательной
2
2 x
1
y  1  ( x  1)
2
Для сравнения значений функций f ( x)  x и g ( x)  1  1 ( x  1) при
2
значениях x , близких к 1 , обозначим z  x 1 , то есть x  1  z . Тогда
f ( x)  f1 ( z)  1  z , g ( x)  g1 ( z )  1  1 z . Отметим, что по определению
2
производной
1  z 1 1
f1(1)  lim
 ,
z 1
z
2
Рассмотрим разность f1 ( z )  g1 ( z )  1  z  1  1 z и обозначим ее  ( z )  z ,
2
то есть 1  z  1  1 z   ( z )  z . Тогда
2
1 z 1 1 z
2


lim  ( z )  lim
 lim  1  z  1  1   1  1  0 .
z 0
z 0
z 0
z
z
2

 2 2
1 z  1 1 z ,
Следовательно, lim  ( z )  0 . Поэтому разность
z 0
2
равная z   ( z ) , при маленьких значениях z значительно меньше, чем z
(рисунок 2). Отсюда можно получить приближенную формулу
1
1  z  1  z
2
Возвращаясь к переменной x , при x , близких к 1 , приходим к
приближенному равенству:
1
x  1  ( x  1)
2
причем ошибка мала по сравнению с ( x  1) .
Аналогичные рассуждения можно провести для любой функции
f ( x ) , имеющей производную в точке a , и получить, что при x , близких к
a,
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
причем ошибка мала по сравнению с ( x  a ) . Это означает, что отношение
f ( x)  ( f (a)  f (a)( x  a ))
xa
стремится к нулю, когда x стремится к a .








Вопрос. Как доказать, что (1  x)3  1  3x при x , близких к нулю?
1.2. Уточнение
смысла
приближенного
равенства
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
В предыдущем, пункте было показано, что когда функция f ( x) имеет
производную в точке a , то f ( x)  f (a)  f (a)( x  a) при x , близких к a .
Однако, слово "близкое" нельзя считать точным математическим понятием.
Приведем один пример.
Пример 2. Рассмотрим поведение функции f ( x)  1 вблизи x  1 .
x
10
1
1
1
f ( x)   2 ,
f
 10 ,
f
 100 ,
Для
нее
поэтому
10
10
x
f ( x)  g ( x)  f 1  x  1  10  100 x  1  20  100 x при x , близких к
10
10
10
1 . Можно посчитать, что число x  1 достаточно близко к 1 и что
20
10
10
поэтому значение f 1 достаточно мало отличается от g 1 . Однако,
20
20
f 1  20 , g 1  15 и f 1  g 1  5 . Такую разницу вряд ли
20
20
20
20
можно считать совсем малой. Тем более ее нельзя считать малой по
сравнению с 1 .
10
Уточнить смысл приближенного равенства f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
f ( x)  f ( a )
можно следующим образом. По определению, f (a)  lim
. Это
x a
xa
означает, что для каждого положительного числа  можно найти такое
число   0 , что при всех x из области определения функции f ( x) , таких
f ( x)  f (a )
 f (a)   .
что x  a и  x  a   , выполняется неравенство
xa
Другими словами, найдется такая  -окрестность точки a , что при всех x из
этой окрестности, отличных от a , выполняется последнее неравенство. Но
тогда  f ( x)  f (a)  f (a )( x  a )     x  a  , то есть по модулю значение
f ( x ) отличается от f (a )  f (a )( x  a ) меньше, чем на   x  a  . При малом
 это отличие гораздо меньше, чем  x  a  .
1
Вопрос. Для какой окрестности числа 1 разность между f ( x )  и
10
x
1
1
g ( x)  20  100 x по модулю меньше, чем x 
?
5
10
 
 
 
1.3. Формулировка
приращений)
 


 

   
теоремы
Лагранжа
 
 
(формулы
конечных
Для исследования функций большое значение имеет следующая
теорема.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f ( x) определена и непрерывна
на отрезке [a b] и имеет производную в каждой точке интервала
(a b) . Тогда найдется точка c из (a b) такая, что
f (b)  f (a)  f (c)  (b  a)
Теорема Лагранжа позволяет выразить через производную разность
значений функции в концах отрезка числовой прямой. Иногда формулу
Лагранжа
f (b)  f (a)  f (c)  (b  a)
(1)
называют формулой конечных приращений.
Доказательство теоремы Лагранжа сложное и мы его приводить не
будем.
Вопрос. Как можно сформулировать теорему Лагранжа при условии
равенства f (a )  f (b) ?
Это интересно
Лагранж, Жозеф Луи (25.01.1736-10.04.1813) – французский
математик и механик. Наиболее важные труды Лагранжа относятся к
вариационному исчислению и механике. Лагранжу принадлежат
выдающиеся исследования по различным вопросам математического
анализа, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям, а также по
математической картографии, астрономии и пр.
(Приложение – портрет, рис. 6)
1.4. Геометрический смысл формулы конечных приращений
Формулу конечных приращений f (b)  f (a )  f (c)  (b  a) можно
записать также в виде
f (b)  f (a)
f (c) 

(2)
ba
рисунок 3
Левая часть f (c ) полученного равенства равна наклону касательной,
проведенной к графику функции f ( x) в точке с абсциссой x  c . Правая
f (a)  f (b)
часть
равна наклону прямой, проходящей через крайние точки
ba
(a f (a)) и (b f (b)) графика функции f ( x ) на отрезке [ a b] . Равенство
наклонов прямых означает, что эти прямые параллельны. Поэтому
геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция
f ( x ) определена на отрезке [ a b] и имеет производную на интервале (a b) ,
то найдется такая точка графика функции f ( x) , что проведенная в этой
точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки функции
f ( x ) на отрезке [ a b]
Вопрос. Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа при
условии f (a )  f (b) ?
1.5. Оценка абсолютной
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
погрешности
приближенного
равенства
Теорема Лагранжа позволяет получить оценку абсолютной
погрешности приближенной формулы
f ( x)  f (a)  f (a)( x  a)
из пункта 1.1.
Пусть функция f ( x) имеет производную в каждой точке некоторой
окрестности числа a . Тогда функция f ( x) определена и непрерывна в этой
окрестности. Поэтому для любого x их этой окрестности на отрезке с
концами x и a выполняются все условия теоремы Лагранжа. Значит,
f ( x)  f (a)  f (c)( x  a)
где c — некоторая точка между x и a . Тогда  f ( x)  f (a )  f (a )( x  a ) 
 f (c)( x  a)  f (a)( x  a)  f (c)  f (a )    x  a  . Так как точка c
промежуточная между x и a , то число  f (c)  f (a)  не превосходит
наибольшего значения  f (t )  f (a )  , рассматриваемого для всех t между x
и a . Это и позволяет оценить погрешность указанной выше формулы.
1 x  1 1
x
Пример 3. Оценим абсолютную погрешность формулы
при 0  x  1 .
2
Решение. Пусть f ( x)  1  x . Тогда f (t ) 
1 , f (0)  1 и при
2
2 1 t
0  t  1 имеем
2
 f (t )  f (0) 
1 1 1 1 1 1 1 1  1 .
2
2 1 t 2 2 2 1 t 2
6 10
1 1
2
1
Следовательно,  f (c)  f (0) 
при любом 0  c  1 . Поэтому
10
2
1  x  1  1 x  1  x  1 .
2
10
20
Вопрос. Какова абсолютная погрешность формулы
1 x  1
1
x
2
при  1  x  0 ?
4
1.6. Применение теоремы Лагранжа
монотонности функции на промежутке
для
получения
условий
Применим теорему Лагранжа для доказательства условий, при
которых функция строго монотонна на некотором промежутке.
Теорема. Если функция f ( x) имеет положительную производную в
каждой точке промежутка D , то функция f ( x) строго
возрастает на этом промежутке. Соответственно, если функция
f ( x ) имеет отрицательную производную в каждой точке
промежутка D , то функция f ( x) строго убывает на этом
промежутке.
Доказательство.
Оба
утверждения
теоремы
доказываются
аналогично, поэтому рассмотрим только первое из них. Пусть f ( x)  0 при
всех x  D . Возьмем две произвольные точки x1 , x2 из D , такие что x1  x2 .
Тогда на отрезке [ x1  x2 ] функция f ( x) определена, имеет производную и
поэтому непрерывна. Следовательно, можно применить теорему Лагранжа и
записать равенство f ( x2 )  f ( x1 )  f (c)( x2  x1 ) . Так как точка c лежит в
интервале ( x1  x2 ) то она принадлежит промежутку D , а поэтому f (c)  0 .
x2  x1  0 .
x1  x2
Из
неравенства
следует,
что
Значит,
f ( x2 )  f ( x1 )  f (c)( x2  x1 )  0 , то есть f ( x2 )  f ( x1 ) , что и требовалось
доказать.
Пример 4. Функция f ( x)  1 ( x3  x) определена, непрерывна и имеет
3
производную на всей числовой прямой. При этом f ( x)  x 2  1  0 при всех
3
f
(
x
)
.
Из
теоремы
этого
пункта
следует,
что
функция
строго
возрастает на
x
всей числовой прямой. График функции f ( x)  1 ( x3  x) выглядит
3
примерно так, как изображено на рисунке 4.
Вопрос. Как доказать второе утверждение теоремы из этого пункта?
1.7. Вывод обобщения неравенства Бернулли
r  1 — некоторое действительное число. Рассмотрим
функцию f ( x)  x r  rx , определенную и непрерывную для x  0 . Так как
Пусть
 xr   rxr 1, то f (x)  rxr 1  r  r  xr 1 1 . При положительном r  1
функция xr  1 строго возрастает. Поэтому f ( x)  0 при x  1 ; f ( x )  0
при 0  x  1 ; f ( x )  0 при x  1 . Отсюда следует, что график функции
f ( x)  x r  rx выглядит примерно так, как изображено на рисунке 5.График
иллюстрирует, что значение f (1)  1  r является наименьшим значением
функции f ( x) , откуда получаем неравенство xr  rx  1  r , справедливое
при всех x  0 . Заменим в этом неравенстве x на 1  z . В результате придем
к неравенству (1  z )r  r (1  z )  1  r , откуда (1  z )r  1  rz при всех z  1 .
Полученное неравенство
является обобщением известного
неравенства Бернулли для натурального показателя степени на случай
произвольного показателя r  1 .
Мини-исследование.
Докажите, что для 0  r  1 выполняется неравенство (1  z )r  1  r z
при всех z  1 ?
Мини-исследование.
Функция y  x 3 на промежутке  1;1 является строго возрастающей.
Этот пример показывает, что утверждение, обратное теореме из пункта 1.6,
не имеет места. Однако, если функция f ( x) имеет положительную
производную во всех точках промежутка  a; b , кроме одной точки c , то
функция f ( x) строго возрастает на этом промежутке. Для доказательства
этого установите следующее:
1) если функция f ( x) имеет неотрицательную производную во всех
точках промежутка  a; b , то функция f ( x) возрастает на этом промежутке;
2) если для возрастающей функции f ( x) для точек x1  x2
выполняется равенство f ( x1 )  f ( x2 ) , то f ( x)  0 для всех x  [ x1; x2 ] .
Аналогично, если функция f ( x) имеет отрицательную производную
во всех точках промежутка  a; b , кроме одной точки c , то функция f ( x)
строго убывает на этом промежутке.
Верно ли соответствующее утверждение, если производная может
обращаться в 0 более чем в одной точке?
Проверь себя. Теорема Лагранжа о среднем
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какой вид имеет уравнение касательной касательной к графику функции
f ( x)  2 x 2  x  1 , проведенной через точку с абсциссой a  1 :
 1. y  2  3( x  1) ;  2. y  3  2( x  1) ;
 3. y  2  3( x  1) ;  4. y  3  2( x  1) ?
(Правильный вариант: 1)
Какой вид имеет уравнение касательной касательной к графику функции
f ( x)  sin 2 x  x  1 , проведенной через точку с абсциссой a   :
 1. y  2( x   ) ;  2. y  2 x ;  3. y  1  2( x   ) ;  4. y  2(  x) ?
(Правильный вариант: 1)
Какой вид имеет запись формулы конечных приращений для функции
f ( x)  x на отрезке  a; b , где a  0; b  0 , a  c  b :
 1. b  a 
1
2 c
 (b  a) ;
c
 (b  a ) ;
2
2
 3. b  a 
 (b  a) ;
c
 4. b  a  2 c  (b  a) ?
(Правильный вариант: 1)
 2. b  a 
Какой вид имеет запись формулы конечных приращений для функции
f ( x)  cos 2 x на отрезке  a; b ,:
 1.
 2.
 3.
 4.
cos 2b  cos 2a  sin c  (b  a) ;
cos 2b  cos 2a  2sin c  (b  a) ;
cos 2b  cos 2a  sin c  (a  b) ;
cos 2b  cos 2a  2sin c  (a  b) ,
где a  c  b ?
(Правильный вариант: 4)
Какой вид имеет правая сторона записи формулы конечных приращений для

 tg b  tg a

f ( x)  tg x на отрезке  a; b при   a  b  :
2
2
ba
1
1
 1.  2 ;  2.   2 ;  3.  cos 2 c ;  4.   cos 2 c ?
cos c
cos c
(Правильный вариант: 1)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
В каких из указанныхслучаев формула Лагранжа f (b)  f (a )  f (c)  (b  a)
неприменима :
 1. f ( x)  x , a  2, b  2 ;

5
;
4
4
 3. f ( x)  arctg x, a  100, b  100 ;
1
 4. f ( x)  2 , a  100, b  100 ?
x
(Правильные варианты: 1, 2, 4)
 2. f ( x)  tg x, a  , b 
Какие из указанных неравенств являются верными при каждом x  1 :
2
3
2
 2. 3 (1  x) 2  1  x ;
3
4
 3. 3 (1  x) 4  1  x ;
3
4
 4. 3 (1  x) 4  1  x .
3
(Правильные варианты: 2, 3)
 1. 3 (1  x) 2  1  x
Какие из указанных неравенств являются верными при каждом x  0 :
 1. 3 (1  3x) 2  1  2 x 4
 2. 3 (1  3x) 2  1  2 x ;
 3. 3 (1  3x) 4  1  4 x ;
 4. 3 (1  3x) 4  1  4 x .
(Правильные варианты: 2, 3)
Домашнее задание
1. Найдите производную от функции f ( x) и значение производной при
x  a , если:
а) f ( x)  ( x  1)6 , a  2 ;
б) f ( x)  sin 3x , a   ;
3

2
x
в) f ( x)  e
, a  4;
г) f ( x)  2 x , a  1 ;
д)* f ( x)  x 2  9 , a  4 ;
е)** f ( x)  1  sin 2 x , a   ;
12
2
ж)* f ( x)  cos 2 x , a  2 ;
3
з)** f ( x)  cos(arcsin x) , a  2 ;
2
и)** f ( x)  ln 1  x , a  1 ;
1 x
2
2
к)** f ( x)  ln( x  x  1) , a  3 .
4
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f ( x) в точке с
абсциссой a , если:
а) f ( x)  ( x  2) 2 , a  4 ;
б) f ( x)  x3  x 2  x  1 , a  1 ;
в) f ( x)  x x , a  4 ;
г) f ( x)  1 , a  1 ;
x 1
д)* f ( x)  2 x  3 , a  3 ;
е)* f ( x)  1  x3 , a  2 ;
ж)** f ( x)  cos 3 x , a  2 ;
3
з)** f ( x)  2 x , a  2 .
3*. Для приближенной формулы
погрешность при  x  a  b , если:
а) f ( x)  x 2 , a  2 , b  0 5 ;
б) f ( x)  sin x , a  0 , b  01 ;
f ( x)  f (a)  f (a)  ( x  a)
оцените
в) f ( x)  3 x , a  8 , b  1 ;
г) f ( x)  ln(1  x) , a  0 , b  01 .
4. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания для функции:
а) f ( x)  x3  2 x 2 ;
б) f ( x)  x  1 ;
x
3
в) f ( x )  x  2 ;
x
2
г) f ( x)  x( x  1) ;
x 1 ;
x
3
е) f ( x)  x 2 1 .
x
д) f ( x) 
Словарь терминов
Касательная к графику функции. Уравнение касательной к графику
функции y  f ( x) , проведенной через точку с абсциссой a , имеет вид
y  f (a)  f (a)( x  a ) (при условии, что функция f имеет производную в
точке a ).
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций,
изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго
возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция f ( x) называется
возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из D
неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция f ( x)
называется строго возрастающей на промежутке D , если для любых чисел
x1 и x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и
x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется строго убывающей на промежутке D , если для любых
чисел x1 и x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Если функция f ( x) имеет положительную производную в каждой
точке промежутка D , то функция f ( x) строго возрастает на этом
промежутке. Соответственно, если функция f ( x) имеет отрицательную
производную в каждой точке промежутка D , то функция f ( x) строго
убывает на этом промежутке.
Предел функции. Число M называется пределом функции f ( x) в
точке a , если для каждого положительного числа  найдется такое   0 ,
что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D , x  a и  x  a   ,
выполняется неравенство  f ( x)  M   .
Производная функции. Производной функции f ( x) в точке a
f ( x)  f ( a )
называется
.
Другими
словами,
значением
f (a)  lim
x a
xa
производной функции f ( x) в точке a является такое число f ( a ) , что для
каждого числа   0 найдется такое   0 , что при всех x из области
определения функции, удовлетворяющих условиям x  a и  x  a   ,
f ( x)  f (a )
 f (a)   .
выполняется неравенство
xa
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 9-1-1-1.cdr
Рисунок 2. – 9-1-1-2.cdr
Рисунок 3. – 9-1-1-3.cdr
Рисунок 4. – 9-1-6-4.cdr
Рисунок 5. – 9-1-7-5.cdr
Рисунок 6. – Lagrange.jpg