лр1

Лабораторная работа № 1.
Задание 1.
«Элементы теории множеств». В текстовом файле оформите анализ по
принципу: задача – материал, копируя элементы данного файла и файла из
кейса.
1.Множества и основные операции над ними


Под множеством М понимается совокупность некоторых объектов, которые будут
называться элементами множества М. Тот факт, что x является элементом множества М,
будем обозначать через xM, в противном случае xM.
Множество N или - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q –
множество рациональных чисел, R – множество вещественных чисел, C – множество
комплексных чисел.

Задача.
Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих
одному семейству? Приведите примеры.
Ответ. Это династия. Самыми крупными династиями, управлявшими нашим государством, были
Рюриковичи и Романовы.

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается АВ), если все
элементы множества А принадлежат В: ABx (xAxB).

Если АВ, то будем также говорить, что множество А содержится в В, или имеется
включение множества А в В. Множества А и В называются равными или совпадающими
(обозначается А=В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если АВ и
ВА. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется установить два
включения.

Запись АВ означает, что АВ и АВ (А не равно В), и в этом случае будем говорить, что А
строго включено в В, или является собственным подмножеством В.

Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множествомстепенью и обозначается через Р(А) или 2А. Таким образом, Р(А)={B | BA}.

Существует множество, не содержащее ни одного элемента, которое называется пустым и
обозначается через . Ясно, что А для любого множества А.

Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется
универсальным или универсумом и обозначается через U.
Пересечение множеств А и В называется также их произведением и обозначается АB, а
объединение – суммой: А+В. Множество А\В=А-В={x | xA и xB} называется разностью
множеств А и В, множество АВ=(А\В) (В\А) – кольцевой суммой или симметрической
разностью множеств А и В, множество А =U\А – дополнением множества А в U(см. рис., на
котором изображены так называемые диаграммы Эйлера- Венна, наглядно поясняющие
соотношения между множествами).

Основные свойства операций пересечения, объединения и дополнения:
1. Ассоциативность операций и :
А(ВС)=(АВ) С,
А (ВС)=(АВ) С.
2. Коммутативность операций и :
АВ=ВА,
А В=ВА.
АВ
3. Законы идемпотентности:
АА=А, А А=А.
4. Законы дистрибутивности:
А(ВС)=(АВ) (АС),
А (ВС)=(А В) (АС).
5. Законы поглощения:
А(АВ)=А, А (АВ)=А.
6. Законы нуля и единицы: положим 0, 1U, тогда
А0=А, А 0=0, А 1=А, А 1=А, А А =1, А А =0.


Упорядоченную последовательность из n элементов x1, x2,…, xn будем обозначать через
(x1, x2,…, xn) или x1, x2,…, xn.
Будем называть такую последовательность упорядоченным набором длины n, кортежем
длины n.

Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2,…, An называется множество {(x1,
x2,…, xn) | x1A1, x2A2,…, xnAn}.
Задание 2. Решите задачи 1 и 4, приведенные выше. Решение оформите в
текстовом файле.
Задача 1. Напишите
все подмножества множества М, если М = {тетрадь, ручка,
карандаш}.
Решение:
М={тетрадь}; {ручка}; {карандаш}; {тетрадь, ручка}; {ручка, карандаш}; {тетрадь, карандаш};
{тетрадь, ручка, карандаш}.
Задача 4. Множество А состоит из учеников данного класса, изучающих
английский язык; множество В – из учеников, изучающих немецкий язык;
множество С – из учеников, изучающих французский язык. Известно, что
учащиеся могут изучать несколько языков. Представьте множества с
помощью диаграмм Эйлера-Венна и охарактеризуйте их:
В А
а)  A  B   C ;
С
В
А С
б) A  B  C ;
А
В
в)
С
 A  B   B  C  .
Задача 3. Прочитайте файлы «Отображение множеств», «Общая схема
анализа функции». Выполните в тетради анализ функций
1)
2)
1. y(x)=x^3-9*x^2+24*x-15
f'(x)=3x^2-18x+24
f'=0 x^2-6x+8=0
x1=2 x2=4
x1-не принадлежит отрезку
f(3)=27-81+72-1=17
f(4)=64-144+96-1=15 минимум
f(5)=125-225+120-1=19 максимум
2. y(x)=(sin^2x)/(2+sinx)
Задачи:
2.Найдите сумму множеств:
а) А = {n / n = 2m}
B = {n / n = 2m}, m – натуральное число;
б) А = {простые числа}
А={12/2=2*3}
B = {нечетные числа}.
B={27/3=3^2}