Задачи на конус

Здравствуйте, Дорогие друзья! Добрался до конусов и
цилиндров. Ещё, кроме тех, что уже опубликованы, будет
около девяти статей, рассмотрим все типы заданий. Если в
течение года в открытый банк будут добавляться новые
задачи, конечно же, они также будут размещены на блоге. В
этой статье представлено несколько примеров связанных с
вычислением объёма. Мало знать формулу объёма конуса,
кстати вот она:
Можем записать:
Нужно ещё понимать как соотносятся объёмы подобных тел.
Именно понимать, а не просто выучить формулу. Вот она
сама:
То есть, если мы увеличим (уменьшим) линейные размеры
тела в k раз, то отношение объёма полученного тела к
объёму исходного будет равно k3.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Не важно как вы обозначите объёмы:
Дело в том, что в процессе решения задач при рассмотре
подобных тел, у некоторых может возникает путаница с
коэффициентом k. Может появиться вопрос – Чему он равен?
(в зависимости от величины указанной в условии)
Всё зависит от того, с «какой стороны» посмотреть. Важно
понимать вот что! Рассмотрим на примере – дан куб, ребро
второго куба в три раза больше:
В данном случае, коэффициент подобия равен трём (ребро
увеличено в три раза), а значит соотношение будет
выглядеть следующим образом:
То есть объём полученного (большего) куба будет в 27 раз
больше.
Можно посмотреть с другой стороны.
Дан куб, ребро второго куба в три раза меньше:
Коэффициент подобия равен одной трети (уменьшение ребра
в три раза), а значит соотношение будет выглядеть:
То есть объём полученного куба будет в 27 раз меньше.
Заключение! Неважны индексы при обозначении объёмов,
важно понимать как тела рассматриваются относительно друг
друга.
Понятно, что:
— если исходное тело увеличивается, то коэффициент будет
больше единицы.
— если исходное тело уменьшается, то коэффициент будет
меньше единицы.
Про отношения объёмов можно сказать следующее:
— если в задаче будем делить объём большего тела на
меньший, то получим куб коэффициента подобия, при чём
сам коэффициент получится больше единицы.
— если будем делить объём меньшего тела на больший, то
получим куб коэффициента подобия, при чём сам
коэффициент получится меньше единицы.
Самое главное это запомнить – что когда речь идёт об
ОБЪЁМАХ подобных тел, то коэффициент подобия имеет
ТРЕТЬЮ степень, а не вторую, как в случае с площадями.
Ещё один момент касающийся конуса.
В условии присутствует такое понятие как образующая
конуса. Это отрезок соединяющий вершину конуса с точками
окружности основания (на рисунке обозначен буквой L).
Здесь стоит отметить, что разбирать задачи мы будем только
с прямым конусом (далее просто конус). Образующие у
прямого конуса равны.
Рассмотрим задачи:
72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты
параллельно основанию конуса проведено сечение, которое
является основанием меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объем меньшего конуса.
Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и
если рассматривать отсечённый конус относительно
исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен
большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5.
Можем записать:
Можно было записать:
Можно было рассудить так!
Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого.
Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с
коэффициентом равным двум, запишем:
Теперь посмотрите решение без использования свойств
подобия.
Объём конуса равен одной трети произведения площади его
основания и высоты:
Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным
сечением:
Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н.
Сечение (основание меньшего конуса) проходит через
середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А
радиус основания равен R/2, это следует из подобия
треугольников.
Запишем объём исходного конуса:
Объём отсечённого конуса будет равен:
Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы
видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым
способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть
путь, который вы выбрали будет не рационален, важен
результат (верный результат).
Ответ: 1,25
318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл.
Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы
полностью наполнить сосуд?
Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о
жидкости, принцип решения один и тот же.
Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус
(наполненный жидкостью), они являются подобными.
Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим
образом:
Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному
жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что
уровень жидкости достигает половину высоты. Можно
записать подробнее:
Вычисляем:
Таким образом, долить нужно:
Ответ: 490
Другие задачи с жидкостями смотрите здесь.
74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна
44 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе
укажите V/Пи.
Объем конуса:
Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного
треугольника.
Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.
Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса.
Следовательно высота конуса равна 22.
Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:
*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.
Тогда объем будет равен:
Результат разделим на Пи как указано в условии и запишем
ответ.
Ответ: 10648
27120. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите
его объем, деленный на Пи.
Для того, чтобы найти объём конуса необходимо знать высоту
и площадь основания:
Высота известна. Необходимо найти площадь основания. Нам
известна образующая и высота конуса, можем вычислить
радиус основания и затем уже найти его площадь. По
теореме Пифагора:
*Оставим квадрат радиуса (именно это значение необходимо
для дальнейшего вычисления), сам радиус нам не нужен.
Таким образом, объём конуса будет равен:
В ответ записываем результат делённый на Пи.
Ответ: 128
75235. Диаметр основания конуса равен 30, а угол при
вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса,
деленный на Пи.
Объём конуса:
Сказано, что угол при вершине осевого сечения равен 900.
Это означает, что осевым сечением является прямоугольный
(равнобедренный) треугольник с углами при основании
равными по 450. Высота опущенная из прямого угла равна
радиусу основания конуса. *Она разбивает указанный
треугольник на два равных прямоугольных равнобедренных
треугольника:
По свойству равнобедренного треугольника:
Таким образом, объем конуса будет равен:
Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.
Ответ: 1125
27122. Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6.
Найдите его объем, деленный на Пи.
Треугольник АВС равнобедренный, то есть АС = СВ = 6.
То есть и высота конуса и радиус основания равны шести.
Таким образом, объём конуса:
Делим результат на Пи и записываем ответ.
Ответ: 72
27052. Объем конуса равен 16. Через середину высоты
параллельно основанию конуса проведено сечение, которое
является основанием меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объем меньшего конуса.
Посмотреть решение
27093. Найдите объем V конуса, образующая которого равна
2 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе
укажите V/Пи.
Посмотреть решение
27121. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при
вершине осевого сечения равен 900. Вычислите объем конуса,
деленный на Пи.
Посмотреть решение
Read more: http://matematikalegko.ru/konus-cilindr/obyom-konusa-chast2.html#ixzz3KTdk7Ehk