   

Примеры.
Хорошо этот вывод записать математически
a , если а  0
- а, если а  0
/а/= 
Наряду с простыми примерами, которые предлагает учебник в теме «Действия с
рациональными числами» хорошо рассмотреть уравнения вида:
// = 5
/  / = -3
// = 0
1
/ 2   /  1,
3
1
/ 2  7 /  2
3
/  - 3/ = 2
2 /6+  / = 5,
1
/ 2  7 /  2
3
Например:
/ 2  7 /  2 
/3  - 4/ = 1
1
3
/2  - 7/ = 6
2 - 7 =  6
2  -7 = 6 и 2  - 7 = - 6
2  = 13
2  =1
 = 6,5
Ответ:
=
1
2
1
; 6,5
2
При изучении элементарных функций и их графиков хорошо рассмотреть и
построить графики таких функций как:
1
1
у = /  /;
у = /  3/;
у = /2  /;
у = /  - 2/;
у=-/ /
2
3
у = 2х2 - 5/  / +2
у = /  2-3  +2/
у = - 3 // + 3
Рассмотрим некоторые из них.
1. у = -3 /  / + 3
у=
5
//
, при х  0
то данную функцию можно записать так


,
при
x

0

 3  3, при   0
у= 
3  3, при   0
На множестве [0 :  ) строим график функций у = -3  +3, на множестве
(-  : 0) строим график функций у = 3  +3.
так как /  / = 
1
2. у = 2  2 - 5/  /+2
2 2  5  2, при   0
у 2
2  5  2, при   0
На множестве (-  : 0) строим график функции у = 2  2+5  +2, на множестве [0 :  )
- график функции у = 2  2 - 5  +2
3. После изучения квадратных неравенств можно рассмотреть график функции
у = /  2 - 3  +2/
 2  3  2, если  2  3  2  0
у= 
2
2
   3  2, если   3  2  0
2
2
Решая неравенства   3  2  0 и   3  2  0 получаем, что неравенство
 2  3  2  0 верно при   ( : 1]   2 :   , а неравенство  2  3  2  0 верно
при   (1 : 2)
Получили
 2  3  2, при   (- :1]  [2 : )
у 2
   3  2, при   (1 : 2)
2
На примере этого графика можно сделать вывод или вернее правило построения
любой функции вида у = / f () / .
Правило: 1) строим график функции у = f (  ) .
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, то есть где f (  ) <
0, строим кривую, симметричную относительно оси ОХ или проще: та часть графика,
которая расположена под осью ОХ зеркально отображается вверх.
Например: у  / 
4
/

1. Строим график функции у  
4

2. График нижней полуплоскости отображаем зеркально (симметрично) вверх
относительно оси ОХ.
При изучении темы «Линейные неравенства» можно рассмотреть решение
неравенств вида /  /  2 и /  /  2. Объяснение вести, опираясь на понятие, что модуль это
расстояние.
Выражение /  /  2 можно читать как: Отложить расстояние от начала отсчета
больше или равное «2». Расстояние можно отложить и влево и вправо.
Расстояние большее или равное «2», отложенное право от начала отсчета,
3
соответствует точкам, координаты которых больше или равны «2». Следовательно   2
или   2 :   Расстояния, отложенные влево, соответствуют точкам, координаты
которых меньше или равны (-2), следовательно   -2, или   ( : 2] . Получили, что
решение неравенства /  /  2 является объединение двух промежутков (-  : - 2 ]  [2:
 ).
В общем виде неравенства /  /  a при а > 0 имеет решение:
 (-  : - а ]  [а :  ).
Рассмотрим решение неравенства вида /  /  a. Объяснение вести, опираясь на
рисунок. Пример /  /  2
Решение будет объединение двух промежутков (-2 : 0] и [0 : 2). Их удобно записать
одним промежутком (-2 : 2).
Итак: Решением неравенства вида /  / < а, при а > 0 будет промежуток
(- а : а).
Для закрепления можно перейти к решению следующих неравенств.
/2  -3/  3
/2  +5/ >2
- 3 < 2 - 3 < 3
2  +5 >2
и 2  +5<-2
- 3 + 3 < 2  <3+3
2  >2-5
2< - 2 - 5
0 < 2 < 6
2 > - 3
2 < - 7
0 < < 3
 > -1,5
 < - 3,5
Ответ:   (0 : 3)
Ответ:   ( : 3,5)  (1,5 : )
При изучении системы линейных неравенств предложить неравенства вида
1) /   4 /  2  5
Опираясь на то, что решением неравенства /  /  a является -а <  <a
можно записать:
- (2  +5) < х - 4 < 2  +5
Это двойное неравенство можно записать в виде системы:
  4  2  5

  4  2  5
  9

3  1
  9
1


1
3
   3
1
3
Ответ:   ( ; )
2. (2  -3) > 5+ 
Опираясь на то, что решением неравенства /  / > а является объединение решений
двух неравенств  > а и  <-а, можно записать:
2  -3 <- (5+  )
2  3 5  
и
3  <-2
 >8
 <-
2
3
4
Решением первого неравенства будет (8:  ). Решением второго неравенства будет
2
3
(   :  ) . В ответ идет объединение этих двух промежутков.
Решить уравнение
/  +6/  3- 
Опираясь на то, что уравнение вида /  / = а, а  0 имеет решение  =  а, то данное
уравнение распадается на две системы:
3    0

  6  3  
  3

2  3
  3

  1,5
3    0

  6  (3  )
  3

  6  3  
  3
решения нет

6


3

Ответ: -1,5
После знакомства с «модулем», решением простых уравнений и неравенств перейти
к более полному изучению «модулей». Это можно сделать на факультативных занятиях
или выделить несколько уроков, взятых из повторения. Рассмотреть все свойства
«модуля» и показать их на примерах.
Свойства:
1. /  /  0
χ, χ  0
 χ, χ  0
/  /= 
2. /ав/ = /а/ ·/в/
a
/a/
3. / / 
в
/в/
4. /-а/ = /а/
5. /а/ = /в/  а =  в
6. /а/ < с, с > 0  - с < а < с
7. /а/ > с,  а > с и а < -с
при с < 0 а - любое
8. /а/2 = а2 - это свойство часто применяется при изучении темы «Вектора» как при
доказательстве так и при решении задач.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
При решении уравнений с «модулем» можно выделить три основных вида решения:
1. Если уравнение имеет вид
/f(  )/ = / ( ) /то надо
решить уравнения:
f(  ) = ( ) и f(  ) = - ( )
и корни объединить
2. Если уравнение имеет вид
/f(  )/ = ( ) , то надо
решить уравнение f(  ) = ( ) и f(  ) = - ( ) и выбрать из корней те, при которых
g(  )  0 или решить две системы
5
f(  ) = ( )
 () 0
и
f(  ) = - ( )
 ( ) 0
и решение каждой системы записать в ответ.
3. Если уравнение имеет вид
/f1(  )/+/f2(  )/+… + /fn(  )/ = 0
то в этом случае разбивают область определения на промежутки, внутри которых
выражения стоящие под знаком «модуля» сохраняют знак. После решают уравнение на
каждом из промежутков и отбирают те значения Х, которые лежат на данном промежутке.
Третий вид обобщенный. Им можно пользоваться при решении уравнений и /f(  )/ =
 (  ) и /f(  )/ = /  (  )/.
Уравнение первого и второго видов рассматривались выше. Рассмотрим решение
третьего вида. Например:
/7-2  /=/5-3  /+/   2 / .
Найдем те значения  , при которых каждый модуль обращается в ноль, и назовем их
критическими точками.
 + 2= 0
7-2  = 0
5-3  = 0
 = 3,5
 =-2
5
=
3
  2,
5
, 3,5 – критические точки которые разбивают всю область определения на
3
промежутки:
5
5
(-  ; -2], (-2: ], ( : 3,5], (3,5 :  )
3
3
Рассмотрим данное уравнение на каждом из промежутков и найдем его корни.
а)   ( : 2 ]
7-2  =5-3  -(  +2)
2  =-4
 =-2, -2  (  : 2 ] следовательно
 =-2 корень.
5
б)   (2; ]
3
7-2  =5-3  +  +2
0=0
5
Получили тождество, следовательно  - любое. Решением будет промежуток (-2: ]
3
5
в)   ( ; 3,5 ]
3
7-2  = - (5-3  )+  +2
6  =10
5 5
5
 = ,  ( ;3,5 ] следовательно на данном промежутке решения нет.
3 3
3
г)   (3,5 :  )
6
- (7-2  ) = - (5-3  ) +  +2
2  = -4
 = - 2, -2  (3,5 :  )
следовательно решения нет на данном промежутке.
5
Ответ:  =-2,   (2; ]
3
5
Или ответ можно записать как промежуток [-2; ]
3
Рассмотрим уравнение:
/  -/4-  //-2  =4
Решение:
и 4    0
4  0
а) 
/   4   /  2  4
/   4   /  2  4


4
а) 
/ 2  4 /  2  4

  4
а) 2  4  0
2  4  2  4
  4
  2 решения нет
 4  4
и
  4

2   4  0
2   4  2   4

  4
  4
  2
  2
4  0
  0
 =0 корень
  4 решения нет
б)   4
  0
4

2


4


Отчет:  =0
Можно предложить решить уравнения следующие:
1. /9  -8/=4  +1
2. /  2-6  +7/=/3  -11/
3. /  +1/+/2-  /=/  +3/
4. /  4-16-(  2+4)/=/  4-16/-/  2+4/
Далее при изучении следующих тем можно включать уравнения с «модулем».
Рассмотрим несколько уравнений
1. 2 /   2 /  / 2 1  1 /  2 1  1 , х – любое
 1
/  1 /


1  0
2  1  0
2
а)  /   2 /
б)

/  2 /


 2  1  1  2  1  1
 2  1  1  2  1  1
2
2
2 /  1 /  1
2  1  1
2 /   2 /  2
 /  2 /

2
 2  2  1
2  1  2 o
2 1  2 0
/   2 /  1
 /  2 /

2
 2  2
  1  0
  1  0
  2  1
/   2 /    2


7
  1
 2  2
20
  1
  2
  любое
  [1 :  )
и
  1
  2    2
  1
  2  1

  1
  2  1

20
  1
  2
  2
  1
  1

  1
  3

решения
нет
-3 корень
решения нет
Ответ: {-3}  [-1:  )
2) /sin  / + sin  .(   4) 2  0
sin   0
a) 
sin   sin   (  4) 2  0

и
sin   0
б) 
 sin   sin   (  4) 2  0

sin   0
sin   sin   (  4) 2  0

sin   0

2
sin  (1  (   4) )  0
или
sin   0
1+(   4) 2 =0
  n, n  
решения нет
sin   0
получили: 
  n, n  Z

 = n удовлетворяет условию sin   0 , следовательно   n решение
sin   0
б) 
 sin   sin   (  4)2  0

sin  =0
 =  n, n  z
 =  n и  =3 не
 <0
  5 корень
или
sin   0
sin (1  (  4)2 )  0

(х-4)2-1=0
(х-4)2 =1
/х-4/ =  1
  4  1 и   4  1
5
3
удовлетворяют условию
sin
8
Ответ:  =5,   n , n  Z
3) / log 2   1/  (2  5)(log 2   1)
Для решения рассмотрим две системы
  0
а) log 2   1  0
log 2   1  (2  5)(log 2   1)
  0

log 2   0
(log   1)  (2   5)(log   1)  0
2
2

  0
  2
(log 2   1)(1  2  5)  0
log2  -1=0 или -2  -4=0
2
корень
 =-2
не удовлетворяет
условию   2
и
  0
б) log 2   1  0
 log 2   1  (2  5)(log 2   1)
  0

log 2   1
 (log   1)  (2   5)(log   1)  0
2
2

  0
  2
(log 2   1)( 1  2  5)  0
log2  -1=0 или -2  -6=0
2
  3
и
 =-3
 =2 не
удовлетворяют условию 0<  <2
Ответ:  =2
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Рассмотрим следующие виды решения неравенств, содержащих знак «модуля».
f ( x )  ()
1) / f () /  ()  
f ( x )  ()

 f ( x)   (  )
или эту систему можно записать так 
 f ( x)   (  )
2) / f () /  () данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств
f (  )   (  ) и f (  )   (  )
В ответ записывают решения обоих неравенств.
/ f () /  / () /  f 2 (  )   2 (  )
или данное неравенство можно решать также как и неравенство вида:
/f1(  )/+/f2(  )/+…+/ f n (  )/  0
Область допустимых значений которого разбивается критическими точками на
промежутки и решается на каждом промежутке без знака модуля. Решением является
объединение решений на каждом из промежутков.
Решение методом интервалов.
Рассмотрим несколько примеров.
1) 3 /  -1/+  2>7
3 /  -1/>7-  2
3 (  -1)<-(7-  2)
3 (  -1)<-(7-  2)
3  -3<-7+  2
 2-3  -4>0
у =  2-3  -4
 2-3  -4=0
и
3 (  -1)>7-  2
3 (  -1)>7-  2
3  -3>7-  2
 2+3  -10>0
у =  2+3  -10
 2+3  -10=0
9
 1 = -1
 2=4
 1 = -5
 2=2
Объединяя оба решения
Ответ:   (   : 1)  (2 : )
2) /  -6/<  2-5  +9
Данное неравенство равносильно системе
2

  6    5  9

2

   6  (   5   9)
Решая систему получим:
 2  6  15  0
 2  4  3  0

у =  2  6  15
у =  2  4  3
 2  6  15 =0
 2  4  3  0
D<0,  -любое
1= 3 2 = 1
 (
  : 1)  (4 : )
получим.
получили:
  (   : 1)  (3 : )
  любое
  ( : 1)  (3 : )    ( : 1)  (3 : ) это и есть ответ

3) / 3  1 /  / 2  5 /  (3  1) 2  (2  5) 2
9  2 - 6  +1>4  2-20  +25
5  2+14  - 24>0
у=5  2+14  - 24
5  2+14  - 24=0
Д = 169  1=1,2  2  4
Ответ:   ( : 4)  (1,2 : )
4. /  -1/+/2-  />3+ 
 =1 и  = 2 критические токи, которые делят области определения на три
промежутка (;1], (1;2], (2; )
а)   (;1]
-  +1+2-  >3+ 
3  <0
 <0
  ( : 1]    ( : 0)
  0

10
б)   (1 : 2]
 -1+2-  >3+ 
 <-2
   (1 : 2]
решения нет

   2
в)   ( 2 : )
 -1-2+  >3+ 
 >6
  (2 : ]    (6 : )
  6

Ответ   ( : 0)  (6 : )
Рассмотрим решение неравенства методом интервалов:
1  / 2  3 /
0
/ 2 2   /  1
введем функцию f () 
1  / 2  3 /
/ 2 2   /  1
Найдем нули функции и точки разрыва. Для этого решим два уравнения 1 - / 
= 0 и / 2  2 -  /-1 = 0
2
- 3/
1 - /  2 - 3/=0
/  2 - 3/=1
 2 - 3=  1
 2=2 и  2=4
/ 2  2 -  /-1 = 0
/ 2 2 - / = 1
2 2 - = 1
2  2 -  - 1= 0
и
2  2 -  + 1= 0
1
 1   ;  2  1;
  2
решения нет
=  2
2
 =  2 и   2 точки в которых функция равна «0».
1
   ;   1; точки разрыва
2
Определим знак на каждом из промежутков и запишем ответ:
1
Ответ: ( : 2]  [ 2 :  )  (1 : 2 :]  [2 : ) .
2
Рассмотрим еще один способ решения неравенств, содержащих знак модуля.
Это графический способ, то есть решение неравенств с помощью графиков.
11
Пример: /  -2/ >2  +3
а) Строим графики функций у = /  -2/ и у = 2  +3 (строить можно схематично).
б) решаем уравнение: /  -2/ = 2  +3
  2  2  3
   2  2   3
и


2   3  0
2   3  0
   5

   1,5
1

1
  
3  

3

   1,5
Решения нет
в) выберем те значения  при которых график функции у = /  -2/ расположен выше
графика функции у = 2  +3. Это и будет решением неравенства /  - 2/ > 2  +3
1
Ответ:   ( :  )
3
Рассмотрим еще одно неравенство:
/3  2 - 7  - 6/ < /  2+  /
а) схематически изображаем графики функций
у = /3  2 - 7  - 6/ и
у = /  2+  /
б) Решая уравнения
3  2 - 7  - 6 =  2+  и
3  2 - 7  - 6 = -  2- 
находим абсциссы точек пересечения графиков
3  33
3  33
1  2  7 ,  2  2  7 ,  3 
, 4 
,
4
4
в) с помощью рисунка записываем ответ:
12
Ответ:   (
3  33
3  33
: 2  7)  (
: 2  7)
4
4
13