Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в... тригонометрических уравнений»

Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в 10 классе по теме «Решение
тригонометрических уравнений»
Учитель Артеева Валентина Егоровна, МБОУ «Бакуринская СОШ»
Цели урока:
1.Обучающие – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля
(самоконтроля) усвоения знаний и умений.
2.Развивающие – способствовать формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения
главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания
и памяти.
3.Воспитывающие – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умению общаться,
самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Задачи урока:
1.Отработка навыков решения тригонометрических уравнений известными методами посредством включения в
самостоятельную познавательную деятельность.
2.Воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний.
3.Развитие умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения: тестовая проверка уровня знаний, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка,
применение ИКТ, мини – проект.
Формы работы: Коллективные, групповые, индивидуальные.
Оборудование и источники информации: компьютер, экран, мультимедийный аппарат, копирка, единичная
окружность на ватманом листе и индивидуальные на миллиметровой бумаге, УМК под редакцией
А.Г.Мордковича.
План урока.
1.Оргмомент – 2 мин.
2.Актуализация знаний.
Математический диктант (с самопроверкой) – 7 мин.
3.Систематизация теоретического материала (на примерах обобщить основные типы и методы решения
тригонометрических уравнений) – 9 мин.
4.Выступления учащихся с мини- проектом – 15 мин.
4.Дифференцированная самостоятельная работа в виде теста (с последующей проверкой) - 12 мин.
5.Итог урока- 2 мин.
Ход урока.
1.Оргмомент.
Сегодня у нас заключительный урок перед контрольной работой по теме «Решение тригонометрических
уравнений», на котором присутствуют гости – учителя нашей школы. Вы все покажете ваши знания, приведёте их в
систему. Изучая в дальнейшем тригонометрические формулы, вы узнаете другие уравнения и методы их решения.
Но эти уравнения для вас останутся фундаментом в здании тригонометрических уравнений. И помните:
математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
2.Математический диктант.
Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений».
Цель: контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим
уравнениям.
Вариант 1.
1) Каково будет решение уравнения cos 𝑥 = 𝑎 при |𝑎| > 1?
2) При каком значении 𝑎 уравнение cos 𝑥 = 𝑎 имеет решение?
3) Какой формулой выражается это решение?
4) На какой оси откладывается значение 𝑎 при решении уравнения cos 𝑥 = 𝑎?
5) В каком промежутке находится 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎?
6) В каком промежутке находится значение 𝑎?
7) Каким будет решение уравнения cos 𝑥 = 1?
8) Каким будет решение уравнения cos 𝑥 = −1?
9) Каким будет решение уравнения cos 𝑥 = 0?
10) Чему равен 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(− 𝑎)?
11) В каком промежутке находится 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎?
12) Какой формулой выражается решение уравнения 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎 ?
13) Чему равен 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(− 𝑎)?
Вариант 2.
1) Какого будет решение уравнения sin x = 𝑎 при |𝑎| > 1?
2) При каком значении 𝑎 уравнение sin x = 𝑎 имеет решение?
3) Какой формулой выражается это решение?
4) На какой оси откладывается значение 𝑎 при решении уравнения sin 𝑥 = 𝑎?
5) В каком промежутке находится arcsin 𝑎 ?
6) В каком промежутке находится значение 𝑎?
7) Каким будет решение уравнения sin x = 1?
8) Каким будет решение уравненияsin 𝑥 = −1?
9) Каким будет решение уравненияsin 𝑥 = 0?
10) Чему равен 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(− 𝑎)?
11) В каком промежутке находится 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎?
12) Какой формулой выражается решение уравнения 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎?
13) Чему равен 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(− 𝑎)?
Работы собираются, ответы под копирку проверяются по готовым решениям с помощью таблицы на компьютере
и мультимедийного проектора.
№№
1
2
3
4
5
Вариант 1
Нет решения
|𝑎| ≤ 1
𝑥 = ± arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
На оси O𝑥
[0; 𝜋]
6
7
[−1; 1]
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
8
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
9
𝑥=
10
11
12
13
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈
2
𝜋 − arccos 𝑎
𝜋 𝜋
(− ; )
2 2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎
Вариант 2
Нет решения
|𝑎| ≤ 1
𝑥 = (−1)𝑛 arcsin 𝑥 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
На оси O𝑦
𝜋 𝜋
[− ; ]
2 2
[−1; 1]
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝜋
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
arcsin 𝑎
(0; 𝜋)
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎
3.Систематизация теоретического материала.
Задание: Классифицировать тригонометрические уравнения (проецируются на экран).
Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений, указать
возможные ошибки, показать решение по одному уравнению с показом метода решения.
Ответы записываются на готовых листах с указанием типа и метода решения каждого уравнения. У доски по
желанию ученики показывают решение одного уравнения по известному методу.
1) 2𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3 = 0
𝑥
𝑥
3
3
2) 2𝑐𝑜𝑠 2 + 5𝑠𝑖𝑛 = −1
3) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0
4) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 5 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 4
5) 3 sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
6) 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 1
7) sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1
8) cos 2𝑥 = √2 (cos 𝑥 − sin 𝑥)
4. Решение уравнений как мини-проект, подготовленных на слайдах учащимися в виде презентации в программе
Microsoft Office PowerPoint.
Проблема, возникшая на предыдущих уроках: как решить уравнения, которые известными методами базового
уровня не решаются на этом этапе изучения тригонометрических уравнений?
Цель: расширение математического кругозора.
Задачи: изучить дополнительную литературу; перенести знания в новую ситуацию; обобщить полученные знания.
Выступление учеников, подготовивших мини-проекты с конкретными решениями ниже следующих уравнений как
типов уравнений, решаемых с использованием свойства ограниченности тригонометрических функций 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 и
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, определения обратных тригонометрических функций, графически. Например:
1) cos 5𝑥 + cos 3𝑥 = 2
2) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + cos 𝑥 = −3
𝜋
3) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 1) =
6
4) sin 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 1
5. Дифференцированная самостоятельная работа в форме теста с последующей проверкой (взаимообмен
тетрадями в парах, ранее оговорённых, т.к. все ученики сидят по одному).
Цель: проверка знаний и умений при решении простейших тригонометрических уравнений с помощью тестов и
приведение полного решения уравнения во второй части.
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А-В.
А. Решите уравнение sin 2𝑥 =
𝜋
1)(−1)𝑛 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
6
2)(−1)𝑛
𝜋
12
+𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
√3
2
3𝜋
4
+2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝜋
3) (−1)𝑛 +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
6
𝜋𝑛
3
2
𝜋
𝜋𝑛
6
2
4) (−1)𝑛 +
𝜋
1
2
2
Б. Решите уравнение cos(𝑥 − )=
1) ±
𝜋
3) (−1)𝑛+1 +
2) ±
2𝜋
, 𝑛𝜖𝑍
, 𝑛𝜖𝑍
+2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
3
𝜋
𝜋𝑛
6
2
4) (−1)𝑛 +
, 𝑛𝜖𝑍
В. Решите уравнение 𝑡𝑔( 2𝑥 + 1) = −1
𝜋
1) ±1+ +𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
4
3) −
1
2
𝜋
𝜋𝑛
4
2
− +
, 𝑛𝜖𝑍
2) ±
4) −
1
1
2
𝜋
𝜋𝑛
8
2
− +
2
𝜋
𝜋𝑛
8
2
− +
, 𝑛𝜖𝑍
, 𝑛𝜖𝑍
В уравнениях Г - Д приведите решение.
Г. Решите уравнение sin 𝜋𝑥 = −
1
2
Д. Решите уравнение cos 2𝑥 = √2 (cos 𝑥 + sin 𝑥)
Е. Решите уравнение 2 cos 3𝑥 + 4 sin 𝑥 = 7
5. Итог урока.