10 класс задания и решения

Задача
Докажите,
1
что
Задача
уравнение
x4–
4x3 +
12x2 –
:
24
x
+24
=
0
не
имеет
решений.
2
:
Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд
забила
голов
столько
же,
сколько
другой
осталось
забить.
Задача
3
:
Хорда удалена от центра окружности на расстояние h. В каждый из двух сегментов круга,
стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а
другая
пара
соседних
вершин
–
на
соответствующей
дуге
окружности.
Найдите
разность
длин
сторон
квадратов.
Задача
4
:
Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2
+
√3.
Задача
5
:
Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый
из
трех
следующих
за
ними
равен
3
и
т.д.
Чему равен 2005-й член этой последовательности?
Решение задач :
Задача 1 :
Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0 преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,
которое не имеет решений.
Задача 2 :
Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе
матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный
момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй
командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов,
которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой
командой.
Задача 3 :
Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус
окружности – через R.Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов,
лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2, (2y + h)2 + y2 = R2. Отсюда получим x y = (4/5)h. Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.
Задача 4 :
Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое
равносильно a4 – 10a2+ 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена
x4 – 10x2 + 1.
Задача 5 :
Задача
Решите
№
уравнение
Задача
1
(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)
№
:
=
1320.
2
:
На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы ?АВС был
остроугольным?
Задача
№
3
:
Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006, которые после зачеркивания последних
четырех
цифр
уменьшаются
в
целое
число
раз.
Задача
Вычислить
№
сумму
a2006 +
Задача
4
1/a2006,
если a2– a +
№
:
1
=
0.
5:
Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может
ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?
Решение задач :
Задача
№
Ответ:
Задача
1
-8;
№
:
6.
2
:
Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые,
перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми вне круга.
Задача
№
3
:
Пусть натуральные числа имеют вид x•10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних
цифр получим число x. По условию , где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным
числом, т. е. x - делитель числа 2006. Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006.
Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006;
592006;
1182006;
20062006.
Задача
№
4
:
Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1. Заметим,
что a3 + 1 = 0, т. к. a3+ 1 = (a + 1)(a2 – a + 1). Таким образом, a3 = -1. Тогда a2006 + 1/a2006 = (a3)6682 =
a2 +1/a2 =
1.
Задача
№
5
:
Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков
увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 +
4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно,
2006 листков получиться не может.
Задачи с решением :
1.
Условие
На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят
вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят
вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным
выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.
Решение
Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая
стоила bv, а маленькая — mv. Тогда из условий задачи имеем два уравнения
3bc + mc =
5bv,
2bc + mc =
3bv + mv.
Отсюда
получаем:
5mv =
(2bc + mc – 3bv)5
=
10bc +
5mc –
3(3bc + mc)
= bc +
2mc.
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.
2
Условие
Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны.
Сколько
трехтонок
заведомо
достаточно,
чтобы
увезти
этот
груз?
Решение
Покажем, что пяти машин заведомо достаточно. Будем грузить машины ящиками в любом порядке
до тех пор, пока ящики не кончатся, следя лишь за тем, чтобы не наступила «перегрузка» машины.
Это возможно, так как в любой момент погрузки будет хотя бы одна машина, загруженная не более
чем двумя тоннами. Действительно, если бы все машины были загружены больше, чем на две
тонны, то общий вес груза составлял бы больше, чем 5 • 2т=10т, что противоречит условию
задачи. Эту машину можно догрузить любым ящиком, поскольку по условию задачи он весит не
более тонны. Осталось показать, что четырех машин может не хватить. Например, для вывоза 13
ящиков весом т каждый, четырех машин недостаточно. Действительно, каждая машина может
увезти не более трех таких ящиков, так как четыре ящика весят т > 3т. Значит, все машины увезут
не больше 12 ящиков.
9 класс
9.1. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N. Найдите все N, для
которых
.
9.2. Решите в целых числах систему уравнений:
9.3. Какое из чисел больше: 21997 или 5850?
9.4. Квадратный трехчлен
имеет корни. Верно ли, что
трехчлен
также имеет корни?
9.5. В левом нижнем углу доски 7 х 7 стоит фишка. Два игрока по очереди
передвигают фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает тот
игрок, после хода которого фишка попадает в клетку, в которой она уже
побывала. Кто выигрывает при правильной игре?
10 класс
10.1. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N. Найдите все N, для
которых
.
10.2. Решите в целых числах систему уравнений:
10.3. Какое из чисел больше: 21997 или 5850?
10.4. Квадратный трехчлен
имеет корни. Верно ли, что
трехчлен
также имеет корни?
10.5. Кузнечик прыгает по плоскости так, что длина каждого следующего
прыжка вдвое больше длины предыдущего прыжка. Сможет ли кузнечик когданибудь вернуться в начальную точку?
11 класс
11.1. Трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности.
Известно, что
. Найдите отношение
.
11.2. 72 последовательных натуральных числа разбили произвольным образом
на 18 групп по 4 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, у
каждого из 18 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все
полученные суммы цифр быть равными?
11.3. Даны два квадратных трехчлена, имеющие корни. Известно, что если в них
поменять местами коэффициенты при х2, то получатся трехчлены, не имеющие
корней. Докажите, что если в исходных трехчленах поменять местами
коэффициенты при х, то получатся трехчлены, имеющие корни.
11.4. Существуют ли такие натуральные числа х и у, что
?
11.5. К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два
двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трех
исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Решения задач для 9 класса
9.1. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N. Найдите все N, для
которых
.
Решение. Очевидно, искомое N – четырехзначное число
, где
Тогда
, что невозможно; либо
,
,
,
,
, с,
.
.
Ответ: 1976.
9.2. Решите в целых числах систему уравнений:
Решение. Вычтя из второго уравнения системы первое,
получим
. Так как х, у, z – целые числа, то возможны два случая:
1)
,
. Подставив
в систему, получим:
.
2)
системы:
Ответ:
, т. е.
,
, т. е.
,
,
,
,
. Подставим у и z в первое уравнение
.
,
. Отсюда
или
,
,
9.3. Какое из чисел больше: 21997 или 5850?
Решение. Из неравенства
что
следует,
.
.
Ответ:
.
9.4. Квадратный трехчлен
имеет корни. Верно ли, что
трехчлен
также имеет корни?
Решение. Так как
,
. Если
обоих случаях
трехчлен
имеет корни, то
, откуда
, то
, а если
, то
. То есть
для уравнения
имеет корни.
–в
, поэтому
Ответ: верно.
9.5. В левом нижнем углу доски 7 х 7 стоит фишка. Два игрока по очереди
передвигают фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает
тот игрок, после хода которого фишка попадает в клетку, в которой она
уже побывала. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение. Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Разобьем все клетки
доски (кроме начальной) на пары, как показано на рисунке. На каждый ход
первого в одну из клеток некоторой пары второй ходит в другую клетку той же
пары. Таким образом, у второго игрока всегда есть ответный ход. Значит,
второй игрок выигрывает.
Ответ: выигрывает второй игрок.
Решения задач для 10 класса
10.1. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N. Найдите все N, для
которых
.
Решение. Очевидно, искомое N – четырехзначное число
, где
Тогда
,
, что невозможно; либо
,
,
Ответ: 1976.
10.2. Решите в целых числах систему уравнений:
,
.
, с,
.
Решение. Вычтя из второго уравнения системы первое,
получим
. Так как х, у, z – целые числа, то возможны два случая:
1)
,
. Подставив
в систему, получим:
.
2)
системы:
Ответ:
, т. е.
,
, т. е.
,
,
,
или
,
. Подставим у и z в первое уравнение
.
,
. Отсюда
,
,
.
10.3. Какое из чисел больше: 21997 или 5850?
Решение. Из неравенства
что
Ответ:
следует,
.
.
10.4. Квадратный трехчлен
имеет корни. Верно ли, что
трехчлен
также имеет корни?
Решение. Так как
,
. Если
обоих случаях
трехчлен
имеет корни, то
, откуда
, то
, а если
, то
. То есть
для уравнения
имеет корни.
–в
, поэтому
Ответ: верно.
10.5. Кузнечик прыгает по плоскости так, что длина каждого следующего
прыжка вдвое больше длины предыдущего прыжка. Сможет ли кузнечик
когда-нибудь вернуться в начальную точку?
Решение. Пусть длина первого прыжка кузнечика равна d, и после п прыжков
он вернулся в начальную точку. Тогда его путь – замкнутая
ломаная
со звеньями длины
. Такая
ломаная не существует, так как длина одного ее звена больше суммы длин
других звеньев:
.
Ответ: не сможет.
Решения задач для 11 класса
11.1. Трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности.
Известно, что
. Найдите отношение
.
Решение. Обозначим через О центр окружности, вписанный в трапецию ABCD.
Так как СО – биссектриса угла BCD, то
,
откуда
. Рассмотрим прямую MN, симметричную
прямой АВотносительно центра О (М и N – точки на
прямых ВС и AD соответственно). Она касается окружности и параллельна АВ.
Прямая СО равноудалена от сторон АВ и MN параллелограмма АВMN,
откуда
. Параллелограмм АВMNявляется ромбом, так как описан
около окружности, поэтому
Ответ:
, и, значит,
.
.
11.2. 72 последовательных натуральных числа разбили произвольным
образом на 18 групп по 4 числа, в каждой группе посчитали произведение
чисел, у каждого из 18 полученных произведений посчитали сумму цифр.
Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?
Решение. Предположим, что это возможно, и числа указанным образом разбиты
на 18 четверок. Хотя бы в одной из четверок присутствует число, делящееся на
9, поэтому сумма цифр хотя бы одного произведения (а значит, и всех
произведений) делится на 9. Поэтому произведение чисел в любой четверке
делится на 9. Тогда в каждой четверке либо найдется число, делящееся на 9
(четверки 1-го типа), либо найдутся два числа, делящиеся на 3, но не делящиеся
на 9 (четверки 2-го типа). Среди 72 последовательных натуральных чисел –
ровно 8 чисел, делящихся на 9, и ровно 16 чисел, делящихся на 3, но не
делящихся на 9. Следовательно, имеется не более 8 четверок 1-го типа и не
более 8 четверок 2-го типа; однако всего четверок
. Противоречие.
Ответ: не могут.
11.3. Даны два квадратных трехчлена, имеющие корни. Известно, что если
в них поменять местами коэффициенты при х2, то получатся трехчлены, не
имеющие корней. Докажите, что если в исходных трехчленах поменять
местами коэффициенты при х, то получатся трехчлены, имеющие корни.
Решение. Пусть исходные трехчлены имеют вид
и
.
Так как после перестановки
и
полученные трехчлены не имеют корней,
то их дискриминанты отрицательны, т. е.
и
. Левые, (а
значит, и правые) части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно
перемножить, получая
. Значит, числа
и
отличны от
нуля и имеют одинаковый знак. С другой стороны, исходные трехчлены имеют
корни, т. е.
и
. Если оба числа в правых частях
положительны, то получаем
выше. Значит,
и
, что противоречит полученному
, поэтому
означает, что трехчлены
и
и
. Это и
имеют корни.
11.4. Существуют ли такие натуральные числа х и у, что
Решение. Если а и b – натуральные числа, такие, что
?
, то, очевидно,
достаточно взять
. Но такие а и b существуют:
,
. Таким образом, мы пришли к равенству:
.
Ответ: существуют.
11.5. К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали
два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы
трех исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.
Решение. Обозначим через а первое натуральное число, а
через b и с записанные за ним двузначные числа. Пусть х – их сумма:
.
Согласно условию, числа а, b, с и х удовлетворяют уравнению
. Покажем, что
. Если
, то
, т.
е. уравнение не имеет решений. Следовательно, х – двузначное число, а – либо
однозначное, либо двузначное число, а
– либо пяти-, либо шестизначное
число. Кроме того,
(
– четырехзначное число). Заметим,
что
, а значит,
делится на 99 нацело. Т.
к.
, то среди чисел
, х,
какое-то делится нацело на
9 и какое-то на 11. Для х, удовлетворяющего условиям
, возможны
следующие случаи:
1)
,
,
2)
,
,
3)
4)
,
,
5)
,
,
6)
,
,
7)
,
Ответ: 9, 11, 25.
;
,
,
,
,
;
,
),
;
,
,
,
;
;
;
, 2 – не двузначное число.