9 класс

9 класс
1 раунд.
1. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора
или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда
она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно,
что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?
2. Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре
равные трапеции.
 x  y  z  0,
3. Решите систему: 
.
 xy  yz  zx  0
4. В некоторых клетках таблицы 100100 стоят крестики. Каждый крестик является единственным
либо в строке, либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в таблице?
2 раунд.
1. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них – щуки,
треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знакомых у
Золотой рыбки?
2. Известно, что а + b + c = 7, а
1
1
1
a
b
c
.


 0, 7 . Найдите сумму:


ab bc ca
bc ca ab
3. У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них
число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между
тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите все числа, которые может получить Вася.
4. В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел,
расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть
последовательных натуральных чисел?
3 раунд.
1. Найти все целые значения m такие, что выражение
2m  7
принимает целое значения.
5m  11
2. Урфин Джюс выстроил 66 дуболомов в шеренгу, пересчитал их и понял, что перестроить их в
колонну по пять ему не удастся. Тогда, он решил между любыми двумя дуболомами, стоящими в
шеренге, поставить еще по одному дуболому. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько
раз, добиться того, чтобы количество дуболомов стало кратным пяти?
3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель
выиграл у всех и набрал в 5 раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было
участников? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков)
4. На экране компьютера было записано число 123456789. Вася так вставил пробелы между
некоторыми цифрами этого числа, что оно разбилось на несколько кусков, причем числа,
записанные на любых двух кусках, оказались взаимно простыми. Какое наибольшее количество
кусков могло при этом получиться? (Напомним, что взаимно простыми называются натуральные
числа, у которых есть ровно один общий делитель – единица.)
4 раунд.
1. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно
заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла
ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?
2. Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что любые два из этих чисел взаимно
просты? (Напомним, что взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий
делитель равен 1.)
3. В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в
виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30%
колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
4. В четырехугольнике АВСD углы А и В – прямые. Известно также, что СD = AD + BC.
Биссектриса угла ADC пересекает АВ в точке M. Найдите угол CMD.
5 раунд.
1. На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя
стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее
гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение
чисел, записанных на доске вечером 2012-го дня.
2. После того, как учительница Марьиванна пересадила Вовочку с первого ряда на второй,
Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст
учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился
на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом
и на втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?
3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами,
другую – черными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое
количество очков. Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий
белыми.
4. Куб размером 3*3*3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по
одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с
ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Решения.
1 раунд.
1. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора
или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда
она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно,
что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?
11 часов 40 минут. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 210/6=35 раз быстрее,
чем в то время, когда разговор не ведётся. Пусть Алёна проговорила x часов. Тогда энергии
аккумулятора осталось на (6-x) часов разговора или на 35*(6-x) часов ожидания. По условию это
время также равно x часов ожидания, поэтому 35*(6-x)=x, откуда x=35*6/36=35/6 часов, то есть 5
ч 50 мин. Значит, вся поездка продолжалась 11 ч 40 мин.
2. Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре
равные трапеции.
Пусть ABCD – данная равнобокая трапеция, у которой AD = 17, BC = 11. Выберем на ее
основаниях BC и AD соответственно точки K и L так, что BK = AL = 7. Тогда ABKL –
параллелограмм, а DCKL – равнобокая трапеция с основаниями 4 и 10. Отрезок EF проходит
перпендикулярно BK и AL через центр симметрии параллелограмма, а MN – ось симметрии
трапеции DCKL, поэтому в трапециях АВЕF, KLFE, LKMN и DCMN равны соответствующие
стороны и равны соответствующие углы.
 x  y  z  0,
3. Решите систему: 
.
 xy  yz  zx  0
x = y = z = 0. Из уравнения системы следует, что
( x  y  z )2  0  x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx)  0 .
Так как неравенство x 2  y 2  z 2  0 верно при всех x, y и z, а неравенство xy  yz  zx  0
 x 2  y 2  z 2  0,
что
 xy  yz  zx  0
выполняется по условию, то полученное равенство возможно т. и т. т., когда 
достигается только при x = y = z = 0.
4. В некоторых клетках таблицы 100100 стоят крестики. Каждый крестик является единственным
либо в строке, либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в таблице?
198. Докажем, что в таблице не может быть больше, чем 198 крестиков. Действительно,
количество крестиков, единственных в строке, не превышает количества строк, то есть, их не
больше ста. Если их – ровно 100, то в каждой строке такой крестик есть, и тогда ни в какую из
строк нельзя поставить еще крестик, поэтому, других крестиков в таблице быть не может.
Аналогичное рассуждение можно провести, если имеется 100 крестиков, единственных в столбце.
Если же и тех и других имеется не более чем по 99, то всего крестиков в таблице не больше, чем
992 = 198. Такое количество крестиков, удовлетворяющих условию, поставить можно. Например,
заполним крестиками одну строку и один столбец, исключая их пересечение.
2 раунд.
1. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них – щуки,
треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знакомых у
Золотой рыбки?
Ответ: 6 знакомых. Выпишем в ряд всех знакомых Золотой рыбки и разделим их на части,
учитывая, что все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси (К – карась, Р – другая рыба):
Р Р Р К Р Р | Р К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | ... (все части, начиная с третьей, – одинаковые,
но в последней части может быть и менее четырех знакомых).
Тогда в первой части караси составляют 1/6 от общего количества, во второй части – 1/5, а в
остальных – 1/4 (в последней части может быть и больше, чем 1/4). Из условия следует, что караси
не могут составлять больше, чем 1/6 от общего количества, поэтому, выписанный ряд должен
ограничиться первой частью.
2. Известно, что а + b + c = 7, а
1
1
1
a
b
c
.


 0, 7 . Найдите сумму:


ab bc ca
bc ca ab
Ответ: 1,9. Перемножим почленно данные верные равенства:
abc abc abc
c
a
b
a
b
c


 4,9  1 
1
1
 4,9 


 1,9
ab
bc
ca
ab
bc
ca
bc ca ab
3. У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них
число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между
тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите все числа, которые может получить Вася.
Ответ: 41312432 или 23421314.
4. В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел,
расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть
последовательных натуральных чисел?
Нет, не может. Пусть на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел, n –
наименьшее из них, а S – их сумма. Тогда S = n + (n + 1) + ... + (n + 5) = 6n + 15. Так как каждая
вершина принадлежит трем граням куба, то каждое число от 1 до 8 входит в три суммы,
записанные на гранях. Поэтому, S = (1 + 2 + … + 8)3 = 108. Уравнение 6n + 15 = 108 не имеет
натуральных решений, так как в его левой части – нечетное число, а в правой части – четное.
3 раунд.
2m  7
принимает целые значения.
5m  11
Ответ: –2. Решение задачи сводится к решению неравенства |2m + 7| > |5m + 11| и проверке целых
чисел, попадающих в множество решений неравенства
1. Найдите все целые значения m такие, что выражение
2. Урфин Джюс выстроил 66 дуболомов в шеренгу, пересчитал их и понял, что перестроить их в
колонну по пять ему не удастся. Тогда, он решил между любыми двумя дуболомами, стоящими в
шеренге, поставить еще по одному дуболому. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько
раз, добиться того, чтобы количество дуболомов стало кратным пяти?
Ответ: нет, не сможет. Заметим, что если в шеренге стоит n дуболомов, то в результате указанной
операции их станет 2n – 1. После первой операции количество дуболомов станет равно 131. Если
число, оканчивающееся на 1, умножить на 2 и вычесть 1, то снова получится число,
оканчивающееся на 1. Поэтому в дальнейшем количество дуболомов всегда оканчивается цифрой
1, следовательно, это число не будет делиться на 5.
3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель
выиграл у всех и набрал в 5 раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было
участников? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков)
Ответ: 12 участников.
Пусть в турнире участвовало n человек, тогда каждый из них сыграл (n – 1) партию. Всего в
n n  1
n n  1
турнире было сыграно
партий, при этом без участия победителя было сыграно
–
2
2
 n  1 n  2
(n – 1) =
партий. Заметим, что в каждой партии между участниками распределяется
2
 n  1 n  2
1 очко. Поэтому победитель набрал n – 1 очко, а все остальные вместе набрали
2
 n  1 n  2
очков. Учитывая условие задачи, составляем уравнение:
= 5(n – 1). Так как n > 1, то
2
решением уравнения является только n = 12.
4. На экране компьютера было записано число 123456789. Вася так вставил пробелы между
некоторыми цифрами этого числа, что оно разбилось на несколько кусков, причем числа,
записанные на любых двух кусках, оказались взаимно простыми. Какое наибольшее количество
кусков могло при этом получиться? (Напомним, что взаимно простыми называются натуральные
числа, у которых есть ровно один общий делитель – единица.)
Ответ: шесть. Заметим, что из четырех четных цифр: 2, 4, 6 и 8 целый кусок может составить не
более, чем одна. Остальные три обязаны войти в куски, состоящие из двух или более цифр
(причём войти не в качестве последней цифры). Это значит, что кусков не может быть больше
шести (три куска по две цифры и три куска по одной цифре).
Приведем один из возможных примеров разбиения данного числа на шесть кусков: 1 23 4 5 67
89.
4 раунд.
1. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно
заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла
ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?
Нет, не могла. Пусть в какой-то момент в вершинах записаны числа а, b и с. Тогда после
указанной операции вместо них будут записаны числа b + c, c + a и a + b. Так как (b + c) + (c + a) +
(a + b) = 2(a + b + c), то после каждой операции сумма трёх записанных чисел удваивается. Сумма
исходных чисел не делится на 5, поэтому и сумма чисел, полученных после любого количества
операций, на 5 делиться не может.
2. Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что любые два из этих чисел взаимно
просты? (Напомним, что взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий
делитель равен 1.)
Ответ: нет, не существуют. Каждое из составных чисел является произведением, по крайней мере,
двух простых чисел. В каждом из таких произведений не может быть больше одного двузначного
сомножителя, иначе это произведение будет, как минимум, трехзначным числом. Значит, в
разложении на простые множители каждого из искомых двузначных чисел должно присутствовать
однозначное простое число. Но простых однозначных чисел всего четыре: 2, 3, 5 и 7.
Следовательно (по принципу Дирихле), среди любых пяти составных двузначных чисел найдутся
два, у которых будет общий делитель, отличный от 1.
3. В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в
виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30%
колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
Ответ. 1200.
Решение. Предположим, что солдаты поставлены в m колонн и n шеренг. Тогда в полку mn солдат,
и mn/100 солдат получили новое обмундирование. Согласно условию, не менее чем в 40n/100
шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании, значит,
mn/100>40n/100. Отсюда ясно, что m>40. Аналогично, так как не менее чем в 30m/100 колонн есть
солдаты в новом обмундировании, mn/100>30m/100.
Поэтому n>30. Значит, в полку не менее, чем 40*30=1200 солдат.
Покажем, что 1200 солдат можно построить таким образом. Построим их в виде прямоугольника
30*40. Поставим по диагонали 12 солдат в новом обмундировании. Ясно, что солдаты в новом
обмундировании стоят ровно в 30% колонн и в 40% шеренг (30% от 40 — это 12, 40% от 30 —
тоже 12).
4. В четырехугольнике АВСD углы А и В – прямые. Известно также, что
СD = AD + BC. Биссектриса угла ADC пересекает АВ в точке M. Найдите
угол CMD.
Ответ: 90. Построим четырехугольник АВD’C’, симметричный данному
относительно середины отрезка АВ. Так как C’D’ = CD = BC + AD = CD’
= C’D, то СDC’D’ – ромб. Диагонали CC’ и DD’ ромба перпендикулярны,
являются биссектрисами его углов и пересекают отрезок АВ в его
середине, поэтому М – точка их пересечения. Следовательно, CMD =
90.
5 раунд.
1. На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя
стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее
гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2.
Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 2012-го дня.
Средним арифметическим двух чисел a и b называется число (a+b)/2, а средним гармоническим число 2/((1/a)+(1/b))
Произведение чисел на доске не меняется. Действительно, ((a+b)/2)*(2/((1/a)+(1/b))) = ab. Поэтому
искомое произведение равно 2.
2. После того, как учительница Марьиванна пересадила Вовочку с первого ряда на второй,
Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст
учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился
на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом
и на втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?
9 человек. Пусть в третьем ряду сидит x человек. Так как средний возраст равен сумме возрастов,
деленной на количество человек, то после пересаживания суммарный возраст детей на первом
ряду увеличился на 12 недель, на втором ряду – увеличился на 24 недели, а на третьем ряду –
уменьшился на 4x недель. Поскольку сумма возрастов всех учеников изменится не могла, то 4x =
12 + 24, то есть, x = 9.
3. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами,
другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое
количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков). Докажите,
что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Всего в турнире были сыграны n(n-1) партий, и в каждой разыгрывалось 1 очко. Поэтому при
равенстве всех результатов участники набрали по n-1 очку. Каждый шахматист сыграл белыми n-1
партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ..., n-1.
Предположим, что утверждение задачи неверно: все выиграли разное число партий белыми. Тогда
реализованы все возможные варианты от 0 до n-1. Рассмотрим двух участников турнира: A,
выигравшего n-1 партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Разберемся, каким
мог быть результат партии, которую A играл против B черными. С одной стороны, A набрал n-1
очко, играя белыми, так что все свои партии черными, в том числе и эту, он должен был
проиграть. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту.
Противоречие.
4. Куб размером 3*3*3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по
одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с
ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
Нельзя. Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке они покрашены в
черный цвет) и 6 "центральных" кубиков (они расположены в центрах граней и заштрихованы на
рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход из углового кубика ведет в кубик в середине ребра, а
следующий ход — в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового
кубика в другой, придется пройти хотя бы через один центральный. Иными словами, между
каждыми двумя соседними (в порядке обхода) угловыми кубиками должен встретиться хотя бы
один центральный. Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть!