Обработка сигналов и изображений

ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Программа курса лекций
(3 курс, 6 сем., 32 ч., диф.зачет)
Профессор Киричук Валерий Сергеевич
Доцент Косых Валерий Петрович
Доцент Перетягин Георгий Иванович
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Классификация сигналов и способы их описания. Информативные
характеристики детерминированных сигналов (энергия, мощность,
моменты, автокорреляционная функция, спектральный состав).
Гармонический анализ импульсной последовательности. Скважность,
меандр, эффективная ширина спектра, база сигнала. Примеры.
Процесс дискретизации сигналов (аналого-цифровое преобразование).
Спектр дискретизованного сигнала. Восстановление аналогового
сигнала по множеству отсчетов. Теорема Котельникова-Шеннона.
Частота Найквиста. Эффект появления «ложных частот» (aliasing).
Примеры.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Основные свойства ДПФ.
Использование ДПФ для восстановления исходного сигнала и для
вычисления отсчетов «непрерывного» спектра (интерполяция спектра).
Вычисление линейной свертки при помощи ДПФ. Эффект «растекания»
спектра и весовые функции (окна). Алгоритмы быстрого
преобразования Фурье (БПФ).
Ограничения и недостатки преобразования Фурье. Проблемы частотновременной
локализации
нестационарных
сигналов.
Оконное
преобразование Фурье. Идея вейвлет-преобразования. Основы теории.
Базисные функции непрерывного вейвлет – преобразования (WAVE -,
MHAT -, DOG – вейвлеты). Примеры применения.
Дискретный вейвлет-анализ. Кратномасштабное представление
сигналов. Скейлинг-функция и материнский вейвлет. Вейвлеты Хаара и
Добеши. Быстрое вейвлет-преобразование (алгоритм Малла). Примеры
применения.
Стохастическая модель сигналов и изображений (статистический
ансамбль, совместное распределение, статистические моменты).
Дискретные стационарные (однородные) случайные процессы и поля.
Среднее, автокорреляция, автоковариация. Виды стационарности
случайных процессов и полей. Спектральная плотность мощности
3
(СПМ) случайных процессов. Взаимосвязь с автоковариационной
последовательностью (АКП) – теорема Винера-Хинчина. Свойства АКП
и СПМ стационарных случайных процессов.
7. Некоторые модели случайных сигналов. Гармонический процесс со
случайной фазой. Дискретный гауссовский случайный процесс.
Марковское свойство. Винеровский процесс (броуновское движение)
как пример гаусс-марковского случайного процесса. Случайный
фототелеграфный сигнал (сканирование черно-белого изображения):
вероятностная модель, автокорреляционная функция, спектральная
плотность мощности.
8. Эргодичность. Основные принципы теории оценок (несмещенность,
состоятельность). Оценивание автокорреляции и взаимной корреляции.
Свойства оценок. Коррелограммный метод оценки СПМ. Метод
Блэкмана-Тьюки. Периодограммные оценки СПМ. Свойства оценок.
Спектральные окна. Метод Уэлча.
9. Линейные преобразования (фильтрация) стационарных случайных
сигналов: свойства выходного сигнала (существование, моменты,
автоковариационная функция). Описание фильтра в виде дискретной
линейной
системы:
импульсная
характеристика,
частотная
характеристика, фильтры с линейной фазовой характеристикой. Прямое
Z-преобразование
дискретных
последовательностей.
Область
сходимости.
Свойства
Z-преобразования.
Z-свертка
последовательностей. Передаточная функция дискретной системы.
10. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами как
модели цифровых (рекурсивных) фильтров. Численное интегрирование
как пример рекурсивной фильтрации. Бегущий усредняющий фильтр,
авторегрессионный фильтр. Обратное Z-преобразование. Нули и
полюсы дискретной системы, минимально-фазовое свойство.
Авторегрессионная (параметрическая) модель стационарных случайных
процессов как универсальная модель стохастических сигналов.
Взаимосвязь параметров авторегрессионной (АР-) модели с
автокорреляционной последовательностью. Нормальные уравнения
Юла-Уолкера. СПМ авторегрессионного процесса.
11. Оптимальный линейный прогноз стационарных случайных процессов.
Принцип ортогональности. Разложение Вольда (регулярная и
сингулярная
составляющие
случайного
сигнала).
Понятие
«обновления». Алгоритм Левинсона рекуррентного оценивания
параметров АР-модели. Спектральное оценивание. Характеристики АРоценок СПМ.
4
12. Оценивание случайного процесса по наблюдениям стохастически
связанного с ним случайного сигнала (дискретное уравнение ВинераХопфа). Метод восстановления дискретного (полезного) сигнала в
линейной модели наблюдений на основе оптимального линейного
фильтра Винера-Колмогорова. Ошибка восстановления сигнала в
простейших вариантах.
13. Аппроксимация (сглаживание) сигналов и метод наименьших
квадратов (МНК). Алгебра и геометрия МНК. Нормальное решение.
Метод псевдообратной матрицы. SVD-решение. Статистические
свойства оценок МНК.
14. Проверка гипотез при спецификации аппроксимирующей модели
сигнала (основы проверки статистических гипотез). Проверка линейных
гипотез. Критерии удаления (включения) переменных в описание
сигнала.
15. Модели дискретных систем в пространстве состояний (уравнение
состояния системы, уравнение измерения). Пример на основе
авторегрессионной
схемы
описания.
Построение
алгоритма
рекуррентной фильтрации Калмана для дискретной линейной
динамической системы: коэффициент усиления фильтра, оптимальный
выбор параметров фильтрации. Двумерная дискретная фильтрация
(примеры построения винеровского и калмановского фильтров).
Сравнительный анализ.
16. Распознавание образов (сигналов). Разделяющие функции. Алгоритмы
классификации
выборочных
объектов.
Байесовский
метод
распознавания. Дискриминантный анализ (распознавание) для двух
многомерных
нормальных
выборок.
Вероятности
ошибок
классификации. Виды и свойства оценок.
17. Применение методов классификации в алгоритмах сегментации
изображений двумерных сцен.
Задания
1. Вычислить коэффициенты ряда Фурье для последовательности
прямоугольных импульсов. Охарактеризовать изменение спектра
последовательности импульсов при увеличении периода их следования.
2. Вычислить спектр и автокорреляционную функцию гармонического
сигнала A cos( 0 t   0 ) , учитывая, что период такого сигнала равен
2  0 .
5
3. Вывести взаимосвязь спектров аналогового сигнала и дискретной
последовательности отсчетов этого сигнала. Как проявляется эффект
«ложных частот».
4. Установить изменение спектра дискретного сигнала, состоящего из N
отсчетов, при добавлении к нему N нулей.
5. Охарактеризовать суть эффекта «растекания» спектра и привести
методы его уменьшения.
6. Как правильно вычислить линейную свертку с помощью БПФ?
7. Привлекая принцип неопределенности, определить вид частотновременных окон Фурье и вейвлет базисов на плоскости время-частота.
8. Определить
скейлинг-функцию
и
коэффициенты
вейвлетпреобразования базиса Хаара.
9. Показать, что гармонический сигнал со случайной фазой является
стационарным случайным процессом.
10. Вывести автокорреляционную функцию фототелеграфного сигнала.
11. Стационарная последовательность (дискретный сигнал) {u k , k  0}
определена соотношением u k     k , где  - случайный параметр со
средним значением m и дисперсией D , { k } - центрированный
дискретный белый шум с дисперсией  2 , не коррелированный с  .
1 n
 uk , n>1, является
n  1 k 0
несмещенной и состоятельной оценкой для  .
12. Показать, что для оценки АКП Cˆ (m) оценка СПМ имеет вид
Доказать, что среднее значение  n 
uu
M
Pˆ ( f )  t  Cˆ uu (0)  2t  Cˆ uu (m) cos(2fmt ) .
m 1
13. Пусть дано N отсчетов данных u (0), u (1),...  u ( N ) . Показать, что
коррелограммная оценка СПМ

P( f )  t
N 1 

Cuu (m) exp(i  2fmt ) ,
m   ( N 1)
6
в
которой используется смещенная (альтернативная) оценка при
максимальном числе возможных временных сдвигов, и выборочный
энергетический спектр (периодограмма)
t
~
P( f ) 
N
N 1
 u(n) exp(i  2fmt )
2
, идентичны.
n 0
14. Процесс
наблюдения
формируется
по
следующей
схеме:
uk  f (k )   k , k  0 , где f(k) – полезный нестационарный случайный
сигнал, а  k - центрированный белый шум с дисперсией  2 . Для
оценивания сигнала f(k) наблюдаемая последовательность подвергается
преобразованию, которое называется фильтром экспоненциального
сглаживания и имеет вид  n   n 1  (1   )un , где   0,1) параметр фильтра. Показать, что данный фильтр является линейным
преобразованием вида

 n   cnk uk .
k 0
15. Пусть
при
 [0,1)
некотором
последовательность
 n   n 1   n , n  0 . Показать, что данное соотношение является
линейным стационарным фильтром, и найти среднее, дисперсию и
автоковариационную функцию последовательности { n } .
16. Найти область сходимости Z-преобразования последовательности
n
n
1, n  0
 1
1
.
x(n)     u[n]    u[n  1], u[n]  
 3
2
0, n  0
17. Найти представление автоковариационной последовательности через
последовательность авторегрессионных параметров.
18. Пусть в АР-модели первого порядка белый шум является
стационарным. Найти математическое ожидание и дисперсию АР(1)последовательности и показать ее стационарность.
19. Показать,
что
выход
АР(p)-фильтра является регулярной
последовательностью.
20. Охарактеризовать связь между фильтром линейного предсказания
(прогноза) и АР – процессом.
7
21. Описать метод выбора порядка АР-модели в алгоритме Левинсона.
22. Дать геометрическую интерпретацию проблемы винеровской
фильтрации.
23. Определить передаточную функцию фильтра Винера-Колмогорова.
24. Построить фильтр Калмана для скалярной модели наблюдений вида
un  un 1   n , u0   ,
 n  un   n ,
n  1,
где { n }, { n } - стационарные и центрированные белые шумы.
Литература
1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.
2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. –
М., Мир, 1990.
3. Грузман И.С., Киричук В.С. и др. Цифровая обработка изображений в
информационных системах. Учебное пособие. Новосибирск, 2001.
4. Методы компьютерной обработки изображений. /Под ред. В.А.Сойфера.
– М.: Физматлит, 2001.
5. Н.М.Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения.
//Успехи физических наук. Т.166, №11, 1996.
6. Интернет-страничка «Теория и практика вейвлет-преобразования»:
http://www.autex.spb.ru/techsupt/wavelet/
7. Дьяконов В., Абраменкова И. МАТЛАБ. Обработка сигналов и
изображений. Специальный справочник. – СПб., Питер, 2002.
8. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана. – М., Мир, 1988.
9. Френкс Л. Теория сигналов.– М., Советское радио, 1974.
10. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов.
– М., Наука, 1979.
8